На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Различные способы построения теории показательной и логарифмической функции

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 30.05.2012. Сдан: 2010. Страниц: 8. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


     Содержание: 
 

     Глава 1. Показательная функция…………………………………………2
              §1. Показательная функция на множестве рациональных
                  чисел и её свойства…………………………………........................2
         §2. Степень с иррациональным показателем....................................4
         §3. Показательная функция на множестве действительных чисел …6
         §4. Свойства степеней с действительными показателями…………...7
         §5. Показательная функция в комплексной области…………………9 
 
 

     Глава2.  Логарифмическая функция…………………………………….13 
         §1. Логарифмы и логарифмическая функция ……………………….13
         §2. Логарифмическая функция ………………………………………14
         §3. Свойства логарифмической функции …………………………...14
         §4. Логарифмы и  алгебраические операции…………………………15
         §5. Логарифмическая  функция в комплексной области……………17 
 
 

     Список  использованной литературы…………………………………….22
 

     Глава1.
     Показательная функция
§1.Показательная функция на множестве рациональных чисел и её свойства.
Зафиксируем в выражении основание степени a и будем менять показатель степени r так, чтобы он пробегал множество всех рациональных чисел. Мы получим функцию , заданную на множестве . Так как переменная r стоит в показателе, то эту функцию называют показательной. Рассмотри свойства показательной функции, заданной на множестве рациональных чисел:
    Все значения функции   , r ? , положительны. В самом деле, при любом a > 0 мы имеем . С другой стороны, если b > 0, то . Поэтому > 0. При a = 1 все значения функции равны 1.
    Имеют место равенства:
    а)         в)            д)  

    б)            г)
Свойства  а)- д) доказаны в книге «Алгебра» ( гл.3, § 2, п.3 ). 
     
    Если a > 1,  то функция возрастает, а если 0 < a < 1, то она убывает. При a=1 функция  постоянна.
В самом  деле, мы знаем, что если a > b > 0, то при r > 0 имеем . В частности, если  r > 0, то при a > 1  выполняется неравенство  .
Чтобы доказать возрастные функции  при a > 1, возьмём два рациональных числа и такие, что < . Тогда имеем

Но  - > 0 и a > 1, а потому    > 0. Тогда и > 0.Это и означает, что функция возрастает при a > 1.
Пусть теперь 0 < a < 1. Тогда , а значит, функция у = возрастает. Но тогда функция у =   убывает. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2.Степень с иррациональным показателем. 

Мы определили показательную функцию пока что  лишь на множестве  рациональных чисел. Теперь определим эту функцию на множестве ? всех действительных чисел. Для этого надо определить понятие степени с иррациональным показателем.
Разберем  сначала случай, когда основание  степени a больше, чем 1. В этом случае функция  на множестве рациональных чисел возрастает. Естественно поэтому определить для иррационального числа x степень так, чтобы было больше всех чисел , где r  < x, и меньше всех чисел , где r > x. Иными словами, должно лежать между числами , r < x, и числами , r > x. Выясним, можно ли так определить и однозначно ли это определение.
Обозначим множество чисел вида , r < x, через A, а множество чисел вида  , r > x, через B. Если ? A, ? B, то , а потому < . Таким образом, множество чисел B расположено правее множества чисел A. Но тогда, как мы знаем, существует по крайней мере одно число, разделяющее множества A и B.
Мы доказали существование числа, удовлетворяющего поставленному выше условию: быть больше всех чисел , r < x, и меньше всех чисел , r > x. Можно также доказать, что это число однозначно определено.
Для однозначной  определённости  достаточно выполнения следующего условия:
Для любого ? > 0 найдутся такие рациональные числа  и  , что < x < и < ?.
Числа и строятся так. Для любого натурального n найдутся такие дроби и , что < x < . Ясно, что . Но , так как по неравенству Бернулли . Множитель же  ограничен, так как < x  и поэтому < , где r – любое рациональное число, большее, чем x.
Таким образом, является произведением двух множителей, один из которых ограничен, а второй стремится к нулю при n > ?. Но тогда и стремится к нулю, когда n > ?. Значит, при достаточно большом n имеем: < ?. Отсюда следует, что однозначно определено.
Мы определили понятие степени с иррациональным показателем при a > 1. Для случая 0 < a < 1 оно определяется точно так же, но множества A и B меняются местами: A состоит из чисел , r > x; B состоит из чисел , r < x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§3.Показательная функция на множестве действительных чисел. 

