На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов с помощью метода Винера-Хопфа. Решение задач в случае бесконечного и полубесконечного промежутка. Применение метода Винера-Хопфа к уравнению Лапласа.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 18.05.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах.
Демидов Р.А. ,ФТФ, 2105
Введение

Указанный метод подходит для решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов - речь идет об уравнениях вида
.
Этот метод был предложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находит разнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в их приложениях в физических задачах.
В своей работе я опишу сам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задач матфизики.
1. Метод

1.1 Случай бесконечного промежутка

Метод Винера-Хопфа основан на специальном виде ядра интегрального уравнения - оно зависит от разности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для начала рассмотрим уравнение вида
(1)

- это уравнение с бесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует ,если выполняются 2 условия:
,
а также условие сходимости нормы u(x):
.
Эти условия работают при действительных л. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения - один, использующий свойство свертки напрямую, другой - с помощью резольвенты. Итак,первый.Заметим, что в случае именно бесконечного промежутка интеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x). Вспомнив,что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x) выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций - “образ свертки есть свертка образов”.Тогда для функций U(k),V(k),F(k) - образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:
(2)

Данное свойство образа свертки доказывается “в лоб”, а именно - домножением равенства (1) на и интегрированием по всей действительной оси:
Делая замену во втором интеграле (x-s)=t, получаем
,
что и требовалось доказать.
Видим, что мы свели исходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходной функции u(x). Выражая его через образы ядра и f(x),производя обратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:
=>
=> (3)

Второй способ: вычисляем резольвенту уравнения как
(4)
В виде Фурье - образов это равенство выглядит так:
,
где G(k) вычисляется как
(5)
V(k) - Фурье-образ исходного ядра v(x) уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x),применив обратное преобразование Фурье к (5),и подставить его в (4). Этот способ не требует вычисления каждый раз интегралов для F(k) при смене функции f,она подставляется в самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.
На примере этой задачи мы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. На этом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком - и опишем метод Винера-Хопфа.
1.2 Полубесконечный промежуток
Понятно, что в случае, если интегрирование идет не с -?, а с 0, переходя к образам, мы не можем воспринимать наш интеграл как свертку - а значит, и не можем написать наше уравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные с полубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, в случае разбиения функции f (x) на два куска - f+(x) и f-(x), (f(x)= f+(x) + f-(x) )представляющих собой правый и левый концы следующим образом:
выражения для прямых и обратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:
f+:,
при причем здесь - комплексная переменная, и выполняется неравенство Im(k)=ф > ф- . Причем

Обратное преобразование выглядит так:
,
и здесь мы интегрируем по любой прямой Im(k)=ф > ф- .
f-: При
для прямого преобразования Фурье имеем
,
к здесь та же к.п. ,это верно в области с Im(k)=ф < ф+ . Обратное преобразование для f- выглядит аналогично:
Интегрирование идет по той же прямой с Im(k)=ф < ф+
При ф- < ф+ образ F(k) задаётся уравнением
как раз в полосе ф- < Im(ф) < ф+ . При ф- < 0,ф+ > 0 функция полоса Im(ф)=0 попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбрав мнимую часть ф нулем.
Применим эти соображения к решению искомого уравнения. (6)
(6)

Разложим неизвестную функцию u(x) на составляющие u+ , u- :
При подстановке этих функций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Факт существование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения, удовлетворяющие следующим условиям:
,
µ<ф+.
При их выполнении в полосе µ < Im(k) < ф+ функции u+ ,u- являются аналитическими.
Переходя по формулам преобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в §1,мы имеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выбора функций u+ ,u- .Итак, получаем:
,
что видно из представления u(x)= u+(x)+u-(x), U(k)=U+(k)+U-(k) и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что
,
если так задать функцию L(k).
Мы подошли к сути метода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение к алгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, в отличие от §1,неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нам позволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работает лишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k) можем представить как частное функций L+(k),L-(k),уравнение принимает при этом вид
,
и известно следующее - “плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области , “минусовая” часть аналитическая функция в области ,µ <ф+ , а значит, в полосе (которая непуста )существует единственная общая функция U(k), совпадающая с U+ ,U- в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L+,L- растут не быстрее степенной функции kn, то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть в общем случае многочлену Pn(k) (это получается, если учесть стремление U+,U- к нулю по |к|-> ?.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде это выглядит так:
Если степень роста функций L есть единица(растут не быстрее линейной функции),то мы имеем для кусков функции L(k) следующее:
,
и в итоговом решении будет присутствовать произвольная константа C.Приведу пример последнего случая с n=0. Пример.

- интегральное уравнение с полубесконечным промежутком и нулевой f для простоты. Решим его м.В.-Х.
Как видим, мы имеем дело с ядром вида exp(-|x|).Найдем его Фурье-образ, и далее, функцию L(k):
- является аналитической в области -1 < Im(k) < 1. Разложим ее как частное двух так:
При 0 < л < 0.5 условия одновременной аналитичности выполняются в полосе µ < Im(k) < 1, при л > 0.5 условия выполняются в полосе 0 < Im(k) < 1. Эти выводы получаются из изучения особых точек функций L+(k),L-(k). Далее - обе функции растут на бесконечности к по модулю не быстрее многочленов первой степени. Наш полином в числителе - это конст и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.