На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 08.08.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


1
Содержание.
Введение……………………………………………………………………….2
Глава I. Нормированные пространства…………………………………..3
§1. Понятие нормированного пространства........................................3
§2. Пространства суммируемых функций…………………………...5
§3. Интеграл Лебега - Стилтьеса………………………………..........7
Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций….11
§1. Теорема Марцинкевича и ее применение……………………...11
§2.Теорема Рисса-Торина и ее применение ………………………15
Глава III. Пространства суммируемых последовательностей…..…....24
§1. Основные понятия……………………………………………….24
§2. Связь между коэффициентами Фурье -периодической функции и ее нормой в …………….……………………………25
Литература………………………………………………………………...28

Введение.

Понятие нормированного пространства - одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С.Банахом в 20-х годах 20 века. В работе эта теория прилагается к изучению суммируемых функций и последовательностей с позиций функционального анализа. Эти функции и последовательности образуют нормированные пространства, на которых вводятся операции сложения и умножения на число, а также норма.
Основным объектом классического функционального анализа являются операторы, действующие из одного банахова пространства в другое.
Целью данной работы является рассмотрение линейных операторов, действующих из одного пространства суммируемых функций в другое, а также в пространство суммируемых последовательностей.
Основные понятия нормированных пространств изложены в первой главе.
Вторая глава посвящена интерполяции в пространствах измеримых функций. Рассмотрена теорема Марцинкевича, являющаяся одной из классических в теории интерполяции, и дано ее подробное доказательство. Приводится доказательство непрерывности оператора свертки с использованием данной теоремы. Также рассмотрена интерполяционная теорема Рисса - Торина и ее применение.
В третьей главе даны основные понятия пространства суммируемых последовательностей, доказана связь между коэффициентами Фурье - периодической функции и ее нормой в при помощи теоремы Марцинкевича.
Глава I. Нормированные пространства.
§1. Понятие нормированного пространства.

Введем основные понятия теории нормированных пространств.
Определение. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:
Й. Для любых двух элементов однозначно определен элемент, называемый их суммой, причем
1. (коммутативность)
2. (ассоциативность)
3. В существует такой элемент 0, что для всех
4. Для каждого существует такой элемент , что .
II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем
5.
6.
III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:
7.
8.
Определение. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:
1. ;
2. для любого и любого числа ;
3. для любых (неравенство треугольника).
Определение. Оператором называется отображение , где - это линейные пространства.
Определение. Оператор называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:
.
Определение. Пусть - линейные нормированные пространства,
- линейный оператор,.
Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что следует, что .
Определение. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .
Определение. Линейный оператор называется ограниченным, если .
Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.
Определение. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .
В частности, выполняется .
Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора .
§2. Пространства суммируемых функций.
Среди различных классов нормированных пространств, встречающихся в анализе, один из важнейших - это пространство суммируемых функций. Далее будем рассматривать именно эти нормированные пространства.
Определение. Пусть - некоторое фиксированное измеримое множество из . Пространством , где , называется нормированное пространство, элементами которого служат функции , измеримые и почти всюду конечные на , для которых выполняется
Функции, эквивалентные друг другу на , не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства . В частности, нулевой элемент в - это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду.
Сложение элементов в и умножение их на числа определяются как обычные сложение и умножение функций. Точнее, поскольку каждый элемент в - это класс эквивалентных между собой функций, то для того, чтобы сложить два таких класса, нужно брать в них по представителю и потом суммой этих классов называют класс, содержащий сумму выбранных представителей. Результат не будет зависеть от выбора представителей в данных классах.
Определение. Число называется нормой функции
Будут выполняться все свойства нормы:
1. и почти всюду;
2.
3.
Первое свойство cледует из определения нормы и того, что
Второе - из свойства интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Третье свойство вытекает из неравенства Минковского: для любых функций
Определение. Функция называется ограниченной почти всюду, если существует неотрицательное число такое, что почти всюду выполняется неравенство . (*)
Определение. Пространством называется нормированное пространство, элементами которого служат почти всюду ограниченные функции . Нормой называется наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству (*).
Для выполняется почти всюду неравенство .
Через будем обозначать линейное пространство измеримых функций, заданных на R.
Среди линейных операторов, действующих в пространстве , рассмотрим следующие.
Определение. Оператор , действующий из пространства () в , называется оператором слабого типа (p,p), если
, где - мера множества, и оператором типа (p,p), если .
По определению оператор типа является ограниченным, что равносильно его непрерывности.
Предложение 1. Любой оператор типа есть оператор слабого типа .
Доказательство.
Нужно доказать, что .
Воспользуемся неравенством Чебышева: .
Возьмем любое положительное число . По неравенству Чебышева
. Но по условию .
Учитывая последнее соотношение, имеем , что и требовалось доказать.
§3. Интеграл Лебега - Стилтьеса.
Далее понадобится понятие интеграла Лебега - Стилтьеса. Введем это понятие.
Определение. Пусть на R задана монотонно неубывающая функция , которую для определенности будем считать непрерывной слева. Определим меры всех сегментов, интервалов и полусегментов равенствами
Таким образом, функция , которая каждому сегменту ставит в соответствие меру этого сегмента, будет:
1. принимать действительные неотрицательные значения;
2. аддитивной, т.е. мера объединения есть сумма мер этих сегментов.
Применив стандартное распространение меры, получим меру на некоторой - алгебре.
Определение. Меру , получающуюся с помощью такого построения, называют мерой Лебега - Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию называют производящей функцией этой меры.
Определение. Пусть - мера на R, порожденная монотонной функции . Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега .
Такой интеграл, взятый по мере , отвечающей производящей функции , называется интегралом Лебега - Стилтьеса и обозначается .
Теперь докажем факт, который используется при доказательстве интерполяционной теоремы.
Предложение 2. и для
и , тогда
(1) , и если , и , то
. (2)
Доказательство.
Равенство (1) следует из определения интегралов Лебега и Лебега - Стилтьеса:
Если - последовательность разбиений действительной оси:
, и , то интегралы , где , если , стремятся при .
С другой стороны:
при .
Это и доказывает равенство (1).
Пусть теперь . По (1), учитывая, что , получаем (2')
При
Следовательно, из соотношения (2'), делая замену переменных , получим первое равенство (2).
Далее, для любого выполняется
(интегрирование по частям: ).
Для доказательства второго равенства в (2) достаточно устремить в последнем соотношении число к и использовать оценку:
при.
Предложение 2 доказано.
Замечание. Если функция задана на , то, применяя равенство (2) для функции , , и учитывая, что , получим
(3)
Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций.
§1. Теорема Марцинкевича и ее применение.

