На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Логические задачи

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 29.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 10. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


 
 
    Федеральное агентство по образованию
    Министерство  образования и науки РФ 

    Факультет математики и информатики 
     
     
     

    Курсовая  работа на тему «Логические задачи» 

    Выполнила: студентка 361 группы
                                                                      Глушко П.А
                              Проверил преподаватель:
             Горин Ю.А 
     

    Омск 2009 
     

    Содержание
                                                                                                                                                    Стр.
    Введение  …………………………………………………………………1
    1.Логические  таблицы…………………………………………..2
    2.Графы………………………………………………………………....5
    3.Операции  над множествами……………………………...10
    4.Выделение элемента множества………………………15
    5.Метод  перебора………………………………………………...18
    6.Правдолюбцы  и лжецы……………………………………..20
    7.Правило  крайнего………………………………………………25
    Заключение  …………………………………………………………..27
    Библиографический список 
     
     
     

 

     

    Введение 
    Актуальность  курсовой работы  можно объяснить  тем, что задачи логического характера, которые были рассмотрены в ней, полезны для подготовки учащихся к математическим олимпиадам и проведения таких олимпиад учителями, для кружковых  занятий в школе, для проведения в педагогических вузах практикума по решению школьных математических задач повышенной трудности.
    Цель  работы: ознакомиться с понятием «логические  задачи», исследовать методы их решения.
    Задачи работы: структурировать задачи логического характера по степени трудности и по методу решения, выявить особенности решения таких задач.
    Методы  работы: анализ решений, дедуктивный  метод при систематизации задач  по методу их решения. При решении задач применяются понятия и методы, которые не входят в программу по математике средней школы.
    Задачи  логического характера, пожалуй, наиболее важны среди олимпиадных задач, так как в них дух нестандартности, проявляется ярче всего. Но что такое  задача логического характера?
    Задачи  логического характера большей  частью связаны с теорией множеств, одни – непосредственно: задачи на логические таблицы, на графы, операции над множествами, выделение элемента множества, правило крайнего, другие – косвенно. Многие задачи логического характера связаны с определённым образом действий: можно ли, и каким образом получить такой-то результат? Для некоторых задач логического характера принципиально важны логические
                         1 
     

      связи между предложениями; типичны  в этом отношении «Правдолюбцы  и лжецы» и «Истинные и ложные  утверждения». Задачи логического  характера, как правило, не  привязаны к определённым темам  школьной программы, а один  и тот же метод решения нередко  можно применять к большему  числу разнообразных задач. Из  общего стиля несколько выпадает  «Метод перебора», поскольку он  демонстрируется главным образом на задачах с целыми числами. Но такой метод следует применять и при решении многих задач логического характера.
    1.Логические таблицы
    Задачи  на логические таблицы - это задачи на взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, где  нахождение такого соответствия производится с помощью специальных таблиц. Применение таблиц значительно ускоряет, почти автоматизирует решение задачи.
    Задача 1. Встретились три друга – Белов, Серов и Чернов. Чернов сказал другу, одетому в серый костюм: «Интересно, что на одном из нас белый костюм, на другом – серый и на третьем – чёрный, но на каждом костюм цвета, не соответствующего фамилии». Какой цвет костюма у каждого из друзей?
      Решение: возьмём таблицу 4*4. В левом столбце таблицы напишем фамилии друзей (обозначив каждую своей первой буквой), в верхней строке – цвета их костюмов. По условию на Белове – не белый костюм, на Серове – не серый и на Чернове – не чёрный. Поставим три минуса на пересечении соответствующих строк и столбцов таблицы.  

                                          2 

  б с ч
б ----    
с   ----  
ч     ----
  б с ч
б                      ----   + ----
с ---- ----   +
ч   + ---- ----
 
 
 
 
    Далее, на Чернове – не серый костюм, так как из условия видно, что  в серый костюм одет один из его  друзей; ставим минус в соответствующей  клетке. Следовательно, на нём может  быть только костюм белого цвета;  поставим в соответствующей клетке таблицы  плюс. Тогда на Серове – не белый  костюм; значит, на нём может быть лишь чёрный костюм. Наконец, на Белове – серый костюм.
    Обратим внимание на следующее свойство таблицы, которое остаётся справедливым в  аналогичных задачах на соответствие между двумя множествами, но только лишь в тех случаях, когда эти  множества содержат элементов поровну: в каждой строке таблицы имеется  только один плюс, в каждом столбце  также имеется только один плюс. Следовательно, если в какой-то клетке таблицы стоит плюс, то в остальных  клетках, стоящих в той же строке или в том же столбце, может  быть только минус.
    Задача 2. «Пассажиры одного купе». В купе одного из вагонов поезда Москва – Одесса ехали москвич, ленинградец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались буквами А , Б, В, Г, Д, Е.
    В дороге выяснилось, что А и москвич – врачи;  Д и ленинградец – учителя, а туляк и В – инженеры. Б и Е – участники Отечественной войны, а туляк в армии совсем не служил. Харьковчанин старше А, одессит старше В. Б и москвич сошли сошли в Киеве, а В и харьковчанин в
                                        3 
     

