На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Этапы возникновения, развития и основы теории исследования величины нильпотентной длины конечных разрешимых групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам. Признаки разрешимости конечной группы, подгруппа Фиттинга, ее свойства и теоремы.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 18.09.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
" " 2005г.
Дипломная работа
«Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам»
Исполнитель
студентка группы М-51
Рубан Е.М.
Руководитель
Д. ф-м н., профессор Монахов В.С.
Гомель 2005
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Подгруппа Фиттинга и её свойства
2. -длина -разрешимой группы
3. Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам
4. Используемые результаты
Заключение
Список использованных источников
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Рассматриваются только конечные группы. Используются следующие обозначения.
- простые числа.
- знак включения множеств;
- знак строгого включения;
и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех для которых выполняется условие ;
- число сравнимо с числом по модулю .
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число - любое число вида , ;
- множество всех целых положительных чисел.
- единичная группа;
- единичная матрица размерности ;
- полная линейная группа степени над полем из элементов, т.е. группа всех невырожденных линейных преобразований -мерного линейного пространства над полем из элементов;
) - специальная линейная группа степени над полем из элементов.
) - проективная специальная линейная группа степени над полем из элементов, т.е. факторгруппа специальной линейной группы по ее центру
- конечное поле порядка .
Пусть - группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента группы ;
- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
- также единичная подгруппа группы ;
- множество всех простых делителей порядка группы ;
- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
-группа - группа , для которой ;
-группа - группа , для которой ;
Группа называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- наибольшая нормальная разрешимая подгруппа группы ;
- наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;
- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская подгруппа группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
- группа всех автоморфизмов группы ;
- главный ранг группы ;
- -главный ранг группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
Пусть - максимальная цепь подгрупп, т.е. для всех . Если разрешима, то все индексы максимальной цепи примарны, т.е. . Тогда:
.
При введении обозначений и рассматриваются все максимальные цепи.
- -длина группы ;
- нильпотентная длина группы ;
- производная длина группы ;
- является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной подгруппой группы ;
- является минимальной нормальной подгруппой группы ;
- является субнормальной подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
- индекс подгруппы в группе ;
;
- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в ;
- подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами из , то есть ;
- централизатор подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая группа порядка ;
- симметрическая группа степени ;
- знакопеременная группа степени .
Если и - подгруппы группы , то:
- прямое произведение подгрупп и ;
- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
- и изоморфны.
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
Группу называют:
-замкнутой, если ;
-нильпотентной, если ;
-разложимой, если и нормальны в .
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если для всех .
ВВЕДЕНИЕ
Начало развития исследований в области теории конечных групп в Гомеле связано с приездом в 1953 году профессора Сергея Антоновича Чунихина в только что открывшейся Белорусский государственный институт инженеров железнодорожного транспорта, ныне - Белорусский государственный университет транспорта. Здесь он возглавил кафедру высшей математики, а позднее в 1959 году создал лабораторию теории конечных групп Института математики Академии наук Беларуси и в 1964 году кафедру алгебры и геометрии Гомельского педагогического института, преобразованного в 1969 году в университет. В 1956 году он был избран членом-корреспондентом АН БССР, а в1966 году - академиком АН БССР.
За время работы С.А. Чунихина в г. Гомеле в 1953-1985 гг. создана крупная научная алгебраическая школа, активно развивающая в настоящее время под руководством члена-корреспондента НАН Беларуси профессора Л.А. Шеметкова различные направления современной теории конечных групп и теории классов алгебраических систем. Об этом свидетельствуют монографии участников Гомельского алгебраического семинара С.А. Чунихина, Л.А. Шеметкова, А.Н. Скибы, М.В. Селькина, С.Ф. Каморникова, Го Вэньбина. К учебным изданиям по теории групп участников Гомельского алгебраического семинара следует отнести прежде всего машинописные варианты текстов лекций С.А. Чунихина и Л.А. Шеметкова, а также учебные пособия Л.А. Шеметкова, В.А. Ведерникова, В.С. Монахова и А.Н. Скибы.
