На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


методичка Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова. Метод дополнительных краевых условий. Второй вариант метода переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования. Метод переноса в произвольную точку интервала интегрирования.

Информация:

Тип работы: методичка. Предмет: Математика. Добавлен: 13.07.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


1
Методы решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач.
Методы Алексея Юрьевича Виноградова.
1 Введение

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты - системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
Y(x) = A(x) • Y(x) + F(x),
где Y(x) - искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) - производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) - квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) - вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.
Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами
Краевые условия имеют вид:
U•Y(0) = u,
V•Y(1) = v,
где
Y(0) - значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u - вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
Y(1) - значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v - вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:
Y(x) = e• Y(x) + e• e• F(t) dt,
где
e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,
где E это единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:
K(x<x) = K(x - x) = e.
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ,
где Y*(x<x) = e• e• F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.
2 Случай переменных коэффициентов

Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.
Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):
e= e• e • … • e • e,
K(x<x) = K(x<x) • K(x<x) • … • K(x<x) • K(x<x).
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:
K(x<x) = K(x<x) • K(x<x) • … • K(x<x) • K(x<x),
где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:
K(x<x) = e, где ?x= x- x.
3 Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Эта очень простая формула еще не обсчитана на компьютерах. Вместо неё обсчитывалась значительно ранее выведенная и гораздо более сложная формула, приведенная в:
Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf
Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:
Y*(x<x) = e• e• F(t) dt
предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:
Y*(x<x) = Y*(x- x) = K(x- x) •K(x- t) • F(t) dt .
Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:
Y*(x- x) = e•e• F(t) dt ,
Y*(x- x) = e•e• F(t) dt ,
Y*(x- x) = e• F(t) dt ,
Y*(x- x) = e• F(t) dt ,
Y*(x- x) = e• e• F(t) dt ,
Y*(x<x) = e• e• F(t) dt,
что и требовалось подтвердить.
Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:
Y*(x<x) = Y*(x- x) = K(x- x) •K(x- t) • F(t) dt =
= K(x- x) • (E + A(x- t) + A (x- t)/2! + … ) • F(t) dt =
= K(x- x) • (EF(t) dt + A•(x- t) • F(t) dt + A/2! •(x- t) • F(t) dt + … ) .
Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.
Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x- x) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x)=const и тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x<x) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.
4 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Метод обсчитан на компьютерах. По нему уже сделано 3 кандидатских физ-мат диссертации.
Метод подходит для любых краевых задач. А для «жестких» краевых задач показано, что метод считает быстрее, чем метод С.К.Годунова до 2-х порядков (в 100 раз), а для некоторых «жестких» краевых задач не требует ортонормирования вовсе. Смотри:
Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики
Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf
Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид
Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) .
Или можно записать:
Y(0) = K(0<x) • Y(x) + Y*(0<x) .
Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:
U•Y(0) = u,
U•[ K(0<x) • Y(x) + Y*(0<x) ] = u,
[ U• K(0<x) ] • Y(x) = u - U•Y*(0<x) .
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:
U• Y(x) = u ,
где U= [ U• K(0<x) ] и u = u - U•Y*(0<x) .
Далее запишем аналогично
Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x)
И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x
U• Y(x) = u,
U• [ K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ] = u ,
[ U• K(x<x) ] • Y(x) = u - U• Y*(x<x) ,
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:
U• Y(x) = u ,
где U= [ U• K(x<x) ] и u = u - U• Y*(x<x) .
И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:
U• Y(x) = u ,
V• Y(x) = v .
Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:
• Y(x) = .
А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].
То есть, получив
U• Y(x) = u,
применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U• Y(x) = u.
И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем
Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) .
И получаем
U• [ K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ] = u ,
[ U• K(x<x) ] • Y(x) = u - U• Y*(x<x) ,
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:
U• Y(x) = u ,
где U= [ U• K(x<x) ] и u = u - U• Y*(x<x) .
Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U• Y(x) = u.
И так далее.
И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x) в рассматриваемой точке x:
• Y(x) = .
5 Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Этот вариант метода еще не обсчитан на компьютерах.
Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:
Y(0) = K(0<x) • Y(x) + Y*(0<x) ,
Y(1) = K(1<x) • Y(x) + Y*(1<x) .
Подставим эти формулы в краевые условия и получим:
U•Y(0) = u,
U•[ K(0<x) • Y(x) + Y*(0<x) ] = u,
[ U• K(0<x) ] • Y(x) = u - U•Y*(0<x) .
и
V•Y(1) = v,
V•[ K(1<x) • Y(x) + Y*(1<x) ] = v,
[ V• K(1<x) ] • Y(x) = v - V•Y*(1<x) .
То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:
[ U• K(0<x) ] • Y(x) = u - U•Y*(0<x) ,
[ V• K(1<x) ] • Y(x) = v - V•Y*(1<x) .
Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x) в любой рассматриваемой точке x:
• Y(x) = .
В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.
Используем свойство перемножаемости матриц Коши:
K(x<x) = K(x<x) • K(x<x) • … • K(x<x) • K(x<x)
и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде:
K(0<x) = K(0<x) • K(x<x) • K(x<x),
K(1<x) = K(1<x) • K(x<x) • K(x<x) • K(x<x),
Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:
[ U• K(0<x) • K(x<x) • K(x<x) ] • Y(x) = u - U•Y*(0<x) ,
[ V• K(1<x) • K(x<x) • K(x<x) • K(x<x) ] • Y(x) = v - V•Y*(1<x)
или в виде:
[ U• K(0<x) • K(x<x) • K(x<x) ] • Y(x) = u* ,
[ V• K(1<x) • K(x<x) • K(x<x) • K(x<x) ] • Y(x) = v* .
Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:
[ U• K(0<x) • K(x<x) • K(x<x) ] • Y(x) = u* ,
[ U• K(0<x) ] • { K(x<x) • K(x<x) • Y(x) } = u* ,
[ матрица ] • { вектор } = вектор .
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ U• K(0<x) ] • { K(x<x) • K(x<x) • Y(x) } = u* .
Далее последовательно можно записать:
[[ U• K(0<x) ] • K(x<x) ] • { K(x<x) • Y(x) } = u* ,
[ матрица ] • { вектор } = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[ U• K(0<x) ] • K(x<x) ] • { K(x<x) • Y(x) } = u* ,
Далее аналогично можно записать:
[[[ U• K(0<x) ] • K(x<x) ] • K(x<x) ] • { Y(x) } = u* ,
[ матрица ] • { вектор} = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[[ U• K(0<x) ] • K(x<x) ] • K(x<x) ] • Y(x) = u* .
Аналогично можно проортонормировать матричное уравнение краевых условий и для правого края независимо от левого края.
Далее проортонормированные уравнения краевых условий:
[ U• K(0<x) ] • Y(x) = u* ,
[ V• K(1<x) ] • Y(x) = v*
как и ранее объединяются в одну обычную систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения искомого вектора Y(x) :
• Y(x) = .
6 Метод дополнительных краевых условий