      Виннице. Определите профессию  каждого из них и место жительства.
    Решение: задачи такого рода решаются методом  исключения. Перечислим факты, содержащиеся в условии:
    А и москвич – врачи;
    Д и ленинградец – учителя;
    В и туляк – инженеры;
    Б и Е – участники Отечественной войны, а туляк в армии не служил;
    Харьковчанин старше А;
    Одессит старше В;
    Б и москвич сошли в Киеве;
    В и харьковчанин сошли в Виннице.
    Из  этих фактов, как логические следствия, выявляются скрытые факты. Например, из фактов (1) и (2) следует, что А –  не москвич (1), но А – и не ленинградец (1-2); Д – не ленинградец (2), но Д  – и не москвич(1-2) и т.п.Составим таблицу:
          А Б В Г Д Е
        москвич --- --- --- --- ---   *
        ленинградец ---   * --- --- --- ---
        киевлянин --- ---   * --- --- ---
        туляк --- --- --- * --- ---
        одессит   * --- --- --- --- ---
        харьковчанин --- --- --- ---   * ---
 
    Из  таблицы сразу следует, что В – киевлянин (отмечаем звёздочкой). Остальные пассажиры – не киевляне (ставим минусы). Тотчас выясняется местожительство А. Он –
                                        4 
     

    одессит. Ставим звёздочку. Продолжая этот приём, устанавливаем окончательно: А –  одессит , Б – ленинградец , В – киевлянин , Г – туляк , Д – харьковчанин , Е – москвич. Теперь легко определяются и специальности пассажиров: А и Е – врачи, Б и Д – учителя, В и Г – инженеры. 

    2.Графы
    Графом  на плоскости называется конечное множество точек плоскости, некоторые из которых соединены линиями. Эти точки называются вершинами графа, а соединяющие их линии – рёбрами. Число рёбер, исходящих из вершины графа, называется степенью этой вершины. С графами мы встречаемся чаще, чем это, кажется на первый взгляд. Примерами графов могут служить любая карта дорог, электросхема, чертёж многоугольника и т.д. Теория графов возникла в 1736 году, когда Леонард Эйлер (1708 - 1783) опубликовал первую статью о графах. Долгое время считалось, что теория графов применяется главным образом при решении логических задач, а сама теория рассматривалась как часть геометрии. Однако в ХХ веке были найдены широкие приложения теории графов в экономике, биологии, химии, электронике, сетевом планировании и других областях науки и техники. В результате она стала бурно развиваться и превратилась в самостоятельную разветвлённую теорию.
    Рассмотрим  задачу на соответствие между двумя  множествами. По существу это те же задачи, которые мы решали с помощью  таблиц.
    Задача 1. В пяти корзинах А , Б, В, Г и Д лежат яблоки пяти
                                        5 
     

    разных  сортов. В каждой из корзин А и Б находятся яблоки 3-го и 4-го сортов, в корзине В –     2-го и 3-го, в корзине Г – 4-го и 5-го, в корзине Д - 1-го и 5-го. Занумеруйте корзины так, чтобы в корзине №1 имелись яблоки 1-го сорта (по меньшей мере, одно), в корзине №2 – яблоки 2-го сорта и т.д.
    Решение: изобразим два множества –  множество корзин и множество  их номеров. В каждом из этих множеств по пять элементов; обозначим их точками (рис).

 
 
 
 
 

          Установим соответствие  между этими двумя множествами  так, чтобы условия задачи выполнялись.  Будем соответствующие элементы  двух множеств соединять стрелками,  а не соответствующие не будем  соединять. Так как яблоки 1-го  сорта лежат только в корзине  Д , то именно этой корзине и нужно дать номер 1; проведём стрелку между точками Д и 1. Далее, номер 2 можно присвоить только корзине В, а после этого номер 5 – лишь корзине Г. Наконец, номера 3 и 4 дадим корзинам А и Б ( в любом порядке).
         Ответ: корзины расположились, начиная с №1, в
                                       6 
     