В работе [1] Л. А. Шеметков ввёл понятие добавления (см. также [2,с.132]). Добавлением к подгруппе конечной группы называется такая подгруппа из , что , но для любой собственной подгруппы из . Если, кроме того, , то называется дополнением к подгруппе .
Ф. Холл установил строение конечной группы, у которой все подгруппы дополняемы [3, 4, c. 291]. Поскольку в каждой конечной группе любая подгруппа обладает добавлением, то аналогичная задача относительно добавлений охватывает класс всех конечных групп. Однако при дополнительных ограничениях на добавления или на добавляемые подгруппы можно выделить разнообразные классы групп.
Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла [12] явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как отмечает в своей монографии С.Н. Черников [10,с.11]: "Изучение групп с достаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными результатами". К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались -дополняемость (если пересечение подгруппы с добавлением циклическое), -плотность (если для любых двух абелевых подгрупп группы , из которых первая не максимальна во второй, в существует дополняемая (абелева) подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др. Обзор результатов этого направления можно найти в [10].
Подобная тематика исследуется и в теории формаций. В работах В.А. Ведерникова [5,6], Го Вэнь Биня [11], А.Н. Скибы [7], Л.А. Шеметкова [8] и других авторов исследовались формации с системами дополняемых подформаций. Обзор результатов этого направления можно найти в [9].
Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.
В настоящей дипломной работе изложены основы теории нильпотентной длины конечной разрешимой группы. Целью дипломной работы является исследование величины нильпотентной длины конечных разрешимых групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам. В работе рассмотрены следующие вопросы: подгруппа Фиттинга конечной разрешимой группы и ее свойства; нильпотентная длина и другие инварианты конечной разрешимой группы; признаки разрешимости конечной группы с извесными добавлениями к максимальным погруппам; нахождение величины нильпотентной длины разрешимой группы с известными добавлениями к максимальным подгруппам.
Работа состоит из трех глав.
В первой главе "Подгруппа Фиттинга и ее свойства" изучены свойства подгруппы Фиттинга.
Определение. Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через .
Определение. Нильпотентной длиной разрешимой группы называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы обозначают через .
На основе подгруппы Фиттинга вводится следующая
Теорема А. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.
Также рассматривается доказательство теоремы К. Дёрка.
Теорема B. Если - максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .
Доказана теорема Монахова В.С.
Определение. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от .
Определение. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех ее максимальных подгрупп. Подгруппа Фраттини группы обозначается через .
Теорема C. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.
Во второй главе "-длина -разрешимой группы" даны следующие определения.
Определение. Пусть - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом
в котором каждая факторгруппа является либо -группой, либо -группой.
Определение. Наименьшее целое число , для которого , мы назовем -длинной группы и обозначим его , или, если необходимо, .
-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда
Доказывается
Теорема D. Если - -разрешимая группа, где - нечетное простое число, то
(i)
(ii) если не является простым числом Ферма, и , если - простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.
В главе "Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам" доказана важная теорема.
Определение. Группа называется -сверхразрешимой, если ее главные факторы либо -группы, либо имеют простые порядки. -Сверхразрешимой называют группу, у которой факторы главного ряда либо имеют порядок , либо являются -группами. Группа, у которой все факторы главного ряда имеют простые порядки, называется сверхразрешимой.
Теорема E. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.
Также доказано следствие из этой теоремы.
Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна или , где - -группа, либо , где - -группа.
1 ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА
Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через . Множество простых делителей порядка группы обозначается через а наибольшую нормальную -подгруппу группы - через .
Лемма 1.1. (1) - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы ;
(2) ;
(3) .
Proof. (1) Пусть и - нильпотентные нормальные подгруппы группы и пусть и - силовские -подгруппы из и . Так как , а , то по лемме 4.1, с. 35. Аналогично, , поэтому . Ясно, - -группа. Покажем, что она силовская в . Для этого вычислим ее индекс:
Так как числитель не делится на , то - силовская -подгруппа группы . Итак, произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная нильпотентная подгруппа. Поэтому - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы .
