Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Теория вероятности

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 27.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 15. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


            Содержание 
             

1. Ведение……………………………………………………..……………...…….2-3
2. Понятие события……...……………………………………………………...…4-6
3. Операции над  событиями...…………………………………………………….7-9
4. Аксиоматика  теории вероятности……………………………………..……..9-12
     - построение вероятностного пространства;…………………………….9-10 - классическое определение вероятности………………………………11-12
5. Основные теоремы  теории вероятности……………………………...….…13-15
     - теоремы сложения вероятности;…………………..…………………..13-15
     - теорема умножения вероятностей;………………………………………..16
     - формула полной вероятности……………...……………………………...17
6. Заключение……………………………………………………………………….18
7. Приложение …………………………………………………….……………19-23
8. Библиографический список  ………………………......................................24-25

Введение

 
     Теория  вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки  были заложены великими математиками. Например, Ферм, Бернулли, Паскаль. Позднее  развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой  вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные  и статистические методы в настоящее  время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием  вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.   Как уже говорилось, раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют теорией вероятностей. Эта теория имеет дело не с отдельными событиями, а с результатом проведения достаточно большого числа испытаний, т.е. с закономерностями массовых случайных явлений. По определению, приведенному в БСЭ, теория вероятностей есть математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятность других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.  
     Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз  – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в нале прошлого века подбрасывал  её 24000 раз – герб выпал 12012 раз. В 70-х г.г. XX века американские естествоиспытатели повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них  и является случайным событием, при  неоднократном повторении подвластны объективному закону.
     Теория  вероятностей и изучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.
     В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д.  "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "Вероятнее всего, мы поедем  

в воскресенье  за город", "Это совершенно невероятно", "Много шансов, что я успешно  напишу контрольную работу" и  т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что  произойдет некоторое случайное  событие. Однако, чтобы можно было применять к оценке вероятностей математические методы, надо дать этому  понятию строгое определение. Приведем цитату из БСЭ, дающую представление  о том, что такое вероятность:
       "Вероятность математическая - числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях". Попытаемся превратить это описание понятия вероятности в точное математическое определение и выяснить, как связана вероятность с частотой появления данного события в длинной серии испытаний.
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Понятие события  

     Любой исход эксперимента мы будем называть элементарным событием.
        Все эти исходы равновозможные и взаимоисключающие друг друга. Например, в опыте, состоящем в подбрасывании кубика  всего 6 элементарных событий.
        События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,…  

Определение:
     Два события А и В называются несовместными, если в условиях эксперимента эти  события не могут происходить  одновременно, т.е. происходит только одно из них.
     События называют несовместными, если появление  одного из них исключает появление  других событий в одном и том  же испытании. В противном случае события называются совместными.
     Например, события «пошел дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события  «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.  

Определение:
     Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно может произойти, либо не произойти.
       Так, например, при бросании игральной  кости выпадение четного числа  очков, т.е. появление либо грани  с двумя очками, либо с четырьмя, либо с шестью, является случайным  событием.
     С случайными событиями (или явлениями), то есть с такими, которые могут  либо произойти, либо не произойти в  результате какого-то испытания, мы встречаемся  в жизни очень часто.
     Ученик  извлекает билет – это испытание. Появление при этом билета №13 –  случайное событие, билета №5 – другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге – это  испытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «м» – это  случайное событие.
     Например, рассмотрим следующие события:  

№№ Условие Исход
А1 При нагревании проволоки  её длина  увеличится
А2 При бросании игральной  кости выпадут 4 очка
А3 При бросании монеты выпадет герб
А4 При осмотре  почтового ящика найдены три  письма
А5 При низкой температуре  вода превратилась в лёд
 
     События А1, А5 произойдут закономерно, А2, А3, А4 – случайные. 
 

Определение: 
     События А и В называются совместными, если в условиях эксперимента появление  одного события не исключает появление  другого.
             Например, подбрасываем игральный  кубик. Пусть
                                А - выпадение очков, кратных  двум,
                          В - выпадение числа, кратных  3.
       Эти события совместны, т.к.  на грани может выпасть 6.
Определение:
     Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента обязательно  должно произойти одно из этих событий. И эти события равновозможны, взаимоисключающие единственно  возможные исходы.
     События называют равновозможными, если есть основания  считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
    Примеры:
    стреляем по мишени.
              А - либо попали
              В - либо не попали
       Это полная группа событий.
     2) «выпадение герба» и «выпадение цифры» при бросании монеты – равновозможные события. «Изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками» - неравновозможные события, так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21. 

Определение:
     Событие называется достоверным, если в ходе эксперимента оно происходит всегда (т.е. оно является единственным возможным  исходом данного события).
       Например, идет экзамен. Оценка  в любом случае будет получена, либо положительная, либо отрицательная,  т.е. всегда. 

