На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Определение линейного оператора. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента. Операторы: умножения на непрерывную функцию; интегрирования; сдвиг

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 27.05.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


33
Содержание
Введение
§1. Определение линейного оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение
Введение

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.
В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.
§1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть Ex и Ey Ex и Ey - линейные многообразия, то есть если x, y Ex , то x + y Ey , при , .
Ex - область определения А;
Ey - область значения А;- линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа выполняются следующие равенства Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;:
1. А(х12) = Ах1 + Ах2;
2. А(х) = А(х);
Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е1 - линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:
Ax = x для всех x Е.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D[a,b] - пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:
Дf(x) = f/(x).
Где f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b].
Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.
3) Рассмотрим пространство С[-, +] - пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А - линейный оператор.
4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение 1, заданное формулой:
Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть , - нормированные пространства.
Определение 2 .Оператор А: Е Е1 называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность xn x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) 0, p (А(xn), А(x0)) 0.
Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.
Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестностьШаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p (xn, x0) < а.
Шар D(x0, a).
Если p (xn, x0) а, то D(x0, a) - замкнутый шар.
Если p (xn, x0) = а, то S(x0, a) - сфера.
Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью точки y.
U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) U.
Иначе >0 >0, что как только p (x, x0) < , p (f(x), f(x0)) < .
Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хnх1, тогда хn10, отсюда А(хn1)А(0)=0, т. е. А(хn1)0.
Так как А - это линейный оператор, то А(хn1)Ахn-Ах0, а тогда
Ахn-Ах0 0, или АхnАх0.
Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.
т. д-на.
Пример.
Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.
Решение.
Пусть y(x) - произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn(x) - произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:
p (yn, y) = |yn(x)- y(x))| = 0.
Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).
Расстояние в R определено следующим образом:
p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)| |yn(x)- y(x))|=p(yn,y),
то есть p (F(yn), F(y)) 0.
Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем пространстве.
С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.
Определение 4. Линейный оператор А: Е Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что
||Аx|| K||x||. (1)
Теорема 2.
Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.
Доказательство:
Пусть множество S - множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.
По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn S, то выполняется неравенство: |А(x)| kn||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу
получаем |А(x)| k||x||, где (xE), (k S).
т. д-на.
Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||Свойства нормы оператора.
1) Если оператор ограничен, , то и оператор ограничен, причем .
2) Если операторы ограничены, то и оператор ограничен, причем и .
.
||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где
||А|| = xE.
Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.
Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.
Необходимость:
Дано: А - ограничен;
Доказать: А - непрерывен;
Доказательство:
Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.
Дано, что ||Аx|| K||x||.
Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .
Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K =
Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.
Достаточность:
Дано: А - непрерывен;
Доказать А - ограничен;
Доказательство:
Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.
Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д.
Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.
Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где
||yn|| = .
Следовательно последовательность yn 0 при n .
Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn 0, однако
||Аyn || = ||A|| = ||Axn || > n|| xn|| = 1, получаем противоречие с Аyn 0, то есть А - ограничен
Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.
Примеры.
1) Покажем, что норма функционалаЛинейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.
F(y) = в C[a, b], где p(x) - непрерывная на [a,b] функция, равна .
По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.
|| || = |y(x)||| |y(x)|||;
||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .
Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ;
2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)
F(y) = .
По выше доказанному ||F|| = = 1.
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть , - нормированные пространства, - линейный оператор, DA- область определения оператора, а RA - область значений.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А-1.
Теорема 4.
Для того чтобы линейный оператор имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
, (m>0).
Доказательство:
Достаточность.
Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x - нулевой вектор. Получим 0 m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1 существует.
Докажем его ограниченность.
y=Ax.
x=A-1y, норма ||A-1y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.
Отсюда ||A-1y|| ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.
Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1||=.
Необходимость.
Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном пространстве.
Итак, ||A-1y|| М||y||.
Подставляем значение y и значение A-1y,получим ||x|| M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).
Отсюда ||Ax|| ||x||.
Положим =m, получим ||Ax|| m||x||.
т. д-на.
В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.
Определение 7. Пусть А - линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число л называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=лх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения л - регулярными. Иначе говоря, л есть регулярная точка, если оператор , где I - единичный оператор, обратим, При этом оператор (А - лI)-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:
1) уравнение Ах=лх имеет ненулевое решение, то есть л является собственным значением для оператора А; оператор (А - лI)-1 при этом не существует;
2) существует ограниченный оператор (А - лI)-1, то есть л есть регулярная точка.
В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:
3) оператор (А - лI)-1 существует, то есть уравнение Ах=лх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.
Введем следующую терминологию. Число л мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А - лI)-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений л называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А - лI)х=0 при некотором х?0, то оператор (А - лI)-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех л, для которых (А - лI)-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение л является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра - существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Определение 8. Оператор , где - регулярная точка оператора А, называется резольвентой Резольвента - это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.
оператора А и обозначается (или ).
Теорема 5. Пусть - линейный непрерывный оператор, его регулярные числа. Тогда .
Доказательство. Умножим обе части равенства на : (==. С другой стороны получим . Так как числа - регулярные для оператора А, то оператор имеет обратный. Значит, из равенства следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.
т. д-на.
Примеры.
1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).
Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:
tx(t) - x(t) = y(t),
решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.
Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:
x(t) = y(t),
откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :
R(y) = y(t).
Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0 [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0, y(0) = a 0. Для такой функции равенство (t - 0)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при = 0 уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность 0 спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0, [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.
2) Пусть оператор А действующий из Е Е, задается матрицей А=.
Аx = = .
Введем обозначения:
= y1
= y2
x1, x2, y1, y2 E;
A - *I = , найдем определитель A - *I:
D(A - *I) = = (2-)*(-2-) - 3 = 2 - 7;
Если определитель отличен от нуля, то есть если не есть корень уравнения 2 - 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.
Корни уравнения 2 - 7 = 0 образуют спектр:
1 = ; 2 = -;
1

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.