На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Метод коллокаций - определение функции, удовлетворяющей линейное дифференциальное уравнение и линейные краевые условия. Определение коэффициентов конечной суммы в выражении для приближенного решения дифференциального уравнения методом Галёркина.

Информация:

Тип работы: Лекции. Предмет: Математика. Добавлен: 28.06.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Методы коллокаций и Галеркина

Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функцию, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению
(2.50)
и линейными краевыми условиями
, (2.51)
причем
Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций
(2.52)
которую назовем системой базисных функций.
Пусть функция  удовлетворяет неоднородным краевым условиям
(2.53)
а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:
. (2.54)
Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить  и рассматривать лишь систему функций .
Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций
. (2.55)
Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

и аналогично
Составим функцию . Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь
.(2.56)
Если при некотором выборе коэффициентов ci выполнено равенство
при
то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция  обращалась в нуль в заданной системе точек  из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.
Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений
. (2.57)
Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты , после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).
Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу
 (2.58)
1. Метод коллокаций.
В качестве базисных функций выберем полиномы
.
Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям:  За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем функцию 
 (2.59)
В точках коллокации  получим
.
Подставляя сюда (2.59), найдем
(2.60)
Решив эту систему, определим коэффициенты :
=0.957, =? 0.022.
Следовательно, приближенное решение будет иметь вид
.
Например, при x=0 получим y(0)=0.957.
2. Метод сеток.
Для грубого решения выбираем шаг h=1/2 (см. рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток
Полагая , ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:
 (2.61)
Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y0 и . Полагая x=0 и пользуясь симметричными формулами для производных
 
,
получим:

Аналогично, при x=1/2, то есть при i=1, получаем

Учитывая теперь (2.61)найдем систему

Решая эту систему, отыщем y0=0.967, y1=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y0=0.957, а метод сеток y0=0.967.
Метод Галеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями
 
, (2.62)
 (2.63)
Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы
(2.64)
где  - некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а  - какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям
(2.65)
и, кроме того функции при  образуют в классе функций c2[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.
Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.
Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c2[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций  полна в классе G, если для любого  и любой функции  можно указать такое n и такие параметры , что имеет место неравенство

где
Это означает, что для любой допустимой функции  и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.