Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Контрольная Задач, дея та формули методу Лобачевского-Греффе розвязання рвнянь, особливост конкретн приклади його використання у випадку дйсних рзних коренв. Загальн властивост алгебраїчних рвнянь. Загальна характеристика процесу квадратування коренв.

Информация:

Тип работы: Контрольная. Предмет: Математика. Добавлен: 21.04.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


21
1. Метод Лобачевского-Греффе розв'язання рівнянь (випадок дійсних коренів)
1.1 Загальні властивості алгебраїчних рівнянь
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (n?1)
, (1)
де коефіцієнти a0, a1, … , an - дійсні числа, причому a0?0.
В загальному випадку вважатимемо перемінну x вважатимемо комплексною.
Головна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (1) має рівно n коренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожен корінь рахується стільки разів, яка його кратність.
При цьому кажуть, що корінь о рівняння (1) має кратність s, якщо
,
. (символи над P означають похідні)
Комплексні корені рівняння (1) володіють властивістю парної сполученості.
Теорема. Якщо коефіцієнти алгебраїчного рівняння (1) - дійсні, то комплексні корені цього рівняння попарно комплексно-сполучені, тобто якщо
(б, в - дійсні) є коренем рівняння (1) кратності s, то число
також є коренем цього рівняння та має ту ж кратність s.
Відзначимо, що модулі цих коренів однакові:
.
Якщо x1, x2, … , xn - корені рівняння (1), то для лівої частини його вірний розклад
. (2)
Звідси, роблячи перемноження біномів в формулі (2) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в лівій та правій частині рівняння (2), отримаємо співвідношення між коренями та коефіцієнтами між коренями та коефіцієнтами рівняння:
(3)
Ліві частини рівняння (3) представляють собою суми сполучень коренів рівняння (1) по одному, по два і т. д. з n.
Приклад. Корені x1, x2, x3 кубічного рівняння
x3+px2+qx+r=0
задовольняють умовам:
Якщо враховувати кратність коренів, то розкладання (2) приймає вигляд
,
де x1, x2, …, xm (m?n) - різні корені рівняння (1) й б1, б2, ..., бm - їх кратності, причому
б1+ б2+...+ бm=n.
Похідна виражається наступним чином:
,
де Q(x) - поліном такий, що
Q(x)?0 при k=1, 2, …, m.
Тому поліном
є найбільшим загальним дільником поліному P(x) і його похідної P'(x). Як відомо, поліном R(x) може бути знайдений за допомогою алгоритму Евкліда. Складаючи відношення
,
отримаємо поліном
з дійсними коефіцієнтами A0=a0, A1, …, Am, корені якого x1, x2, …, xm різні.
1.2 Постановка задачі методу
Дано алгебраїчне рівняння n-ного ступеню:
знайти корені рівняння (тобто всі значення змінної x, при яких рівняння вірне).
1.3 Ідея методу
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню
, (1)
де . Припустимо, що корені рівняння (1) x1, x2, …, xn такі, що
, (2)
тобто корені різні за модулем, при чому модуль кожного попереднього кореня значно більший модуля наступного. Іншими словами, ми припускаємо, що відношення будь-яких двох сусідніх коренів, рахуючи у порядку спадання їх номерів, є величина, мала за модулем, тобто
(3)
де |k|< та - мала величина. Такі корені для кратності називатимемо відділеними (треба зауважити, що в загальному випадку це можуть бути як дійсні так і комплексні корені).
Скористаймося тепер співвідношеннями між коренями та коефіцієнтами рівняння (1)
Звідси в силу припущення (3) ми отримуємо:
(4)
