На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 08.08.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
О КАТЕГОРИИ МНОЖЕСТВ

Выполнила студентка V курса
математического факультета
Одегова В.Н.
/подпись/
Научный руководитель:
Доктор ф.-м.н., профессор
Вечтомов Е.М.
/подпись/
Рецензент: кандитат ф.-м.н., доцент Чермных В.В.
/подпись/
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой Вечтомов Е.М.
(подпись)
2003г.
Декан факультета Варанкина В.И.
(подпись)
2003г.
Киров, 2003г.
    введение 3
    1 Основные понятия теории категорий 4
      1.1. Мономорфные стрелки 6
      1.2. Эпиморфные стрелки 7
      1.3. Изострелки 8
      1.5. Начальные объекты 10
      1.6. Конечные объекты 10
      1.7. Двойственность 11
      1.8. Произведения 12
      1.9. Произведение отображений 15
      1.10. Копроизведение объектов 18
    2 категориЯ множеств 19
      2.1. Мономорфизм в категории множеств 20
      2.2. Эпиморфизм в категории множеств 21
      2.3. Начальные и конечные объекты в категории множеств 23
      2.4. Произведение в категории множеств 23
      2.5. Копроизведения в категории множеств 24
    3 Примеры категорий 24
      3.1. Категория 1 24
      3.2. Категория 2 25
      3.3. Категория 3 25
      3.4. Категории предпорядка 26
      3.5. Дискретные категории 26
      3.6. Категория N 27
    Литература 28

введение

Сейчас многие отрасли математики используют теоретико-множественные обозначения. Несомненно, теория множеств сыграла огромную роль в развитии математики. У этой теории можно найти много преимуществ, но в этой дипломной работе речь пойдет не об этом. Развитием теории множеств можно считать теорию категорий. Что такое «теория категорий». Это очень привлекательная и естественная альтернатива теории множеств. Конечно, можно мыслить объекты математического изучения как множества, но нет уже уверенности, что и в будущем их будут рассматривать так. Без сомнения, основной язык теории множеств останется важным инструментом в тех случаях, когда надо рассматривать совокупности предметов. Но понимание самих предметов как множеств потеряло свое преимущественное значение в силу появления новой альтернативы.

В данной дипломной работе рассматривается одна из важнейших категорий в математике - категория множеств. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории категорий. Доказываются необходимые свойства и утверждения.

Во втором параграфе рассматривается категория множеств. Те понятия, которые используются в теории категорий, переносятся непосредственно в эту категорию. Интерпретируются теоремы из теории категорий в категорию множеств.

В третьем параграфе приведены другие примеры категорий. Тем самым показаны выразительные возможности теории категорий.

Теория категорий изложена в книгах [1]-[4]. 1 Основные понятия теории категорий

Для того чтобы проиллюстрировать формализацию интуитивной математической идеи рассмотрим понятие функции.
Функция - есть связь между объектами. Точнее, это - соответствие, сопоставляющее заданному объекту точно один другой объект.
Если А - множество всех возможных входов функции f, а В - множество, включающее все f-образы элементов из А, то говорят, что f является функцией из множества А во множество В. Это выражают записью f: AB.
Множество А называется областью определения, а множество В - областью значений.
В общей теории категорий вместо слова «функция» используют более нейтральное слово «стрелка» (а также слово «морфизм»).
Выполняются следующие свойства:
1. C каждой стрелкой связано два специальных объекта - её начало и конец.
2. Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, › стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g?, также принадлежащую данной категории.
3. С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка - единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.
Итак, дадим аксиоматическое определение категории.
Категория Щ включает в себя:
1) Совокупность предметов, называемых Щ - объектами
2) Совокупность предметов, называемых Щ-стрелками
3) Операции, ставящие в соответствие каждой Щ-стрелке f Щ-объект dom f (начало стрелки f) и Щ-объект cod f (конец стрелки f). То, что а=domf и b=cod f изображается так: f: ab
4) Операцию, ставящую в соответствие каждой паре ‹ g, › Щ-стрелок с dom g=cod f Щ-стрелку g?, композицию f и g, с dom (g?)=dom f и cod(g?)=cod g, причем выполняется следующее условие:
закон ассоциативности:
пусть f: ab
g: bc
h: cd
тогда h ?(g?)= (h ?g)?.
Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида -
-коммутативна.
( в теории категорий удобным средством являются коммутативные диаграммы. Диаграмма - это схема, в которой указаны объекты и стрелки между ними. При этом, любые два пути, ведущие по стрелкам из одного объекта в другой, равны. Диаграмма называется коммутативной, если есть несколько путей от одного объекта к другому, то все они приводят к одному и тому же результату. Точнее: диаграмма называется коммутативной, когда все возможные треугольники, составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию. Диаграммы в теории категорий используются для наглядности изложения.)
5) Сопоставление каждому Щ-объекту b Щ-стрелки 1b: bb, называемой единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен Закон тождества:
для любых Щ-стрелок f:ab и g:bc 1b ?f=f и g?1b =g, т.е. коммутативна диаграмма

1.1. Мономорфные стрелки

Определение: Стрелка f:ab в категории Щ называется мономорфной или монострелкой в Щ, если для любой пары g,h: ca Щ-стрелок из равенства f g=f h следует g=h.

