На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Теория вероятности

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 27.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 15. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


            Содержание 
             

1. Ведение……………………………………………………..……………...…….2-3
2. Понятие события……...……………………………………………………...…4-6
3. Операции над  событиями...…………………………………………………….7-9
4. Аксиоматика  теории вероятности……………………………………..……..9-12
     - построение вероятностного пространства;…………………………….9-10 - классическое определение вероятности………………………………11-12
5. Основные теоремы  теории вероятности……………………………...….…13-15
     - теоремы сложения вероятности;…………………..…………………..13-15
     - теорема умножения вероятностей;………………………………………..16
     - формула полной вероятности……………...……………………………...17
6. Заключение……………………………………………………………………….18
7. Приложение …………………………………………………….……………19-23
8. Библиографический список  ………………………......................................24-25

Введение

 
     Теория  вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки  были заложены великими математиками. Например, Ферм, Бернулли, Паскаль. Позднее  развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой  вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные  и статистические методы в настоящее  время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием  вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.   Как уже говорилось, раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют теорией вероятностей. Эта теория имеет дело не с отдельными событиями, а с результатом проведения достаточно большого числа испытаний, т.е. с закономерностями массовых случайных явлений. По определению, приведенному в БСЭ, теория вероятностей есть математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятность других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.  
     Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз  – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в нале прошлого века подбрасывал  её 24000 раз – герб выпал 12012 раз. В 70-х г.г. XX века американские естествоиспытатели повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них  и является случайным событием, при  неоднократном повторении подвластны объективному закону.
     Теория  вероятностей и изучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.
     В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д.  "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "Вероятнее всего, мы поедем  

в воскресенье  за город", "Это совершенно невероятно", "Много шансов, что я успешно  напишу контрольную работу" и  т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что  произойдет некоторое случайное  событие. Однако, чтобы можно было применять к оценке вероятностей математические методы, надо дать этому  понятию строгое определение. Приведем цитату из БСЭ, дающую представление  о том, что такое вероятность:
       "Вероятность математическая - числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях". Попытаемся превратить это описание понятия вероятности в точное математическое определение и выяснить, как связана вероятность с частотой появления данного события в длинной серии испытаний.
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Понятие события  

     Любой исход эксперимента мы будем называть элементарным событием.
        Все эти исходы равновозможные и взаимоисключающие друг друга. Например, в опыте, состоящем в подбрасывании кубика  всего 6 элементарных событий.
        События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,…  

Определение:
     Два события А и В называются несовместными, если в условиях эксперимента эти  события не могут происходить  одновременно, т.е. происходит только одно из них.
     События называют несовместными, если появление  одного из них исключает появление  других событий в одном и том  же испытании. В противном случае события называются совместными.
     Например, события «пошел дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события  «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.  

Определение:
     Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно может произойти, либо не произойти.
       Так, например, при бросании игральной  кости выпадение четного числа  очков, т.е. появление либо грани  с двумя очками, либо с четырьмя, либо с шестью, является случайным  событием.
     С случайными событиями (или явлениями), то есть с такими, которые могут  либо произойти, либо не произойти в  результате какого-то испытания, мы встречаемся  в жизни очень часто.
     Ученик  извлекает билет – это испытание. Появление при этом билета №13 –  случайное событие, билета №5 – другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге – это  испытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «м» – это  случайное событие.
     Например, рассмотрим следующие события:  

№№ Условие Исход
А1 При нагревании проволоки  её длина  увеличится
А2 При бросании игральной  кости выпадут 4 очка
А3 При бросании монеты выпадет герб
А4 При осмотре  почтового ящика найдены три  письма
А5 При низкой температуре  вода превратилась в лёд
 
     События А1, А5 произойдут закономерно, А2, А3, А4 – случайные. 
 

Определение: 
     События А и В называются совместными, если в условиях эксперимента появление  одного события не исключает появление  другого.
             Например, подбрасываем игральный  кубик. Пусть
                                А - выпадение очков, кратных  двум,
                          В - выпадение числа, кратных  3.
       Эти события совместны, т.к.  на грани может выпасть 6.
Определение:
     Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента обязательно  должно произойти одно из этих событий. И эти события равновозможны, взаимоисключающие единственно  возможные исходы.
     События называют равновозможными, если есть основания  считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
    Примеры:
    стреляем по мишени.
              А - либо попали
              В - либо не попали
       Это полная группа событий.
     2) «выпадение герба» и «выпадение цифры» при бросании монеты – равновозможные события. «Изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками» - неравновозможные события, так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21. 

Определение:
     Событие называется достоверным, если в ходе эксперимента оно происходит всегда (т.е. оно является единственным возможным  исходом данного события).
       Например, идет экзамен. Оценка  в любом случае будет получена, либо положительная, либо отрицательная,  т.е. всегда. 