         последовательном порядке Д, В, А, Б, Г или в порядке Д, В, Б, А, Г.
         Задача 2. Три подруги были в белом, красном голубом платьях. Их туфли были тех же трёх цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
         Решение: изобразим три  множества: множество подруг, множество  их платьев, множество их туфель   (рис).
        платья                                                                                    туфли                               подруги
         Проведём на рисунке  сплошные и пунктирные линии, отвечающие условиям задачи. Ответ должен получиться в виде трёх треугольников со сплошными  сторонами. Теперь ясно, что у Лиды голубые туфли, у Тамары – красные  туфли, следовательно, и красное  платье. Далее, у Лиды – белое  платье, у Вали – голубое.
         Ответ: Тамара – в красном  платье и красных туфлях, Валя –  в голубом платье и белых туфлях, Лида – в белом платье и голубых  туфлях.
         Рассмотрим задачу, при  решении которой 
                                       7 
     

         используются вершины, стороны и диагонали многоугольника.
         Задача 3. Можно ли организовать футбольный турнир девяти команд так, чтобы каждая команда провела по четыре встречи?
         Решение: изобразим каждую команду точкой, а проведённую  ею встречу – отрезком, исходящим  из этой точки.  Девять точек лучше  расположить так, чтобы при последовательном соединении их отрезками образовался  выпуклый  9 - угольник. Задача сводится к следующей: можно ли 9 точек соединить  отрезками так, чтобы из каждой точки  выходили четыре отрезка? Другими словами, существует ли граф с девятью вершинами, у которого степень каждой вершины  равна 4?
         Прежде всего, проведём все стороны 9 – угольника; они будут означать, что каждая команда провела две встречи. Для того, чтобы получить ещё по две встречи, будем, например, соединять все вершины диагоналями через одну (см. рис). (Целесообразно для всех вершин держаться одной и той же системы проведения из них отрезков.) 
         
                                                                                       Ответ: можно.
                                       8 
     

         Займёмся задачами на обведение контура фигуры непрерывной  линией.
         Задача 4. В ХVIII веке город Кенигсберг был расположен на берегах реки и двух островах. Различные части города были соединены семью мостами (рис.1).  Можно ли обойти все эти мосты так, чтобы побывать на каждом из них ровно один раз?
         Решение:  
       В       В                            С      К   А                         Рис 1     Рис 2    А
         Обозначим различные  части города буквами А , В, С и К и изобразим их точками. Мосты изобразим линиями, соединяющими эти точки. Получим граф (рис. 2).
         Задача сводится к  следующей : существует ли путь, проходящий по всем рёбрам графа, причём по каждому ребру только один раз?
    Рассмотрим  два случая:
    Предположим, что существует такой замкнутый путь. Тогда степень каждой вершины графа должна быть чётной, так как входя в какую либо вершину, мы затем должны из неё выйти, причём по другому ребру. Что касается начала пути, то после выхода из него мы должны, в конце концов, в него и вернуться, поскольку путь замкнутый. Однако на рис. 2 нет ни одной вершины, степень которой была бы чётной. Значит, этот случай невозможен.
    Пусть существует такой незамкнутый путь; например, пусть
                9 
                 
                 

    он  начинается в вершине А , а заканчивается в С. Тогда из вершин А и С должно выходить уже нечётное число рёбер, а из промежуточных вершин В и К – по – прежнему чётное число. Но на рисунке степени вершин В и К нечётны. И этот случай отпадает.
    Ответ: нельзя.
    Хотя  рассуждение, проведённое при решении  этой задачи, выполнено для частного случая, оно носит общий характер:
    Если существует замкнутый путь, проходящий по всем рёбрам графа, причём по каждому ребру только один раз, то степени всех вершин графа чётные;
    Если существует аналогичный незамкнутый путь, то степени начала и конца пути нечётные, а остальных вершин – чётные.
 
 
    3.Операции над множествами
    Приведём  определения пересечения и объединения  множеств.
    Пересечением  двух множеств А и В называется множество всех элементов, которые входят и во множество А, и во множество В. АВ
    Объединением  двух множеств А и В называется множество всех элементов, которые входят по меньшей мере в одно из множеств А и В. АВ
    В случае, когда множеств не два, а любое конечное число, эти определения вводятся аналогично. Приведём пример. Пусть А = {1; 2; 3; 4}, В = {2; 4; 6; 8}. Тогда АВ = {2; 4}, АВ = {1; 2; 3; 4; 6; 8}. Для решения задач на пересечение и объединение множеств часто изображают множества кругами (иногда используют и другие фигуры, например, прямоугольники или овалы). Эти круги называются кругами
                                        10 
     
     

    Эйлера. Тогда пересечение множеств А и В изобразится как общая часть этих кругов, а объединение – как множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В. 