(2) Ясно, что для всех , поэтому
Обратно, если - силовская -подгруппа группы , то и нормальна в , поэтому и
(3) Если , то и нильпотентна, поэтому по (1) и .
Лемма 1.2. (1) ; если разрешима и , то ;
(2)
(3) если , то ; если, кроме того, абелева, то
Proof. (1) Поскольку подгруппа Фраттини - нильпотентная нормальная подгруппа группы , то . Пусть - разрешимая неединичная группа. Тогда разрешима и неединична. Пусть
Так как - -группа для некоторого простого , то по следствию 4.2, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Следовательно, .
(2) Если , то - нильпотентная нормальная в подгруппа по теореме 4.3, с. 35, поэтому и
Обратное включение следует из определения подгруппы Фиттинга.
(3) Для минимальной нормальной подгруппы либо , либо . Если , то
Если , то - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как , то . С другой стороны, по теореме 4.4, с. 35, поэтому .
Теорема 1.3. для любого . В частности, если разрешима, то
Proof. Пусть , . Так как по лемме 4.5, с. 35, то . Предположим, что для некоторого и пусть
Ясно, что и Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как
-группа, то , а поскольку , то и . Теперь, - нильпотентная нормальная подгруппа группы и . Таким образом, и первое утверждение доказано. Если разрешима, то разрешима, поэтому и .
Говорят, что подгруппа группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группе
Теорема 1.4. Если - нильпотентная нормальная подгруппа группы и , то дополняема в .
Proof. По условию а по теореме 4.6, с. 35, коммутант . По теореме 4.7, с. 35, подгруппа Фраттини а по условию Поэтому и абелева. Пусть - добавление к в . По лемме 4.8, с. 35, Поскольку и то и по теореме 4.7, с. 35,
Следовательно, и - дополнение к в .
Теорема 1.5. Факторгруппа есть прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы .
Proof. Предположим вначале, что и обозначим через подгруппу Фиттинга По теореме 4.6 коммутант Но значит по теореме 4.7, с. 35. Поэтому и абелева. Пусть - прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы наибольшего порядка. Тогда и по теореме 1.4 существует подгруппа такая, что По тождеству Дедекинда Но абелева, поэтому а так как , то По выбору пересечение и
Пусть теперь и По лемме 1.2(2) Так как то для утверждение уже доказано.
Следствие 1.6. В разрешимой группе с единичной подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга есть прямое произведение минимальных нормальных подгрупп.
Теорема 1.7. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.
Proof. Пусть
По следствию 4.9, с. 35, подгруппа нормальна в . Если
главный ряд группы , то
нормальный ряд группы . Так как подгруппа содержится в каждой подгруппе , то
для . По теореме 4.10, с. 35, подгруппа нильпотентна, поэтому .
Проверим обратное включение. Пусть - главный фактор группы . Так как
то по лемме 4.11, с. 35, либо
либо
В первом случае , поэтому
Во втором случае из нильпотентности подгруппы по лемме 1.2 получаем, что
Снова . Таким образом, и .
Лемма 1.8. .
Proof. Пусть . Ясно, что и . Так как
то и изоморфна нормальной нильпотентной подгруппе группы . Поэтому
и .
Пусть - группа и пусть
Ясно, что
В разрешимой неединичной группе подгруппа Фиттинга отлична от единичной подгруппы по лемме 1.2. Поэтому для разрешимой группы существует натуральное такое, что .
Нильпотентной длиной разрешимой группы называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы обозначают через . Таким образом, если группа разрешима и , то
где
Поэтому построенный ряд нормальный и его факторы нильпотентны.
Ясно, что тогда и только тогда, когда группа нильпотентна.
Пример 1.9. .
Непосредсвенно из определения нильпотентной длины вытекает
Лемма 1.10. Пусть - разрешимая группа. Тогда:
(1) ;
(2) .
Лемма 1.11. (1) Если - разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы с нильпотентными факторами не меньше, чем .
(2) Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.
