На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Интегралы и преобразования Фурье

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 18.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 5. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


     Учреждение  образования «Белорусский государственный  
педагогический университет имени Максима Танка»
 

     Математический  факультет
     Кафедра математического анализа 

      
 
 

      
КУРСОВАЯ РАБОТА

     Интегралы и преобразования Фурье  
 
 
 

                                    Выполнил
                                    студент 402 группы Хващевский К. В.
                                    Научный руководитель
                                    доцент Ковальчук  А.Н. 
 
 
 
 
 
 
 

     Минск 2011
     РЕФЕРАТ
     курсовой  работы «Интегралы и преобразования Фурье» 

     Объем работы 15 страниц.
     Ключевые слова: Интеграл Фурье, тригонометрический ряд, прямое  преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье. 

     В курсовой работе рассматриваются вопросы, связанные с определением интеграла Фурье, различными видами формул Фурье, определением и поиском преобразования Фурье. 

     Изучается метод получения интеграла Фурье, различные его виды, так же рассматривается метод поиска преобразования Фурье. 

     Решены  задачи: Связанные с поиском преобразования Фурье для следующих функций:
      

Содержание

Интеграл  Фурье.

       Мы хотим воспроизвести здесь в существенных чертах те замечательные по их прозрачности, хотя и лишённые строгости, соображения, которые привели Фурье к его интегральной формуле.
     Если  функция  задана в конечном промежутке , то при определённых условиях, которые нас здесь не интересуют, её можно представить в этом промежутке тригонометрическим рядам:
      
где
                                         
                                                     
     Подставляя  вместо коэффициентов  и их выражения, можно переписать ряд Фурье в виде
        \* MERGEFORMAT
     Пусть теперь функция будет определена во всём бесконечном промежутке . В этом случае, каково бы ни было , соответствующее значение выразится разложением \* MERGEFORMAT (1.1) при любом Переходя здесь к пределу при , попытаемся установить «предельную форму» этого разложения.
     Про первый член правой част равенства \* MERGEFORMAT (1.1) естественно считать, что он стремиться к нулю. Обращаясь же к бесконечному ряду, мы можем рассматривать множители под знаком косинуса как дискретные значения
        
некой переменной , непрерывно меняющейся от до ; при этом приращение
      
очевидно, стремится к нулю при  . В этих обозначениях наш ряд перепишется так:
      
Он напоминает интегральную сумму для функции
      
от  в промежутке . Переходя к пределу при , вместо ряда получим интеграл; таким путём и приходим к интегральной формуле Фурье:
      
     Можно представить эту формулу, раскрывая  выражение косинуса разности, и в виде
      
где
           
Здесь ясно обнаруживается аналогия с тригонометрическим разложением: лишь параметр , пробегающий ряд натуральных значений, заменён здесь непрерывно изменяющимся параметром , а бесконечный ряд – интегралом. Коэффициенты и так же по своей структуре напоминают коэффициенты Фурье.
     Конечно, все эти соображения имеют  характер лишь наведения; действительные условия справедливости формулы Фурье ещё подлежат выяснению. Но и при проведении строгих рассуждений мы будем следовать основным этапам рассуждения, связанных с рядами Фурье.
     Относительно  функции  предположим теперь, что 1) она кусочно-непрерывна в каждом промежутке и 2) абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке . В этом предположении рассмотрим интеграл
      
где есть произвольное конечное положительное число, а - любое фиксированное значение . Этот интеграл представляет аналог частичной суммы ряда Фурье: из него интеграл Фурье
        \* MERGEFORMAT
Получается  в пределе  .
     При любом конечном , будем иметь
      
        \* MERGEFORMAT
     Если функция  в промежутке непрерывна; в противном случае пришлось бы рассматривать каждый промежуток из тех, в которых функция непрерывна
     Но  интеграл
        \* MERGEFORMAT
мажорируется  сходящимся по предположению интегралом
      
и, следовательно, сходится равномерно относительно (как при , так и при ) для любого промежутка его значений. Таким образом, интеграл
      