Для любого положительного числа a и любого действительного числа x мы определили значение . Если считать a фиксированным и x переменным, то получим функцию у = , определённую для всех действительных значений. Её называют показательной функцией на множестве действительных чисел.
Мы будем  в дальнейшем говорить просто «показательная функция».
Установим свойства показательной функции:
    Показательная функция определена на множестве всех действительных чисел.
    Все значения показательной функции положительны.
    В самом  деле, пусть a > 1 и x – действительное число. Возьмём рациональное число r, меньшее x, r < x. Тогда 0 < < . Аналогично разбирается случай 0 < a < 1.
    При a > 1 показательная функция возрастает, при a < 1 она убывает, а при a=1 постоянна.
    В самом  деле, пусть a > 1 и . Если и - рациональные числа, то неравенство вытекает из свойства 3) показательной функции на множестве рациональных чисел. Если - рациональное число, а - иррациональное число, то по определению . Точно также доказывается неравенство для случая, когда иррационально, а рационально. Наконец, если оба числа и иррациональны, то выберем рациональное число , лежащее между и . Мы получим, что .
    Случай  0 < a <1 разбирается точно так же. При a=1 имеем .
    При a > 1 имеем , а при 0 < a <1 имеем .
    В самом  деле, пусть M > 0 – любое число. Так как при a > 1 имеем , то найдётся число N такое, что . Тогда при x > N имеем . Это и значит, что . Случай 0 < a <1 разбирается аналогично.
    При a > 1 имеем , а при 0 < a <1 имеем .
    Доказывается  точно так же, как свойство 4).
    Функция у = непрерывна при всех значениях x.
    Нам надо доказать, что для любого  и для любого ? > 0 найдётся такое , что из неравенства вытекает ?. Мы уже знаем, что существуют такие числа и , что < < и ? (это доказано лишь для иррациональных значений , но доказательство без изменений переносится на случай, когда - рационально число).
    Так как функция у = возрастает при a > 1, то для любых чисел     и , лежащих на отрезке , тем более выполняется неравенство ?. Возьмем настолько малую окрестность точки , чтобы она целиком лежала на отрезке (рис.2). Тогда для любой точки x этой окрестности имеем: ?. Это значит, что функция  у = непрерывна в точке . Так как - любая точка, то у = непрерывна при всех значениях x.
    Случай 0 < a <1 разбирается точно так же. 
     
     
     

         Рис.2

    При   функция у = принимает любое положительное значение.
    В самом  деле, пусть s- положительное число и пусть a > 1. Так как и , то найдутся такие числа и , что и .
    Так как функция у = непрерывна на отрезке , то по теореме о промежуточном значении найдется такое число x, что .
    Случай  0 < a <1 разбирается аналогично.

Доказанных выше свойств функции у = достаточно, чтобы построить её график. При a > 1 он имеет вид, изображенный на рис.1б, а при 0 < a <1 – вид изображенный на рис.1а. Так как при любом имеем , то графики всех функций у = пересекают ось ординат в одной и той же точке M(0,1). 
 


рис1a. 
 
 
 
 
 
 


рис1б. 
 
 
 
 


§4.Свойства степеней с действительными показателями. 


Для степеней с  любыми действительными показателями остаются верными основные свойства степеней, выражаемые равенствами:

А)           в)                    д)

Б)                  г)  


Справедливость  этих свойств для любых действительных показателей легко получается из того, что они справедливы для рациональных показателей, и из непрерывности показательной функции.

Сначала докажем  следующую лемму:

Лемма. Если функция f(x) непрерывна в точке a и - последовательность, сходящаяся к a, то .

Доказательство. Зададим любое  ? > 0. Так как  функция f(x) непрерывна в точке a, то найдется такое > 0, что из неравенства вытекает неравенство ?. Так как , то найдется такое N, что при   . Но тогда при и ?. Итак, для любого ? > 0 нашлось такое N, что при выполняется неравенство ?. Это и означает, что . Лемма доказана.

Докажем теперь, что  Для этого выберем последовательность рациональных чисел , сходящуюся к числу : . Для любого n имеет место равенство . Кроме того, в силу непрерывности показательной функции и доказанной выше леммы  .

Поэтому .