Proof. (1) Применим индукцию по порядку группы . Пусть
нормальный ряд группы с нильпотентными факторами. Так как - нормальная нильпотентная подгруппа группы , то и . Здесь . Факторгруппа имеет порядок меньше, чем порядок группы и обладает рядом
где . Ясно, что это нормальный ряд, его длина и его факторы
нильпотентны. По индукции и .
(2) следует из (1).
Лемма 1.12. Пусть - разрешимая группа. Тогда:
(1) если , то ;
(2) если , то ;
(3) если и , то
в частности, если и - разрешимые группы,то
(4) .
Proof. Пусть и . Тогда
(1) Пусть . Тогда ряд
будет нормальным рядом подгруппы с нильпотентными факторами
По лемме 1.11 .
(2) Пусть и . Тогда ряд
будет нормальным рядом группы с нильпотентными факторами
По лемме 1.10 .
(3) Ясно, что . Обозначим . Тогда по лемме 1.10, а по индукции
Поэтому . Так как по (1), то имеем
(4) Положим . По лемме 1.2 для неединичной разрешимой группы имеем и
Поэтому .
Следующая теорема принадлежит К. Дёрку.
Теорема 1.13. Если - максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .
Пример. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Если , то и , где . Поэтому можно предположить, что все минимальные нормальные подгруппы группы содержатся в . Если группа содержит две различные минимальные нормальные подгруппы, то и по индукции
Поскольку
то теорема справедлива. Следовательно, можно считать, что группа содержит в точности одну минимальную нормальную подгруппу. Если , то по лемме 1.12 и опять
Поскольку
то опять теорема справедлива.
Итак, можно считать, что и по следствию 1.6. По индукции
Если , то утверждение справедливо. Пусть , т.е. . Считаем, что - -группа. Тогда - -группа. Пусть . Если , то и , поэтому
и теорема справедлива.
Остается случай, когда . Так как - -подгруппа, то
причем - -группа. Противоречие.
Пример 1.14.
Все три значения в теореме 1.13 имеют место. Значение выполняется на любой нильпотентной неединичной группе. Значение выполняется на группе с максимальной подгруппой . Значение выполняется на группе , у которой силовская -подгруппа максимальна.
Если факторгруппа нильпотентна, то группу называют метанильпотентной.
Теорема 1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.
Proof. Обозначим через пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих , а через пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы и характеристические в группе и
(1) В факторгруппе подгруппа Фиттинга
по лемме 1.2, поэтому
Предположим, что и пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Так как подгруппа нормальна в группе и факторгруппа нильпотентна, то по теореме 4.3, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Но теперь
противоречие. Поэтому допущение неверно и , т.е. .
(2) Пусть - разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что и
Поэтому подгруппа метанильпотентна.
Пример 1.16. В неразрешимой группе центр, подгруппа Фраттини и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок . Поэтому в группе нет максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
Следовательно, утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.
2 -ДЛИНА -РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ
Пусть - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом
в котором каждая факторгруппа является либо -группой, либо -группой. Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний -ряд.
потребовав, чтобы была наибольшей нормальной -подгруппой в , а - наибольшей нормальной -подгруппой в .
Наименьшее целое число , для которого , мы назовем -длинной группы и обозначим его , или, если необходимо, .
-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда (2.2). Подгруппы и , очевидно, характеристичны в , и содержит все нормальные подгруппы группы с -длинной, не превосходящей числа . Заметим также, что
для
Подгруппы и факторгруппы -разрешимой группы также -разрешимы, и их длина не превышает . Если группы и обе -разрешимы, то таково же их прямое произведение и
Пусть - -разрешимая группа и - ее силовская -подгруппа. Разумно предположить, что чем больше -длинна группы , тем большей должна быть сложность силовской подгруппы . Придадим точный смысл этому утверждению и докажем его несколькими способами, избирая различные критерии сложности . Наиболее естественные из этих критериев, силовские -инварианты группы , таковы:
(i) где - порядок ,
(ii) - класс нильпотентности , и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.