На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Математическая логика

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 20.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 9. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Тема3: Математическая логика
                 …Встреча  математики с логикой  в прошлом столетии привела к таким  же последствиям, что  и приход принца в  зачарованный замок  спящей красавицы: после  столетий глубокого  сна логика вновь  расцвела плодотворной жизнью.
                 Л.Э. Гуревич, Э.Б. Глинер 

3.1 Введение
    Слово «логика» всем хорошо знакомо. Его часто  можно встретить на страницах  всевозможных печатных изданий, услышать в разговорной речи. Что же означает это слово? Заглянем в толковый словарь  С.И. Ожегова. Там сказано: «Логика  – наука о законах мышления и его формах» и еще – «Логика – ход рассуждений». Если второе толкование смысла слова «логика» более или менее понятно каждому, то в связи с первым сразу возникает вопрос: а что такое формы и законы мышления?
    Подобно Журдену из пьесы Мольера «Мещанин во дворянстве», который очень обрадовался, узнав, что всю жизнь говорит прозой, вам будет приятно узнать, что в большинстве случаев вы мыслите и говорите по законам логики.
    Слово «логика» происходит от греческого logos, что, с одной стороны, означает «слово», а с другой – «мысль, рассуждение». Логика изучает акты мышления, зафиксированные в языке в виде слов, предложений и их совокупностей. Таким образом, логика имеет непосредственное отношение к языку, речи, т.е. соприкасается с грамматикой и, более широко, с лингвистикой (наукой о языке). С помощью логических средств наш естественный язык уточняется, приобретает четкость и определенность. Как справедливо заметил польский логик А.Тарский, – логика создает возможность лучшего взаимопонимания между теми, кто к этому стремится.
    Многим  хорошо известно, что логика – неотъемлемая составная часть математики. Без  логики в математике – ни шагу: ни тебе теорему доказать, ни формулу  вывести, ни задачу решить. Ироническая  фраза: «Нематематики считают, что математики считают» намекает на то, что основное занятие математиков – вовсе не счет (как многие полагают), а логические или, иначе говоря, дедуктивные рассуждения – выводы, доказательства. (Слово дедукция происходит от латинского deduction, что значит – выведение). С помощью логики математики выводят из уже имеющихся в их распоряжении математических фактов новые факты.
    В этом и заключаются основное назначение и сила логики: с ее помощью, имея некоторый запас достоверных (истинных) знаний, можно получать новые знания, не прибегая к наблюдению или эксперименту, а лишь размышляя и рассуждая по определенным правилам.
    Логика  входит в арсенал методов любой  науки, является частью ее методологии. Многие естественнонаучные факты были открыты с помощью логики.
    Однако в математике логика выступает в наиболее отчетливом, нестертом, незавуалированном виде, а ее «удельный вес» несравненно больше, чем в естественных науках. В математической теории количество предложений, содержащих исходное знание (аксиом), сводится к минимуму; основное же содержание теории заключено в предложениях, полученных в результате логических рассуждений (теоремах). Поэтому математику называют дедуктивной наукой в отличие от естественных наук (физики, химии, биологии), в которых основной, ведущий метод – эксперимент. Впрочем, естественные и даже многие гуманитарные науки по мере своего развития все более активно и плодотворно используют математические и логические методы, а возможность представления содержания какой-либо науки (или ее раздела) в виде аксиоматической теории считается показателем высокой степени развития этой науки. Как полагал великий немецкий философ Эммануил Кант (1724-1804 гг.), – «каждая наука в той или иной мере является наукой, в какой мере содержит математику». Быть может, это сказано слишком сильно, однако, этой фразой емко и выразительно определено значение математики для других наук и ее место среди них. Недаром другой знаменитый ученый, наш соотечественник, физик Лев Ландау (1908-1968 гг.) назвал математику «наукой сверхъестественной».
    Итак, логика в большей или меньшей  степени используется как один из методов в любой науке. Необходима логика и в повседневной жизни. С  ее помощью обеспечивается полноценное (адекватное) общение в мире людей  и компьютеров. Логика присутствует или, по крайней мере, должна присутствовать в любом споре, судебном разбирательстве, расследовании преступления (Шерлок Холмс и его дедуктивный метод!).
