На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Вывод изображения на экран дисплея и действия с ним, в т.ч. визуальный анализ, требуют от пользователя геометрической грамотности. Понятия, формулы и факты, относящиеся к плоскому и трехмерному случаям, играют в задачах компьютерной графики особую роль.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 03.06.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


2
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Афинные преобразования на плоскости . . .. . . . . . . . . . . .4
Однородные координаты точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Аффинные преобразования в пространстве . . . . . . . . . . . 15
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1. Введение

Вывод изображения на экран дисплея и разнообразные действия с ним, в том числе и визуальный анализ, требуют от пользователя достаточной геометрической грамотности. Геометрические понятия, формулы и факты, относящиеся, прежде всего, к плоскому и трехмерному случаям, играют в задачах компьютерной графики особую роль. Геометрические соображения, подходы и идеи в соединении с постоянно расширяющимися возможностями вычислительной техники являются неиссякаемым источником существенных продвижений на пути развития компьютерной графики, ее эффективного использования в научных и иных исследованиях. Порой даже самые простые геометрические методики обеспечивают заметные продвижения на отдельных этапах решения большой графической задачи.
Прежде всего, необходимо заметить, что особенности использования геометрических понятий, формул и фактов, как простых и хорошо известных, так и новых более сложных, требуют особого взгляда на них и иного осмысления.
Теперь необходимо рассмотреть графическую реализацию 3-х мерных объектов, т.к. она тесно связана со свойствами объектов. Система координат экрана, как известно, является двумерной, поэтому на экране возможна эмуляция 3-х мерной системы координат, расположеной наиболее удобно для последующих расчетов. В дальнейшем все объекты считаются 3-х мерными, а отображение осуществляется с помощью набора функций разработанной библиотеки.
Одним из примеров реализации данного подхода может служить следующий. Каждый объект, в простейшем случае, представляет собой параллелепипед и хранится в памяти размерами по трем осям. Также в его структуру входит набор специальных точек, отвечающих за соединение блоков в пространстве. В общем случае, это точка привязки и исходная точка. В целом, получается гибкая графическая модель, которая позволяет изменять размеры блоков практически мгновенно. Таким образом, появляется возможность осуществить простейший графический редактор трехмерных объектов. При этом все блоки будут изменяться, создавая общую графическую модель. Имея дело с графической моделью, можно реализовать вращение совокупности трехмерных объектов. Это осуществляется с помощью набора функций, которые производят вращение объектов. Для вращения каждого объекта существует алгоритм, который разбивает объект (в простейшем случае параллелепипед) на набор точек, каждая из которых вращается, используя простейшие преобразования в пространстве путем умножения матрицы радиус-вектора на матрицы преобразований в пространстве. Рассмотрим более подробно данный подход с формальной стороны.
2. Афинные преобразования на плоскости

