На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Методика преобразования вращения и ее значение в решении алгебраических систем уравнений. Получение результирующей матрицы. Ортогональные преобразования отражением. Итерационные методы с минимизацией невязки. Решение методом сопряженных направлений.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 14.08.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


2
Реферат «Введение в численные методы»

Тема: «Методы предварительных эквивалентных преобразований и итерационные методы с минимизацией невязки для решения СЛАУ»


1. Методы предварительных эквивалентных преобразований
1.1 Преобразование вращения
Следующий важный подход к решению алгебраических систем уравнений базируется на применении эквивалентных преобразований с помощью унитарных матриц, сводящем исходную матрицу к эквивалентной ей диагональной.
Смысл этого подхода состоит в том, чтобы последовательно, умножением слева и / или справа на специальные унитарные матрицы, превратить некоторые компоненты исходной матрицы в нуль.
Матрица S называется унитарной, если ее произведение со своей комплексно сопряженной равно единичной матрице. Это означает, что комплексно сопряженная матрица равна обратной матрице:
Известной унитарной матрицей является матрица вращения, которая применяется для поворота на заданный угол вектора, принадлежащего некоторой плоскости, вокруг начала координат. В двумерном случае вектор поворачивается на угол путем умножения на матрицу
Чтобы сохранить эквивалентность результирующей матрицы при умножении ее на матрицу вращения, необходимо исходную матрицу умножать справа на и слева на . Умножение же матрицы вращения на вектор дает такой же по величине вектор, но повернутый на заданный угол.
Поворот вектора в многомерном пространстве на произвольный угол можно представить, как последовательность плоских вращений каждой проекции на некоторый угол. Если подобрать угол вращения так, чтобы в плоском повороте одну из проекций вектора совместить с координатной осью, то вторая проекция в этой плоскости становится равной нулю.
Частные повороты вектора в многомерном пространстве с помощью матрицы вращения можно выполнять, если ее расширить до матрицы размера следующим образом:
.
Индексы i, j обозначают матрицу вращения, поворачивающую вектор в плоскости на угол .
Теперь частное эквивалентное преобразование матрицы A вращением на угол записываются так:
.
Условие превращения в нуль ij-тых элементов симметричной матрицы A можно получить методом неопределенных коэффициентов на двумерной матрице:
.
.
Угол поворота, при котором , находится из уравнения
.
Разделив на и обозначив , , получим квадратное уравнение для тангенса требуемого угла поворота
.
Из двух решений для тангенса выбирается такое, чтобы . В этом случае . Подставив выражение для угла в соотношения для диагональных элементов, после тригонометрических преобразований получаются следующие формулы:
Для получения результирующей матрицы выполнять матричное умножение трех матриц совсем необязательно. Структура матриц вращения вызывает при умножениях изменение только тех элементов исходной матрицы, которые находятся на i-той и j-той строчках и на i-том и j-том столбцах. Изменения представляются суммами элементов, стоящих в строчках и столбцах, умноженных на синус или косинус угла в соответствии с формулами, где j>i:
преобразования строк - ;
преобразование столбцов -.
На пересечениях i-й строки и i-того столбца и j-й строки и j-того столбца располагаются соответственно вычисленные выше и , а на местах ij-того и ji-того элементов вставляются нули.
Для приведения к диагональной матрице необходимо выполнить таких элементарных преобразований.
1.2 Ортогональные преобразования отражением
Следующей важной унитарной матрицей, с помощью которой в различных алгоритмах выполняются ортогональные преобразования, являются матрицы отражения. Использование этого инструмента позволяет, например, последовательными эквивалентными преобразова-ниями свести исходную матрицу к верхней треугольной (QR-алгоритмы), трех или двух диагональным и т.д.
Смысл этого подхода состоит в том, чтобы умножением матрицы A слева на специально подобранную унитарную матрицу один из столбцов исходной матрицы (например, ) преобразовать в вектор, параллельный единичному координатному вектору (или ). Тогда, последовательно подбирая нужные унитарные матрицы и соответствующие единичные векторы , после n циклов эквивалентных преобразований можно будет получить верхнюю треугольную матрицу:
При выборе в качестве начального вектора и умножениях матрицы A на ортогональные матрицы справа в конечном счете можно получить нижнюю треугольную матрицу.
Весь вопрос состоит в том, как формировать унитарную матрицу с заданными свойствами из векторов и столбцов матрицы A.
Из аналитической геометрии известно, что любые векторы, лежащие в плоскости, взаимно перпендикулярны с ее нормалью, т.е. их проекции на нормаль равны нулю. Последнее эквивалентно равенству нулю скалярных произведений.
Чтобы (k+1) - мерный векторный треугольник сделать параллельным k-мерной гиперплоскости с нормалью n (вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости), необходимо приравнять нулю скалярное произведение: (n, y)=0.
Пусть вектор z не параллелен плоскости, заданной своей нормалью, тогда его проекции на эту плоскость и нормаль соответственно будут представлены векторами и . Вектор z и вектор зеркально-симметричный ему через эти проекции можно выразить так:
Разрешив первое относительно и подставив его в , получим
Проекцию вектора можно заменить скалярным произведением (n, z) и подставить в выражение для , выразив тем самым зеркально отраженный вектор через исходный вектор и нормаль гиперплоскости:
Здесь M представляет унитарную матрицу, преобразующую произвольный вектор в зеркально отраженный. В том, что матрица унитарная, нетрудно убедиться, проверив ее произведение со своей комплексно сопряженной:
Выражение для зеркально отраженного вектора позволяет представить нормальный вектор в виде линейной функции от задаваемого вектора z:
Число в знаменателе является нормирующим множителем. Нормальный вектор представляющий гиперплоскость обязан иметь единичную длину. Коэффициент , который в общем случае является комплексным числом, необходимо выбрать та и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.