Докажем ещё  свойство в), называемое теоремой сложения для показательной функции (оно  выражает  значение показательной  функции для суммы двух аргументов через её значения для самих аргументов). Выберем две последовательности рациональных чисел и , такие что и . Так как , то мы имеем .

Точно так же доказываются остальные соотношения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


§5.Показательная функция в комплексной области. 


Определение. Сумма степенного ряда

                                                              (1)

называется показательной  функцией комплексной переменной z и обозначается  .

Так как степенной  ряд (1) абсолютно сходится при любом  z (это проверяется так же, как и для вещественных степенных рядов применением признака абсолютной сходимости Даламбера), то показательная функция комплексной переменной определена формулой

                                                                                (2) 

на всей комплексной  плоскости.

Если комплексная  переменная z будет, в частности, принимать только вещественные значения, то ряд (2)  обратится в вещественный степенной ряд

                                                                          (3)  

Мы получаем                                                               (4) 

Когда независимая  переменная  z  принимает вещественные значения, комплексная показательная функция , определенная формулой (2) как сумма степенного ряда, совпадает в силу равенства (4) с вещественной показательной функцией, известной из курса элементарной алгебры:  при вещественных  x. 
 
 


Свойства  показательной функции:

Показательная функция на комплексной плоскости  обладает целым рядом свойств, аналогичных  тем, которыми обладает вещественная показательная  функция на числовой оси, но имеет  также и новые свойства. Рассмотрим основные свойства показательной функции комплексной переменной.
    Для любых двух значений и независимой переменной z справедливо равенство
    .                                                          (5)
    Это свойство хорошо известно, когда  и вещественные. При доказательстве равенства (5) для комплексных и следует исходить из определения (1):

=

= .

Так как ряды абсолютно сходятся, то по известному свойству абсолютно сходящихся рядов  их можно перемножать по правилу  перемножения многочленов и группировать полученные при перемножении члены произвольным способом,  в частности так, как это сделано выше.

Из (5) вытекает, что  , . Действительно, полагая в равенстве (5) , получаем: , откуда . Теперь уже можно написать: .
    Показательная функция регулярна на всей комплексной плоскости.

Отделим вещественную и мнимую части у  . Для этого положим  . Тогда по первому свойству имеем:

                                                                 (6)

Из  получаем:

,                                                                               (7)

где и - вещественные тригонометрические функции вещественной переменной y. Подставляя полученное выражение для в равенство (6), получаем:

.                                                                               (8) 

Таким образом, получена запись показательной функции  в виде , где и - вещественные функции двух вещественных переменных:

, .                                                                    (9)        

Теперь проверим выполнение условий Коши – Римана.

 Найдем частные производные этих функций по x и по y:

, , , .

Они, действительно, удовлетворяют на всей плоскости  условиям Коши – Римана. Следовательно, функция регулярна на всей комплексной плоскости.

Правило дифференцирования  показательной функции комплексной  переменной совпадает с правилом дифференцирования вещественной показательной  функции: .
    Показательная функция нигде на комплексной плоскости не принимает значения, равного нулю.

Из (8) следует, что  , а, как известно, значения вещественной показательной функции всегда строго положительны при любом x. Следовательно, и .
    Если таким образом, что , то ; если же так, что  , то .

Это следует  из приведенной выше формулы  .
    Показательная функция периодическая и её периодом является чисто мнимое число .

Действительно, в силу первого свойства получаем, используя формулу Эйлера :

.

Это свойство новое  по сравнению с известными свойствами вещественной показательной функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 


Глава 2.

Логарифмическая функция.

§1.Логарифмы и логарифмическая функция.

Определение логарифма. Для различных целей оказывается полезным представлять числа в виде степеней одного и того же основания a. Это возможно благодаря доказанному выше свойству 7) показательной функции: если a > 0 и a , то функция принимает все положительные значения. Таким образом, любое число b > 0 может быть представлено в виде степени  . Поскольку функция  при a монотонна, то из следует, что . Поэтому показатель , для которого , однозначно определен. Этот показатель называется логарифмом числа b при основании a и обозначается . Таким образом, равенства и равносильны.

Логарифмом числа  b при основании a называется показатель степени , в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b:

                                                     .                                                   (1)

Отметим еще  раз, что в качестве основания  логарифмов может быть выбрано любое  положительное число, отличное от единицы.