Определение:
     Событие называется невозможным, если в ходе эксперимента оно некогда не наступает.
       Например, в урне только синие  шары. Вытащить желтый шар из  этой урны просто невозможно.
     Конкретный  результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний  называется пространством элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание  шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1”  или “2”. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.     Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает  
 

тогда и только тогда, когда в результате испытаний  произошло элементарное событие, принадлежащее  сложному.     
     Таким образом, если в результате испытания  может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания  происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.    Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения:        А - событие;           w - элементы пространства W;        W - пространство элементарных событий;      U - пространство элементарных событий как достоверное событие;  V - невозможное событие.         Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

           Операции  над событиями.        
     1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий   состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.    C=C1 C2 Cn C1+C2+…+Cn           2. Событие B называется произведением событий A12,…, Аn, если оно состоит из всех этих элементарных событий. Произведением произвольного числа событий   называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.          B = A1 A2 ··· An A1· A2 ·····A
     3. Разностью событий A-B называется  событие C, состоящее из всех  элементарных событий, входящих  в A, но не входящих в B.     D=A-B           4. Событие   называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.          Достоверное: Аd= ={wi} (состоит из всех элементарных событий).  Невозможное: ¬Аd=Ш (пустое событие, т.е. противоположное к достоверному).            5. События A1, A2,…, An называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания (не имеют общих элементарных событий).            Ai ·Aj=Ш, i,j =
     C=AЧB=V             Тут V - пустое множество.         Частость наступления события.        Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V.      Пример:                W=(w1, w2, w3)                                                      A1=V                     A2=(w1)                    A3=(w2)                    A4=(w3)                     A5=(w1, w2)                    A6=(w2, w3)                                                 A7=(w1, w3)                                                A8=(w1, w2, w3)            Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AОF. Проводим серию испытаний в количестве n.  n - это количество
     испытаний, в каждом из которых произошло  событие A.     Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i№j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:           nA=nA1+nA2+...+nAk          Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.             Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной  (достаточно длинной) серии испытаний.  К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

           Аксиоматика теории вероятности.      

      Теория  вероятности как наука была построена  на аксиоматике Колмогорова.             

Построение  вероятностного пространства.

 
    Последовательно строим вероятностное пространство.
    Этап 1:
    Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться  одно событие из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A I e, B I e наблюдаемы, то наблюдаемы и события .
    Система событий F называется полем событий  или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B I F выполняется:
    Дополнения
    (A+B) I F, (A?B) I F
    все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
    все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
    все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
    Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.
Множество всех подмножеств конечного числа  событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.
    Этап 2:
    Каждому событию A I F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.
    Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.
      
    P(U)=1.
    Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.
     .      Если  , то      .
    Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения. 
 

    Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a?x>b, b?a.
    Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a?x>b, но и расширением полей вида a>x?b, a?x?b.
    Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.
       .    P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.
    P(A) I [0, 1]       P(U)=1.
    Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий
           Если  , то      .

    Классическое  определение вероятности.

 
    Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.
    Тогда достоверное событие    m - количество равновероятных событий
     ,                  ,             
    Пусть произвольное событие  Тогда , т.е. событие A состоит из k элементарных событий.
    Если  элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного  события равна дроби числитель  которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.     Условная вероятность.
    P(A/B)
    Условной  вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло  событие B.
    Вывод формулы условной вероятности для  случая равновероятных элементарных событий 
 
 

m
r
B
A
A?B
 
 

    Действительно, в данном испытании произошло  одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность  наступления произвольного элементарного  события, входящего в B равна 1/t. Тогда  по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.
    
      
 

    В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности  она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основные  теоремы теории вероятности 

    Теоремы сложения вероятности
 
   Пусть А, В – случайные  события.
Определение:
    Под суммой двух событий (А+В) понимается такое событие, которое имеет место <=>   произошло хотя бы одно из событий А или В (либо происходит А, либо происходит В, либо они происходят одновременно).  Пример 1 (суммы двух событий).
       Стреляем по мишени из двух  орудий.
Пусть А –  попали в мишень при стрельбе из 1го орудия.
           В – попали в мишень из 2го орудия.
       Тогда А+В – либо мы попали  из 1го орудия, либо попали из 2го орудия, либо попали одновременно.           Замечание. Если А и В – это несовместные события, то А+В – либо произошло А, либо произошло В. Не попадание – это будет противоположное событие к сумме. 

               Теорема 1 (теорема сложения вероятностей для несовместных событий).
       Вероятность суммы двух несовместных  событий равна сумме вероятностей  этих событий.
                           Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
{   Пусть  n – общее число всех возможных исходов, m – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А, k – число исходов, благоприятствующих наступлению события В. Тогда m+k – число исходов, благоприятствующих наступлению А+В. Используя определение классической вероятности, получаем:
               Р(А+В) = = + = Р(А)+Р(В) }
   Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий     А1, А2, …Аn
           P =
     Пример 2.  В урне находятся три белых шара, пять красных, два синих. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны, не белый?
       Обозначим:
   { А  – шар не белый
       В – шар, извлеченный из  урны, красный 
       С – шар, извлеченный из  урны, синий 
Число всех исходов  n=10, т.к. шаров всего 10.
Число благоприятствующих исходов для В равно 5.
Число благоприятствующих исходов для С равно 2, т.е.
     P(B)= = ;  P(C)= =
    
Событие А=В+С, т.к. В и С  – несовместны, следовательно, применим теорему 1.
     Р(А) =Р(В)+Р(С)= + =   }
 Определение:
    Произведением двух случайных событий А и  В называется (А·В) событие, состоящее  в том, что события А и В  наступают одновременно.
 Пример 3.  А – деталь стандартная.
                           В – деталь окрашенная.
                           А·В – деталь стандартная и  окрашенная. 

Теорема 2  (теорема сложения для двух совместных событий)
       Если события А и В совместные, то вероятность суммы этих  двух событий равна сумме вероятностей  этих событий без вероятности  наступления произведения этих  событий.
                            Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)
{     Рассмотрим все исходы, в которых  появляются события А и В.
       Возможны следующие события:
    А·В (А наступило, В – не произошло)
    и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.