В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю принято обозначать символом (2D) (2-dimention).
Допустим, что на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у) ее координат (рис. 1). Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел - (x*, y*).
Рис. 1
Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:
x* = ?x + ?y +??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
y* = ?x + ?y + ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
где ????????????? -- произвольные числа, связанные неравенством:
???????????
????????????????????????
?????????????????????????????????????? (2.3)
?????????????????????????
Формулы (2.1) и (2.2) можно рассматривать двояко: либо сохраняется точка и изменяется координатная система (рис. 2) - в этом случае произвольная точка М остается той же, изменяются лишь ее координаты (х, у) | (х*, y*), либо изменяется точка и сохраняется координатная система (рис. 3) - в этом случае формулы (2.1) и (2.2) задают отображение, переводящее произвольную точку М (х, у) в точку М* (х*, у*), координаты которой определены в той же координатной системе.
X*
Y*
Рис. 2
Рис. 3
В дальнейшем, формулы (2.1) и (2.2) будут рассматриваться как правило, согласно которому в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.
В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько вжных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемыегеометрические характеристики. При исследовании геометрического смысла числовых коэффицентов в формулах (2.1) и (2.2) для этих случаев удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой.
Поворот вокруг начальной точки на угол ??(рис. 4) описывается формулами:
х* = x cos????y sin???????????????????????????????????????????????????????
y* = x sin????y cos???????????????????????????????????????????????????????
2. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей можно задать так:
x* = ?x, (2.5)
y* = ?y, (2.6)
???????????????????????????????????????????????????????????????????????
Растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что ???????????????На рис. 5 ??????????
Отражение (относительно оси абсцисс) (рис. 6) задается при помощи формул:
x* = x, (2.8)
y* = -y. (2.9)
На рис. 7 вектор переноса ММ* имеет координаты ????. Перенос обеспечивает соотношения:
x* = x + ??????????????????????????????????????????????????????????????????
?????y* = y + ?????????????????????????????????????????????????????????????????
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Выбор этих четырех частных случаев определяется двумя обстоятельствами.
Каждое из приведенных выше преобразований имеет простой и наглядный геометрический смысл (геометрическим смыслом наделены и постоянные числа, входящие в приведенные формулы).
Как известно из курса аналитической геометрии, любое преобразование вида (2.1) всегда можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований вида 1 - 4 (или части этих преобразований).
Таким образом, справедливо следующее важное свойство аффинных преобразований плоскости: любое отображение вида (2.1) можно описать при помощи отображений, задаваемых формулами (2.3) - (2.11).
Для эффективного использования этих известных формул в задачах компьютерной графики более удобной является их матричная запись. Матрицы, соответствующие случаям 1 - 3, строятся легко и имеют соответственно следующий вид:
cos ??????sin ???????????????????????????
-sin ?????cos ???????????????????????????
3. Однородные координаты точки

Пусть М - произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно не равных нулю чисел х1, х2, х3, связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями:
x1 / x3 = x, x2 / x3 = y (3.1)
При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке М (х, у) плоскости ставится в соответствие точка МЭ (х, у, 1) в пространстве.
Необходимо заметить, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О (0, 0, 0), с точкой МЭ (х, у, 1),может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).
Будем считать, что h = 0. Вектор с координатами hx, hy, h является направляющим вектором прямой, соединяющей точки О (0, 0, 0) и МЭ (х, у, 1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно определяет точку (х, у) координатной плоскости ху.
Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и множеством троек чисел вида (hx, hy, h), h = 0, устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.
Широко используемые в проективной геометрии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элементы (по существу, те, которыми проектная плоскость отличается от привычной евклидовой плоскости).
В проективной геометрии для однородных координат принято следующее обозначение:
х : у : 1 (3.2)
или, более общо,
х1 : х2 : х3 (3.3)
(здесь непременно требуется, чтобы числа х1, х2, х3 одновременно в нуль не обращались).
Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач.
Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения h (например, h = 1) точку с однородными координатами (0.5, 0.1, 2.5) представить нельзя. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h = 10 для рассматриваемого примера имеем (5, 1, 25).
Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению для точки с координатами (80000, 40000, 1000) можно взять, например, h = 0.001. В результате получим (80, 40, 1).
Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов. Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям.
При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.
Считая, h = 1, сравним две записи:
???????????
(x * y * 1) = (x y 1) ??????????? ?????
???????????
Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим формулы (2.1) и (2.2) и верное числовое равенство 1 = 1. Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.
Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтомучтобы реализовать то или иное отображение, то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью поставленной задачи и с описанными выше частными случаями разбивают на несколько этапов.
На каждом этапе пишется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев 1 - 4, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами.
Выпишем соответствующие матрицы третьего порядка.
А. Матрица вращения (rotation)
cos ?????sin ??????
[ R ] = -sin ????cos ???????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????
Б. Матрица растяжения-сжатия (dilatation)
???????????
????????????????????????????????????????????????D ] = ??????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????
В. Матрица отражения (reflection)
1 0 0
[ M ] = 0 -1 0 (3.7)
0 0 1
Г. Матрица переноса (translation)
1 0 0
[ T ] = 0 1 0 (3.8)
???????????
Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости.
Пример 1. Построить матрицу поворота вокруг точки А (a, b) на угол ? (рис. 9).
?
Рис. 8
1-й шаг. Перенос на вектор - А (-a, -b) для смещения центра поворота с началом координат;
1 0 0
[ T-A ] = 0 1 0 (3.9)
-a -b 1
матрица соответствующего преобразования.
2-й шаг. Поворот на угол ??
cos ?????sin ???? и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.