    В высшей степени важна логика в  законотворчестве: формулировка закона должна исключать возможность его  неоднозначного толкования. «Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Без логики – это слепая работа» – так сказал о роли логики в познавательной, в частности в учебной деятельности, академик П. Анохин.
    Почему  же логика – столь универсальный  инструмент, полезный, более того –  необходимый в любой интеллектуальной деятельности? Чем объясняется ее общезначимость? Рассмотрим три рассуждения.
    Все насекомые – шестиногие. У паука – не шесть ног (а восемь!). Следовательно, паук не насекомое.
    Все числа, кратные 10, оканчиваются нулем. Число п не оканчивается нулем. Следовательно, число п не кратно 10.
    Все отличники в Петином классе занимаются спортом. Петя не занимается спортом. Следовательно, Петя – не отличник.
    Все эти короткие, одношаговые рассуждения (умозаключения) имеют одну и ту же форму: Все А – это В; не В. Следовательно, не А. Умозаключение такой формы всегда приводит к верному (истинному) выводу (заключению, следствию), если исходные утверждения (посылки) истинны. Формы рассуждений, обладающие свойством «перерабатывать» любые истины в новые истины, называются правильными. Логика дает нам свод правильных форм основных, простейших рассуждений (умозаключений) и правила построения из них сколь угодно длинных и сложных дедуктивных рассуждений, которые применимы в любой области знаний. Этим и объясняется универсальность и «вездесущность» логики, ни с чем не сравнимое многообразие сфер ее применения.
    Логика, хотя и связана с языком, но, в отличие от лингвистики, изучает не формы языка, а отраженные в языке формы мышления. А, как известно, несмотря на все различия языков, человечество имеет общее достояние в виде некоторой совокупности мыслей. Идея универсальности логики была использована при создании линкоса, языка для связи с инопланетными цивилизациями. При этом предполагалось, что логические формы и законы, свойственные человеческому мышлению, присущи всякому разуму, и что поэтому такой «логический» язык вместе с языком математических абстракций может стать средством общения в самом широком смысле и масштабе
    Логика  как наука сформировалась очень  давно – в IV в. до н.э. Ее создал древнегреческий ученый Аристотель. В течение многих веков логика сколько-нибудь существенно не развивалась. Это, конечно, свидетельствует о гениальности Аристотеля, которому удалось создать столь полную научную систему, что, казалось, «не убавить, не прибавить». Однако в силу такой неизменности логика приобрела славу мертвой, застывшей науки и вызывала у многих скептическое к себе отношение. Сухость и кажущуюся закостенелость, бесплодность логики высмеяли в своих бессмертных произведениях Ф. Рабле и Д. Свифт («Гаргантюа и Пантагрюэль» и «Путешествие Гулливера»). В XVII в. великий немецкий ученый Готфрид Лейбниц (1646-1716) задумал создать новую логику, которая была бы «искусством исчисления». В этой логике, по мысли Лейбница, каждому понятию соответствовал бы символ, а рассуждения имели бы вид вычислений. Эта идея Лейбница, не встретив понимания современников, не получила в то время распространения и развития.
    Только  в середине XIX в. ирландский математик и логик Джордж Буль (1815-1864) частично воплотил в жизнь идею Лейбница. Им была создана алгебра логики, в которой действуют законы, схожие с законами обычной алгебры, но буквами обозначаются не числа, а предложения. На языке булевой алгебры можно описывать рассуждения и «вычислять» их результаты; однако, ею охватываются далеко не всякие рассуждения, а лишь определенный тип их, в некотором смысле – простейший.
    Алгебра логики Буля явилась зародышем новой  науки – математической логики. В отличие от нее логику, восходящую к Аристотелю, называют традиционной или классической формальной логикой. Таким образом, математическая логика – это логика, использующая язык и методы математики.
    Математическая  логика сама стала областью математики, поначалу казавшейся в высшей степени  абстрактной и бесконечно далекой  от практических приложений. Сегодня  математическая логика используется в  биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике. Велика роль математической логики в развитии вычислительной техники: она используется в конструировании компьютеров и при разработке искусственных языков для общения с ними. 