Этот метод еще не обсчитан на компьютерах.
Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:
M • Y(0) = m .
В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы М можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи - 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:
• Y(0) = ,
то есть вектор Y(0) находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.
Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:
N • Y(0) = n ,
где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.
Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:
• Y(1) = .
Запишем Y(1) = K(1<0) •Y(0) + Y*(1<0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:
• [ K(1<0) •Y(0) + Y*(1<0) ] = ,
• K(1<0) •Y(0) = - • Y*(1<0),
• K(1<0) •Y(0) = ,
• K(1<0) •Y(0) = .
Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу:
Y(0) = •
и подставим в предыдущую формулу:
• K(1<0) • • = .
Таким образом, мы получили систему уравнений вида:
В • = ,
где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.
Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:
• = ,
откуда можем записать, что
В11 • u + B12 • m = s,
B21 • u + B22 • m = t.
Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:
m = B12 • (s - B11• u).
А искомый вектор n вычисляется через вектор t:
t = B21 • u + B22 • m,
n = t + N • Y*(1<0).
В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.
Запишем приведенную выше формулу
• K(1<0) • • =
в виде:
• K(1<x2) • K(x2<x1) • K(x1<0) • • = .
Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:
[ • K(1<x2) ] • { K(x2<x1) • K(x1<0) • • } =
[ матрица ] • { вектор } = вектор
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ • K(1<x2) ] { K(x2<x1) • K(x1<0) • • } =
Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.
Далее запишем:
[[ • K(1<x2) ] • K(x2<x1)] { K(x1<0) • • } =
[ матрица ] { вектор } = вектор
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[ • K(1<x2) ] K(x2<x1)] { K(x1<0) • } = .
И так далее.< и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.