Одной из важнейших в теории интерполяции является теорема Ж.Марцинкевича, доказанная им в 1939 году. Прежде чем рассмотреть теорему, докажем предложение.
Пусть дана функция . Положим для
, .
Предложение 3. Пусть , , для любого положительного числа и - функции, описанные выше. Тогда .
Доказательство.

Нужно показать, что , т.е. .
I. Для функции
1) если 0<t , то , т.к.
2) Пусть t>1.
Обозначим , .
. Конечность доказана в первом случае. Рассмотрим второй интеграл.
Покажем, что . Предположим противное, что .
, т.к. . С другой стороны, . Но на , т.е. , а это противоречие. Получили, что конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Тогда .
II.для функции :
1) если , то .
2) Пусть .
Пусть
. Конечность доказана в первом случае. Нужно показать, что конечен.
Докажем, что . Предположим противное, что .
().
С другой стороны . Но , т.е.
. Пришли к противоречию.
Получили, что конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Следовательно, . Предложение доказано.
Следствие. Для всех справедливо включение: .
Замечание 2. Пусть оператор задан на пространстве и на . Тогда оператор можно распространить с сохранением линейности до оператора, действующего из пространства
т.е. для любой функции
Такое определение функции не зависит от выбора и Действительно. Возьмем другое представление функции :
, где т.е.
Нужно доказать, что .
Из условия следует . Левая часть равенства - это функция из правая часть - из Применим к равенству оператор T:
. Так как T линеен в пространствах и , то . Отсюда , что и требовалось доказать.
Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор Т имеет слабый тип и одновременно слабый тип , то Т имеет тип для любого из интервала
Доказательство.
Считаем, что . Фиксируем функцию и положительное число . Оценим величину
Пусть и функции, описанные выше.
Тогда и по замечанию 2.
Следовательно, .
Используя оценки слабого типа , находим, что при положительном
.
Из последнего неравенства и формулы (3) из замечания 1 получаем
, т.е. оператор Т имеет тип . Теорема доказана.
В качестве применения этой теоремы рассмотрим следующий пример.
Утверждение 2. Пусть . Тогда оператор будет непрерывным оператором в пространстве , .
Доказательство.
Рассмотрим два случая, когда и . Докажем, что оператор является оператором типа для этих случаев. Тогда по предложению 1 будет оператором слабого типа для и . Применив интерполяционную теорему Марцинкевича, получим, что - оператор типа для любого , а это равносильно его непрерывности.
1) и . Докажем, что найдется число , такое, что
Учитывая последнее равенство и то, что для любого действительного числа верно , получим
, где .
2).
Нужно доказать, что
Для почти всюду выполняется неравенство: . (*)
Обозначим , .
. Так как , то .
Исходя из последнего соотн и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.