3.2 Высказывания и операции над высказываниями
    Высказывание  – это повествовательное  предложение (утверждение), о котором можно  говорить, что оно  истинно или ложно.
    Высказывания  обозначают большими или маленькими латинскими буквами.
    Пример 1: А: «Москва – столица России» – истинное высказывание. b = «Волга впадает в Черное море» – ложное высказывание.
    Значения  истинности высказываний обозначаются буквами И – «истина» и Л – «ложь» или цифрами 1 – «истина» и 0 – «ложь». Т.е., А = 1(И), b = 0(Л).
    Не  всякое предложение является высказыванием. Так, к высказываниям не относятся вопросительные, и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла. Не являются высказываниями и такие предложения: «Каша – вкусное блюдо», «Математика – интересный предмет». Нет, и не может быть единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны. Предложение «Существуют инопланетные цивилизации» следует считать высказыванием, так как объективно оно либо истинное, либо ложное, хотя пока никто не знает, какое именно.
    Предложения «Шел снег», «Площадь комнаты равна 20 м2», «а2 = 4» не являются высказываниями; для того, чтобы имело смысл говорить об их истинности или ложности, нужны дополнительные сведения: когда шел снег, о какой конкретно комнате идет речь, какое число обозначено буквой а. В последнем примере а может не обозначать конкретного числа, а быть переменной, т.е. буквой, вместо которой можно подставлять элементы некоторого множества, называемые значениями переменной. Пусть, например, {-2; 0; 2; 3; 4} – множество значений переменной а. Каждому значению переменной соответствует либо истинное, либо ложное высказывание. Например: высказывания «(-2)2 = 4» и «22 = 4» истинны, а высказывания «02 = 4», «32 = 4» и «42 = 4» ложны.
    Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называется высказывательной формой.
    Рассмотрим  предложения: «Он рыжеволос» и «Число делится на 7». Эти предложения  не содержат переменных в явном виде, но, тем не менее, являются высказывательными формами: первое из них становится высказыванием (истинным или ложным) только после замены местоимения «он» именем конкретного человека из некоторого множества людей мужского пола; второе становится высказыванием, если вместо слова «число» подставлять целые числа. Иначе эти предложения можно записать так: «Человек х рыжеволос», «Число у делится на 7».
    Из  высказывательных форм можно получать высказывания также с помощью  специальных слов, так называемых кванторов. Их два: 1) квантор всеобщности – (любой, всякий, каждый); 2) квантор существования – (существует, найдется, имеется, некоторый, по меньшей мере, один). Например, из высказывательной формы «Площадь комнаты 20 м2» можно с помощью кванторов получить высказывания: «Площадь любой комнаты 20 м2» – ложное, «Существует комната, площадь которой 20 м2» – истинное.
    Из  двух данных предложений можно образовывать новые предложения с помощью  союзов «и», «или», «либо», «если…, то…», «…тогда и только тогда, когда…» и других. С помощью частицы «не» и словосочетания «неверно, что…» из одного предложения можно получить новое. Наиболее употребительными являются союзы «и», «или», «если…, то…» и «…тогда и только тогда, когда». Остальные союзы считают близкими по смыслу одному из перечисленных союзов.
    Союзы «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда», а также  частицу «не» (словосочетание «неверно, что») называют логическими связками.
    Предложения, образованные из других предложений  с помощью логических связок, называют составными или сложными. Предложения, которые не содержат логических связок, называют элементарными или простыми.
    Пример 2: Из предложений «Солнце всходит на востоке» и «Солнце заходит на западе» можно получить следующие составные высказывания: «Солнце всходит на востоке и заходит на западе»; «Солнце всходит на востоке или заходит на западе»; «Если солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе»; «Солнце всходит на востоке тогда и только тогда, когда оно заходит на западе»; «Солнце не всходит на востоке» или «Неверно, что солнце заходит на западе».
    В грамматике различают предложения  простые и сложные. Предложение, простое по своей грамматической структуре, может быть составным  с точки зрения логики. Например, простое с точки зрения грамматики предложение «На улице холодно и сыро» считается в логике сложным, так как образовано с помощью логической связки «и» из двух элементарных предложений «На улице холодно» и «На улице сыро». Простое предложение «Завтра не будет осадков» по своей логической структуре не является элементарным, так как содержит логическую связку «не».