де E1, E2, …, En - малі за модулем величини у порівнянні з одиницею. Нехтуючи в рівностях (4) величинами Ek (k=1, 2, …, n), будемо мати наближені відношення
(5)
Звідси знаходимо шукані корені
(6)
Щоб досягти відділення коренів, виходячи з рівняння (1), складають перетворене рівняння
, (7)
коренями якого y1, y2, …, yn є m-ті ступені коренів x1, x2, …, xn рівняння (1), тобто
yk=xkm (k=1, 2, …, n). (8)
Якщо корені рівняння (1), які ми вважаємо розташованими у порядку спадання модулів, є різними за модулем, то корені рівняння (7) при досить великій степені m будуть відділеними, тому що
при .
Наприклад, нехай
x1=2; x2=1,5; x3=1.
При m=100 матимемо:
y1=1,27*1030; y2=4,06*1017; y1=1 і, відповідно, .
Зазвичай в якості показника m беруть ступінь числа 2, тобто вважають m=p2, де p - натуральне число, а саме перетворення роблять у p прийомів, кожен раз складаючи рівняння, коренями якого є квадрати коренів попереднього рівняння.
Наближено обчисливши корені yk(k=1, 2, …, n), з формул (8) можна визначити і корені вихідного рівняння (1). Точність обчислень залежить від того, наскільки малим є відношення модулів сусідніх коренів перетвореного рівняння.
Ідея цього методу обчислення коренів належить Лобачевскому, практично зручна схема обчислень була запропонована Греффе.
Достоїнством метода Лобачевського-Греффе є те, що при використанні цього методу немає необхідності ізолювати корені. Треба лише позбавитися від кратних коренів. Саме обчислення коренів ведеться регулярним способом. Метод придатний також для знаходження комплексних коренів. Незручність методу полягає в необхідності оперування з досить великими числами. Крім того, відсутній достатньо надійний контроль обчислень й ускладнена оцінка точності отриманого результату.
Зауважимо, що якщо корені рівняння (1) різні, але модулі деяких з них близькі між собою, то збіжність метода Лобачевського-Греффе досить повільна. В цьому випадку такі корені варто розглядати як рівні за модулем і використовувати спеціальні прийоми обчислення.
1.4 Процес квадратування коренів
Покажемо тепер, як можна просто скласти рівняння, коренями якого є квадрати коренів даного алгебраїчного рівняння, взяті зі знаком мінус. Остання обставина викликається міркуваннями зручності, щоб за можливістю уникнути появи від'ємних коефіцієнтів. Процес переходу від коренів xk (k=1, 2, …, n) до коренів
yk=-xk2 (1)
для короткості зватимемо квадратуванням коренів.
Нехай
P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=0
- дане рівняння, де a0?0.
Позначуючи через x1, x2, …, xn корені цього рівняння, матимемо:
P(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn).
Звідси
P(-x)=(-1)na0(x+x1)(x+x2)…(x-xn).
Відповідно,
P(x)P(-x)=(-1)na02(x2-x12)(x2-x22)…(x2-xn2). (2)
Вважаючи
y=-x2
в наслідок формули (2) отримаємо поліном
Q(y)=P(x)P(-x),
Коренями якого є числа
yk=-xk2 (k=1, 2, …, n).
Так як
P(-x)=(-1)n(a0xn-a1xn-1+a2xn-1-…+(-1)nan),
то, роблячи перемноження поліномів P(x) і P(-x), матимемо:
P(x)P(-x)=(-1)n(a02x2n-(a12-2a0a2)x2n-2+(a22-2a1a3+2a0a4)x2n-4-...+(-1)nan2).
Відповідно, рівнянням, що цікавить нас є
Q(x)=A0yn+A1yn-1+A2yn-2+…+An=0
де
A0=a02,
A1=a12-2a0a2,
A2=a22-2a1a3+2a0a4,

An=an2.
Правило: При квадрату ванні коренів кожен коефіцієнт перетвореного рівняння дорівнює квадрату попереднього коефіцієнта, мінус подвоєний добуток сусідніх із ним коефіцієнтів, плюс подвоєний добуток слідуючих в порядку близькості коефіцієнтів і т. д., причому якщо потрібний коефіцієнт відсутній, то и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.