На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 16.12.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


6
6
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина"
Институт математики, физики и информатики.
"Нахождение решений дифференциальных уравнений,
имеющих вертикальные асимптоты"
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Допущена к защите
Заведующий кафедрой
доктор физико-математический наук, профессор
_________________
Студентка 6 курса
заочного отделения
научный руководитель
доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и геометрии
__________________
Тамбов, 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Метод нахождения приближенного решения дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты
Пример
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим общее дифференциальное уравнение 1 порядка.

=f (x, y)

Решением этого уравнения на интервале I= [a,b] называется функция u(x)

Решить это дифференциальное уравнение численным методом означает, для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя аналитический вид функции у = F(x), найти такие значения

у1, у2,…, уn, что уi = F(xi), i=1,2,…

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

y=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина называется шагом интегрирования. Часто выбирают

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Метод нахождения приближенного решения

дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты

Применение шаговых методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

у'= f(x, у), х?0, (1)

у(0) =б, (2)

встречает серьезные трудности, если решение у(х) не продолжаемо на всю числовую ось.

Действительно, привычное определение решения, как функции аргумента х, заставляет выбирать в качестве шага значение . Вычисления с таким шагом не позволяют "заметить", например, вертикальную асимптоту решения. В работе предлагается модификация одношаговых численных методов, позволяющая оценивать и учитывать максимальный интервал существования решения задачи (1), (2) с тем, чтобы не строить лишенные смысла "приближенные решения" за границами этого промежутка, если он кончен. Эта модификация основывается на геометрической идее рассмотрения решения как кривой на плоскости Оху. При таком взгляде в качестве шага естественно выбрать длину заключенного между точками (,), (), аппроксимирующей решение.

Применим эту идею к модификации метода Эйлера, описываемого формулами =+, +. Так как здесь интегральная кривая заменяется ломаной, то в качестве постоянного шага H выберем расстояние между точками (), (,), т.е.

=.

Отсюда . Таким образом, метод Эйлера можно записать в виде:

+; . (3)

Приведем условия конечности максимального интервала существования решения задачи (1), (2) и выясним поведение при этих условиях приближенного решения, построенного по формулам (3). Интервал [0,b) считается максимальным интервалом существования решения , если или если не существует конечного предела Соответствующее решение , определенное на [0,b), называется полным. Предлагаемое ниже утверждение не содержит требований к функции f, гарантирующих наличие полного решения и тем более его единственность. Отметим в связи с тем, что непрерывности f достаточно для существования полного решения и продолжаемости любого решения на максимальный интервал.

ТЕОРЕМА 1. Пусть б>0 и существуют такие положительные числа А, д, что при всех , выполнено неравенство:

f(x,y) ?А (4)

Тогда:

если существует полное решение , x, задачи (1), (2),

то ,

для приближенного решения, построенного по формулам (3), имеют место предельные соотношения , .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Решением задачи = , z(0) = , является функция z=б/(1-Aдбдx) 1/д, имеющая вертикальную асимптоту x=1/ (Aдcд). Согласно теореме об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29)

y(x) Утверждение 1) доказано.

Вследствие неравенства (4) и положительности y0 для численного решения, построенного по формулам (3), имеем при любом i. Далее, так как функция возрастающая, то

/ = 00.

Отсюда

,

Поскольку , то ряд сходится, поэтому существует . Утверждение 2) доказано.

Теореме 1 свидетельствует о "качественной близости" приближенного и точного решений задачи (1), (2). Для исследования сходимости предлагаемого метода удобно заменить задачу (1), (2), задачей Коши для системы двух уравнений:

,

. (5)

x(0) =0,y(0) =б (6)

Решением этой системы являются функции x=x(t), y=y(t), задающие параметрические уравнения интегральной кривой задачи (1), (2).

Формулы (3) оказываются формулами метода Эйлера решения задачи (5), (6) с шагом H изменения параметра t.

Потребуется следующее утверждение о непрерывной зависимости решения (x(t), y(t)) системы (5) от начальных условий. Выберем произвольные числа Т>0, в,г. Обозначим через (((t), (t)) такое решение системы (5), для которого , .

ТЕОРЕМА 2. Пусть при функция f (x, y) удовлетворяет неравенству (4) и имеет непрерывные частные производные, причем существует такое число В>0, что

| | (7)

Тогда найдётся такая убывающая функция N (E), определенная при Е для любых x(T), y(T), в, г из неравенств x(T) ?0, x(T) + в?0, y(T) ?Е, y(T) +в?Е следует неравенство:

? N(E) |(в, г) | (8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных и в силу неравенств (7) можно вы и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.