    Возникает вопрос: как определить значение истинности сложного высказывания?
    В математической логике смысл логических связок уточняется так, чтобы вопрос об истинности или ложности составных предложений, образованных из высказываний во всех случаях решался однозначно. Таким уточнением займемся ниже.
    Процесс получения составных  высказываний с помощью  логических связок называется логической операцией.
    По  числу логических связок выделяют пять логических операций.
1. Негация (отрицание) – единственная операция, которая может применяться к одному высказыванию.
    Негацией  высказывания называется новое высказывание, которое истинно  тогда и только тогда, когда само высказывание ложно и ложно, когда само высказывание истинно.
    Негация обозначается , или b, читается: «не А» или «неверно, что А».
    Например, высказывание А = «Луна – спутник Марса» – ложное, а высказывание = «Неверно, что Луна – спутник Марса» – истинное.
    Для произвольного высказывания А определение удобно записывать с помощью так называемой таблицы истинности:
А
1 0
0 1
    Пример 3: Сформулировать отрицание высказываний: А = «Курган – большой город»; В = «Сыр делают из молока»; С = «32 не делится на 4».
    Решение. = «Неверно, что Курган – большой город»; = «Сыр делают не из молока»; = «32 делится на 4».
2. Конъюнкция (логическое умножение) – от латинского conjunctio – соединение.
    Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно  тогда и только тогда, когда оба  высказывания истинны.
    Конъюнкция  обозначается или А&B; читается: «А и В».
    Таблица истинности для конъюнкции выглядит следующим образом:
А В
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
    Пример 4: Определить значение истинности высказываний «Париж расположен на Сене и 2 + 3 = 5»; «1 – простое число и 2 – простое число»; «Число 3 – четное и медведи живут в Африке».
    Решение. Первое высказывание является конъюнкцией двух высказываний А = «Париж расположен на Сене» и В = «2 + 3 = 5». Значение истинности высказывания А = 1 и значение истинности высказывания В = 1. Следовательно, = 1.
    Второе  высказывание является конъюнкцией  высказываний А = «1 – простое число» (А = 0) и В = «2 – простое число» (В = 1). Следовательно, = 0.
    Третье  высказывание является конъюнкцией  двух ложных высказываний, следовательно, =0.
3. Дизъюнкция (логическое сложение) – от латинского disjunction – разделение.
    Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно  тогда и только тогда, когда оба  высказывания ложны.
    Дизъюнкция обозначается и читается «А или В».
    Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом: 

А В
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
    Пример 5: Определить значение истинности высказываний «Париж расположен на Сене или 2 + 3 = 5»; «1 – простое число или 2 – простое число»; «Число 3 – четное или медведи живут в Африке».
    Решение. Первое высказывание является дизъюнкцией двух высказываний А = «Париж расположен на Сене» и В = «2 + 3 = 5». Значение истинности высказывания А = 1 и значение истинности высказывания В = 1. Следовательно, = 1.
    Второе  высказывание является дизъюнкцией  высказываний А = «1 – простое число» (А = 0) и В = «2 – простое число» (В = 1). Следовательно, = 1.
    Третье  высказывание является дизъюнкцией  двух ложных высказываний, следовательно, =0.
4. Импликация (логическое следствие).
    Импликацией двух высказываний называется новое высказывание, которое ложно  тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно.
    Импликация  обозначается или , читается «Если А, то В».
    Таблица истинности импликации выглядит так:
А В
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
    Пример 6: Чтобы запомнить правило нахождения значения истинности импликации, удобно воспользоваться следующими высказываниями: «Дождь идет», «Асфальт мокрый», «Дождь не идет», «Асфальт сухой».
    1) = «Если дождь идет, то асфальт мокрый» = 1;
    2) = «Если дождь идет, то асфальт сухой» = 0;
    3) = «Если дождь не идет, то асфальт мокрый» = 1 (прошла поливальная машина или растаял снег);
    4) = «Если дождь не идет, то асфальт сухой» = 1.