Определение:
     Событие называется невозможным, если в ходе эксперимента оно некогда не наступает.
       Например, в урне только синие  шары. Вытащить желтый шар из  этой урны просто невозможно.
     Конкретный  результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний  называется пространством элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание  шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1”  или “2”. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.     Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает  
 

тогда и только тогда, когда в результате испытаний  произошло элементарное событие, принадлежащее  сложному.     
     Таким образом, если в результате испытания  может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания  происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.    Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения:        А - событие;           w - элементы пространства W;        W - пространство элементарных событий;      U - пространство элементарных событий как достоверное событие;  V - невозможное событие.         Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

           Операции  над событиями.        
     1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий   состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.    C=C1 C2 Cn C1+C2+…+Cn           2. Событие B называется произведением событий A12,…, Аn, если оно состоит из всех этих элементарных событий. Произведением произвольного числа событий   называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.          B = A1 A2 ··· An A1· A2 ·····A
     3. Разностью событий A-B называется  событие C, состоящее из всех  элементарных событий, входящих  в A, но не входящих в B.     D=A-B           4. Событие   называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.          Достоверное: Аd= ={wi} (состоит из всех элементарных событий).  Невозможное: ¬Аd=Ш (пустое событие, т.е. противоположное к достоверному).            5. События A1, A2,…, An называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания (не имеют общих элементарных событий).            Ai ·Aj=Ш, i,j =
     C=AЧB=V             Тут V - пустое множество.         Частость наступления события.        Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V.      Пример:                W=(w1, w2, w3)                                                      A1=V                     A2=(w1)                    A3=(w2)                    A4=(w3)                     A5=(w1, w2)                    A6=(w2, w3)                                                 A7=(w1, w3)                                                A8=(w1, w2, w3)            Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AОF. Проводим серию испытаний в количестве n.  n - это количество
     испытаний, в каждом из которых произошло  событие A.     Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i№j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:           nA=nA1+nA2+...+nAk          Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.             Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной  (достаточно длинной) серии испытаний.  К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

           Аксиоматика теории вероятности.      

      Теория  вероятности как наука была построена  на аксиоматике Колмогорова.             

Построение  вероятностного пространства.

 
    Последовательно строим вероятностное пространство.
    Этап 1:
    Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться  одно событие из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A I e, B I e наблюдаемы, то наблюдаемы и события .
    Система событий F называется полем событий  или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B I F выполняется:
    Дополнения
    (A+B) I F, (A?B) I F
    все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
    все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
    все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
    Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.
Множество всех подмножеств конечного числа  событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.
    Этап 2:
    Каждому событию A I F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.
    Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.
      
    P(U)=1.
    Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.
     .      Если  , то      .
    Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения. 
 

    Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a?x>b, b?a.
    Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a?x>b, но и расширением полей вида a>x?b, a?x?b.
    Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.
       .    P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.
    P(A) I [0, 1]       P(U)=1.
    Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий
           Если  , то      .

    Классическое  определение вероятности.

 
    Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.
    Тогда достоверное событие    m - количество равновероятных событий
     ,                  ,             
    Пусть произвольное событие  Тогда , т.е. событие A состоит из k элементарных событий.
    Если  элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного  события равна дроби числитель  которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.     Условная вероятность.
    P(A/B)
    Условной  вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло  событие B.
    Вывод формулы условной вероятности для  случая равновероятных элементарных событий 
 
 

m
r
B
A
A?B
 
 

    Действительно, в данном испытании произошло  одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность  наступления произвольного элементарного  события, входящего в B равна 1/t. Тогда  по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.
    
      
 

    В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности  она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основные  теоремы теории вероятности 

    Теоремы сложения вероятности
 
   Пусть А, В – случайные  события.
Определение:
    Под суммой двух событий (А+В) понимается такое событие, которое имеет место <=>   произошло хотя бы одно из событий А или В (либо происходит А, либо происходит В, либо они происходят одновременно).  Пример 1 (суммы двух событий).
       Стреляем по мишени из двух  орудий.
Пусть А –  попали в мишень при стрельбе из 1го орудия.
           В – попали в мишень из 2го орудия.
       Тогда А+В – либо мы попали  из 1го орудия, либо попали из 2го орудия, либо попали одновременно.           Замечание. Если А и В – это несовместные события, то А+В – либо произошло А, либо произошло В. Не попадание – это будет противоположное событие к сумме. 

               Теорема 1 (теорема сложения вероятностей для несовместных событий).
       Вероятность суммы двух несовместных  событий равна сумме вероятностей  этих событий.
                           Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
{   Пусть  n – общее число всех возможных исходов, m – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А, k – число исходов, благоприятствующих наступлению события В. Тогда m+k – число исходов, благоприятствующих наступлению А+В. Используя определение классической вероятности, получаем:
               Р(А+В) = = + = Р(А)+Р(В) }
   Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий     А1, А2, …Аn
           P =
     Пример 2.  В урне находятся три белых шара, пять красных, два синих. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны, не белый?
       Обозначим:
   { А  – шар не белый
       В – шар, извлеченный из  урны, красный 
       С – шар, извлеченный из  урны, синий 
Число всех исходов  n=10, т.к. шаров всего 10.
Число благоприятствующих исходов для В равно 5.
Число благоприятствующих исходов для С равно 2, т.е.
     P(B)= = ;  P(C)= =
    
Событие А=В+С, т.к. В и С  – несовместны, следовательно, применим теорему 1.
     Р(А) =Р(В)+Р(С)= + =   }
 Определение:
    Произведением двух случайных событий А и  В называется (А·В) событие, состоящее  в том, что события А и В  наступают одновременно.
 Пример 3.  А – деталь стандартная.
                           В – деталь окрашенная.
                           А·В – деталь стандартная и  окрашенная. 

Теорема 2  (теорема сложения для двух совместных событий)
       Если события А и В совместные, то вероятность суммы этих  двух событий равна сумме вероятностей  этих событий без вероятности  наступления произведения этих  событий.
                            Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)
{     Рассмотрим все исходы, в которых  появляются события А и В.
       Возможны следующие события:
    А·В (А наступило, В – не произошло)
    и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.