Равенство (1), выражающее определение логарифма, можно записать в виде:

                                    .                                                                  (2)

Эту формулу  называют часто основным тождеством теории логарифмов.

Логарифмы по основанию  e называют натуральными логарифмами и обозначают (1 - логарифм, n - натуральный ). Таким образом, .

Логарифмы по основанию 10 называют десятичными и обозначают : . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


§2.Логарифмическая функция. 


При данном основании  a логарифм числа зависит от этого числа. Рассмотрим эту зависимость подробнее.

Функция , где a – данное положительное число, не равное 1, называется логарифмической функцией.

К логарифмической  функции можно свести все те зависимости, которые сводятся к показательной функции. Причина этого непосредственно видна из определения логарифма: равенство  можно записать в виде ; поэтому если одна из величин есть показательная функция другой, то вторая величина есть логарифмическая функция первой. Таким образом, логарифмическая функция есть функция, обратная показательной (и наоборот). Это  означает, что показательная функция и логарифмическая функции описывают одни и те же реальные явления. Рассматривая каждое такое явление, мы придем к показательной или к логарифмической функции, смотря по тому, какую из участвующих в нем переменных величин будем считать независимой, а какую – зависимой.

Так как функции  и обратны друг к другу, то график логарифмической функции симметричен относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов графику показательной функции с тем же основанием.

Поэтому, зная вид  графика показательной функции, легко построить график логарифмической функции.  
 
 


§3.Свойства логарифмической функции. 


Так как логарифмическая  функция обратна показательной, то ее свойства вытекают из свойств показательной функции. Сформулируем эти свойства для случая a > 1.
    Функция определена при x >0;  нуль и отрицательные числа не имеют логарифмов.

Свойство 1) вытекает из того, что все значения показательной  функции  положительны: .
    Областью значений функции является вся числовая ось.

Свойство 2) вытекает из того, что показательная функция  определена на всей числовой оси.
    Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: .

Свойство 3) вытекает из того, что  .
    Функция (a > 1) возрастает.

В самом деле, при a > 1 функция возрастает. Поэтому если , то , и обратно, если , то . Но это и означает, что если , то , а поэтому логарифмическая функция возрастает.

Из свойства 4) вытекает, в частности, что если a > 1, то при x > 1 имеем , а при 0 < x < 1 имеем . Иными словами, при a > 1 логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны.
    Имеет место равенство .

Это вытекает из того, что  .
    Имеет место равенство .

Это вытекает из того, что .

При 0 < a < 1 сформулированные выше свойства 1), 2) и 3) логарифмической функции остаются справедливыми. Последующие же свойства логарифмической функции в этом случае будут иными:

    ) Функция ( 0 < a < 1) убывает.

Отсюда следует, в частности, что если 0 < a < 1, то при x > 1 имеем , а при 0 < x < 1 имеем .

   ) .

) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


§4.Логарифмы и алгебраические операции. 


Дальнейшие свойства логарифмической функции позволяют  выразить логарифмы произведения, частного, степени через логарифмы компонент действий.
    Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:
                                     (3)

В самом деле, пусть a – положительное основание, b и c – любые положительные числа. Обозначим через , а - через , тогда и . В силу свойства показательной функции имеем:

.

Это равенство  означает, что  . Но , . Поэтому .

Формула (3) показывает, что , поставив в соответствие каждому числу его логарифм , мы получаем взаимно – однозначное отображение множества положительных действительных чисел на множество D всех действительных чисел, при котором операция умножения в множестве переходит в операцию сложения в множестве D.

Аналогично доказывают и следующие два утверждения.
    Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:
                                               (4)

В самом деле, если то и потому  Это и означает, что
    Логарифм степени положительного основания равен произведению показателя степени на логарифм основания  степени:
    .                                                 (5)

В самом деле, пусть  Тогда , и потому

Но это и  означает, что 

Отметим частный  случай формулы (5). Если , то , и потому формула (5) принимает вид:

                                                           (6)

Таким образом, имеем:

   ) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня. 
 
 
 
 
 
 


§5.Логарифмическая функция в комплексной области. 


В области комплексных  чисел логарифмическую функцию  можно определить тем же способом, что и в области вещественных чисел, а именно как функцию, обратную показательной функции.

Пусть имеем  показательную функцию комплексной  переменной:                               
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.