при стремится к своему пределу \* MERGEFORMAT (1.4) равномерно. Поэтому, переходя в равенстве \* MERGEFORMAT (1.3) к пределу при , в интеграле слева предельный переход можно выполнить под знаком интеграла. Отсюда для получается выражение в виде интеграла
      
Напоминает  интеграл Дирихле, для исследования поведения тригонометрического ряда в какой-нибудь определённой точке, и, в действительности, играющего такую же точно роль. Элементарными преобразованиями его легко привести к виду
        \* MERGEFORMAT
     Для дальнейшего изложения нам понадобится следующая лемма:
     Если  функция  кусочно-непрерывна в каждой конечной части промежутка и абсолютно интегрируемая в этом бесконечном промежутке, то
      
(равно как и
      
     Действительно, задавшись произвольным числом , мы сначала выберем столь большим, что бы было
      
а значит и подавно
      
и при  том – каково бы ни было . А затем, из интеграла
      
для достаточно больших  будет
      
для тех  же , очевидно,
      
что и  требовалось доказать.
     Теорема. Пусть функция кусочно-дифференцируема в каждом конечном промежутке и, к тому же, абсолютно интегрируема в промежутке . Тогда в каждой точке её интеграл Фурье сходится и имеет значение
      
(которое,  очевидно, обращается в  , если функция в точке непрерывна).
     Предполагая выполненными указанные выше условия применимости формулы Фурье, будем считать для простоты, что в рассматриваемой точке функция непрерывна или, если разрывна, то удовлетворяет условию
      
Тогда во всяком случае имеем 

        \* MERGEFORMAT
     Ввиду того, что внутренний интеграл явно представляет собой чётную функцию от , эту формулу можно переписать и так:
        \* MERGEFORMAT
Легко показать далее, что при сделанных  общих предположениях относительно функции существует и интеграл
        \* MERGEFORMAT
Этот  интеграл, к тому же, является непрерывной  функцией от и, очевидно, нечётной.
     Вообще  говоря, для этой функции уже нельзя ручаться за существование несобственного интеграла от до , т. е. предела
      
При независимом  стремлении и к бесконечности, может оказаться существующим предел, отвечающий частному предположению . Такой предел, следуя Коши, называют главным значением интеграла и обозначают буквами (Valeur principale)
      
Если  интеграл существует в согласии с  обычным определением несобственного интеграла, то он, очевидно, совпадает с его главным значением.
     Ввиду нечётности функции \* MERGEFORMAT (1.8) от , будем иметь
      
И в  пределе при  тоже получится нуль. Итак, во всяком случае
      
     Умножая это равенство на и складывая с \* MERGEFORMAT (1.7), придём к соответствию
        \* MERGEFORMAT
где наружный интеграл понимается в смысле главного значения. В этом виде формула  была впервые представлена Коши.

Преобразование  Фурье.

     Рассмотрим интегральную формулу Фурье \* MERGEFORMAT (1.6) поскольку внутренний интеграл представляет собой чётную функцию от , то имеющееся равенство можно видоизменить так что
        \* MERGEFORMAT
В свою очередь, как мы уже говорили, функция от
      
будет нечётной и поэтому в смысле главного значения по Коши
      
Умножая последнее равенство на и вычитая результат из \* MERGEFORMAT (2.1), найдём
      
      
где
     Таким образом интегральную формулу Фурье  мы представили в виде двух преобразований: прямое преобразование Фурье
      
и обратное преобразование Фурье
      
В обратном преобразовании Фурье интеграл нужно  понимать в смысле главного значения по Коши, т. е.
      
     Замечание. Отметим встретившуюся выше промежуточную формулу
      
называемую  интегральной формулой Фурье в комплексной форме.

Примеры.

     1)Найти  преобразование Фурье для функции 
      
      
      
      
      
     Ответ:
     2)Найти  преобразование Фурье для функции 
      
      
продифференцируем обе части равенства по
      
        
      
      
      
Получили дифференциальное уравнение , решим его
      
      
Зная значение интеграла Пуассона
      
можем найти  :
      
Теперь  найдём постоянную
      
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.