    Принятое  определение импликации соответствует  употреблению союза «если…, то…» не только в математике, но и в обыденной, повседневной речи. Так, например, обращение  приятеля «Если будет хорошая  погода, то я приду к тебе в  гости» вы расцените как ложь в том и только в том случае, если погода будет хорошая, а приятель к вам в гости не придет.
    Вместе  с тем определение импликации вынуждает считать истинными  высказываниями такие предложения, как «Если 2?2 = 4, то Москва – столица  России» или «Если 2?2 = 5, то существуют ведьмы». Эти предложения, вероятно, кажутся бессмысленными. Дело в том, что мы привыкли соединять союзом «если…, то…» (так же, как и другими союзами) предложения, связанные по смыслу. Но определениями логических операций смысл составляющих высказываний никак не учитывается; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными либо ложными. Поэтому не стоит смущаться «бессмысленностью» некоторых составных высказываний, их смысл не входит в предмет нашего рассмотрения.
5. Эквиваленция (логическая равносильность).
    Эквиваленцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно  тогда и только тогда, когда оба  высказывания одновременно истинны либо ложны.
    Эквиваленция  обозначается или , читается «А тогда и только тогда, когда В».
    Таблица истинности для эквиваленции выглядит так:
А В
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
    В форме эквиваленции, как правило, формулируются определения (например, определения логических операций).
    Пример 7: Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В – высказывание «10 делится на 3». Составьте высказывания, имеющие логическую структуру: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) и определите их значения истинности.
    Решение. а) = «Если 9 делится на 3, то 10 делится на 3» = 0, т.к. А = 1, а В = 0. б) = «Если 10 делится на 3, то 9 делится на 3» = 1. в) = «9 делится на 3 тогда и только тогда, когда 10 делится на 3» = 0. г) = «10 делится на 3 тогда и только тогда, когда 9 делится на 3» = 0. д) = «Если 9 не делится на 3, то 10 делится на 3» = 1 (т.к. А = 1, то = 0 и В = 0, следовательно, = 1). е) = «9 делится на 3 тогда и только тогда, когда 10 не делится на 3» = 1 (А = 1 и = 1, тогда = 1). 

3.3 Формулы логики высказываний
    В логике высказываний – первом и  основном разделе математической логики – элементарные высказывания рассматриваются как нерасчленяемые «атомы», а составные высказывания – как молекулы, образованные из «атомов» применением к ним логических операций. Логика высказываний интересуется единственным свойством элементарных высказываний – их значением истинности; составные же высказывания изучаются ею со стороны их логической структуры, отражающей способ, которым они образованы. Структура составных высказываний определяет зависимость их значений истинности от значений истинности составляющих элементарных высказываний.
    Так как смысл высказываний математическую логику не интересует, их вполне можно  заменить переменными.
    Пусть X, Y,…, Z,…, Xi, Yi,…, Zi – переменные, вместо которых можно подставить любые элементарные высказывания (или их значения истинности). Такие переменные называют пропозициональными или высказывательными переменными. С помощью высказывательных переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е. заменить формулой, отражающей его логическую структуру.
    Начнем  с того, что уточним понятие  формулы логики высказываний. Для  этого зададим алфавит, т.е. набор символов, которые мы будем употреблять в логике высказываний:
    Х, Y,…, Z,…, Xi, Yi,…, Zi (i – натуральное число) – символы для обозначения высказывательных переменных;
    И, Л, 1, 0 – символы, обозначающие логические константы «истина» и «ложь»;
    – символы логических операций;
    (, ), [, ] – скобки (вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения операций).
    Дадим теперь строгое определение формулы логики высказываний (будем говорить формула ЛВ):
    Всякая высказывательная переменная – формула ЛВ.
    Символы И, Л, 1, 0 – формулы ЛВ.
    Если F – формула ЛВ, то - формула ЛВ.
    Если F1 и F2 – формулы ЛВ, то , , и - формулы ЛВ.
    Никаких других формул в логике высказываний нет.
    Определение такого вида называется индуктивным. В  п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.
    Условимся для упрощения записей не заключать  в скобки формулы, не являющиеся частями  других формул или стоящие под  знаком отрицания. Заметим, что в  формуле число левых скобок всегда должно быть равно числу правых скобок.
    Опишем  процедуру формализации высказываний:
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.