     
     
     
     
     

    А В                                                                  А В 

    Рассмотрим  некоторые свойства операций над  множествами:
    1)для  любого множества А выполняются равенства: АА = А, АА = А;
    2)пересечение  любых множеств А и В включается в каждое из них, а каждое из этих множеств включается в их объединение:
    АВ ? А , А ? АВ;
    3)для  любых множеств А и В, где А есть подмножество множества В, их пересечение равно более узкому, а объединение – более широкому из них: АВ = А , АВ = В.
    Задача 1. Известно, что АВ = {1; 2}, АС = {2; 5}, АВ = {1; 2; 5; 6; 7; 9}, ВС = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8}. Найдите множества А , В, С.
    Решение: будем составлять таблицу. Заполнять  её удобнее не по строкам, а по столбцам. Если, например, элемент 5 входит в множество В, то на пересечении соответствующих строки и столбца таблицы условимся ставить плюс, в противном случае – минус.
    1)начнём с числа 1. Так как  1АВ, то 1 А и 1 В. Но 1 С,
                                        11 
     
     

    поскольку, если бы 1 С, то она принадлежала бы и пересечению множеств А и С, а это противоречит условию;
    2)возьмём  число 2. Аналогично предыдущему  2 А, 2 В, 2 С;
    3)возьмём  число 3. Обратим внимание на то, что 3 не принадлежит объединению множеств А и В. Следовательно, это число не принадлежит ни одному из множеств А и В. Но так как 3 ВС, то 3 С. 

        1 2 3 4 5 6 7 8 9
      А + + - - + + - - +
      В + + - - - - + - -
      С - + + + + - - + -
 
    4)для числа 4 аналогично получаем: 4 А, 4 В, 4 С;
    5)рассмотрим число 5: 5 А, 5 С, 5 В;
    6)для числа 6: 6 В, 6 С, 6 А;
    7)сложнее  обстоит дело с числом 7. Допустим, что 7 А. Поскольку 7 ВС, то 7 В или 7 С, а тогда соответственно 7 АВ или 7 АС.
    Однако и то и другое противоречит условиям задачи. Значит, 7 А. Так как 7 АВ, 7 А, то 7 В. Что касается С, то 7 может принадлежать, а может и не принадлежать С.;
    8)число 8: 8 А, 8 В, 8 С;
    9)для числа 9 получаем: 9 В, 9 С, 9 А;
    Ответ: А = {1; 2; 5; 6; 9}, В = {1; 2; 7}, С = {2; 3; 4; 5;7; 8} или А = {1; 2; 5; 6; 9}, В = {1; 2; 7}, С = {2; 3; 4; 5; 8}. Познакомимся с задачами, при решении которых используются круги Эйлера. 

    Задача 2. В одном башкирском селе каждый житель говорит или по–башкирски, или по-русски, или на обоих языках. 912 жителей села говорят по-башкирски, 653 – по-русски,  

                                        12 
     
     

    причём 435 человек говорят на обоих языках. Сколько жителей в этом селе?
    Решение: применим круги Эйлера. Через А обозначим множество жителей села, которые говорят по-башкирски, через В – множество жителей, которые говорят по-русски.
        
     
     

       А     В 

         Будем обозначать число  элементов любого конечного множества А через n (А). Тогда по условию n (А) = 912, n (В) = 653, n (АВ) = 435. Нам нужно найти число элементов в объединении множеств А и В. Прежде всего сложим числа n (А) и n (В). Но при этом элементы, входящие в пересечение множеств А и В считаются дважды. Следовательно, из этой суммы нужно вычесть n (АВ). Получаем n (АВ) = n (А)+ n (В)- n (АВ). Подставим в эту формулу значения n (А), n (В), n (АВ). n (АВ) = 912+653-435 = 1130.
         Ответ: 1130.
         Задача 3. Большая группа туристов выехала в заграничное путешествие. Из них владеют английским языком 28 человек, французским – 13, немецким – 10, английским и французским – 8, английским и немецким – 6, французским и немецким- 5, всеми тремя языками – 2, а 41 человек не владеет ни одним из трёх языков. Сколько туристов в группе?
         Решение: обозначим множество  туристов группы, которые владеют  английским, французским, немецким языком соответственно через А , В и С. По условию n (А) = 28,
                                       13 

         n (В) = 13, n (С) = 10, n (АВ) = 8, n (АС) = 6, n (ВС) = 5, n (АВС) = 2. Найдём число туристов, которые владеют, по меньшей мере , одним из трёх иностранных языков, то есть n (АВС). Применим круги Эйлера. 

     
            А - 28        В - 13
                                                                                                                                                                       С – 10     
          Подсчитаем сумму n (А)+ n (В)+ n (С). Так как в неё каждое из чисел n (АВ), n (АС), n (ВС
    и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.