· В произвольной категории композиция gf является монострелкой, если как f, так и g мономорфны.

Доказательство:

Воспользуемся определением монострелки:

Стрелка gf:ac является монострелкой, если для любых стрелок l,m:ba если (gf)l=(gf)m, то l=m. Изобразим диаграмму. Очевидно, что требуемое равенство выполняется, т.е. (gf)l=(gf)m. В любой категории должен выполняться ассоциативный закон. Применяя его, получаем следующее равенство: g(fl)=g(fm).

g - монострелка f l=f m

f - монострелка l=m, что и требовалось доказать.

· В произвольной категории, если композиция g f - мономорфна, то и f - мономорфна.

Доказательство: пусть f: ab

g: bd,

l, m: ca

f - мономорфна, если из равенства f l=f m ()следует, что l=m.

Очевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что domg = cod(f l) = cod(f m), применим к равенству () стрелку g. Получаем g(f l)=g(f m). Далее, по ассоциативному закону:

(gf)l=(gf)m.

gf - монострелка l=m, что и требовалось доказать.

1.2. Эпиморфные стрелки

Определение: Стрелка f:ab называется эпиморфной или эпистрелкой в категории Щ, если для произвольной пары стрелок g,h: bc из равенства gf=hf следует g=h, т.е. если коммутативна диаграмма, то g=h.

· Если g°f-эпистрелка, то g- эпистрелка.

Доказательство: пусть f: ab

g: bc,

l, m: cd

g - эпистрелка, если из равенства l g=m g ()следует, что l=m.

Очевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что codf = dom(l g) = dom(m g), применим к равенству () стрелку f. Получаем (l  g)°f=(m  g)°f. Далее, по ассоциативному закону:

l(gf)=m(gf).

gf - эпистрелка l=m, что и требовалось доказать.

1.3. Изострелки

Определение: произвольная стрелка f: ab называется изострелкой или обратимой в категории Щ стрелкой, если существует Щ- стрелка g:ba, такая, что gf=1a и fg=1b. На самом деле такая стрелка только одна. Действительно, если предположить, что существует ещё одна такая стрелка g', то g'=1ag'=(gf)g'=g(fg')=g1b=g. Стрелка g, когда она существует, называется обратной к f стрелкой и обозначается f -1:ba. Она определяется условиями: f -1f=1a, f f -1=1b .

· Любая изострелка является эпистрелкой.

Доказательство: пусть f: ab - изострелка, и стрелки g,h: bc.

Тогда g f=h f и существует f -1 . Тогда g = g 1b = g (f f-1) =(ассоциативность)= (g f) f-1 = (hf)f-1=h (f f -1)=h 1b=h. Таким образом, f - сократима справа. Ч.т.д.

· Любая изострелка является монострелкой. (доказательство аналогично предыдущему).

· Любая изострелка является бистрелкой (эпи и монострелкой ).

Доказательство: следует из предыдущих двух утверждений.

· Каждая единичная стрелка является изострелкой.

Доказательство: Пусть f: aa - единичная стрелка. Существует стрелка f -1 : aa и f -1 f=1a, f f -1=1a . f - изострелка. Ч.т.д.

· Если f - изострелка, то f -1 - изострелка.

Доказательство: пусть f: ab - изострелка. Тогда f -1: ba. f - изострелка f f -1=1b, f -1 f=1a. f -1 - изострелка. Ч.т.д.

· Если f, g - изострелки, то f g - изострелка, при этом (f g)- 1 = g-1f- 1

Доказательство: пусть f: bc, g: ab. f g: ac. f,g- изострелки f -1: cb и g -1: ba g -1f -1 :ca. Эта композиция является «подозрительной» на обратную к стрелке f g. Проверим это:

1) (g -1f -1)(f g)=(ассоциативность)=g -1(f -1f g)=g-1(1bg)=g-1 g=1a.

2) (f g )g -1 f -1=f (g g -1f -1)=f (1bf -1)=f f -1=1c.

fg- изострелка и (f g)-1=g -1f -1 .Ч.т.д.

1.4. Изоморфные объекты

Определение: Объекты a и b называются изоморфными в Щ (символически ab), если существует Щ - стрелка f:ab, являющаяся изострелкой в Щ, т.е. f: ab.

· Произвольные Щ - объекты обладают следующими свойствами:

1) aa

2) если ab, то ba

3) если ab и bс, то ac

Доказательство:

1) в любой категории существует стрелка 1a: aa (по определению категории). Единичная стрелка является изострелкой (доказано выше). Получаем, что aa (по определению изоморфных объектов).

2) ab f :ab и f - изострелка f -1: ba (по определению изострелки). Ранее доказано, что если f - изострелка, то и f -1 - изострелка. Т.е. f -1: ba - изострелка ba (по определению изоморфных объектов).

3) ab f :ab - изострелка.

bс g :bc - изострелка.

Dom g=cod f g f: ac и g f - изострелка (т.к.f и g - изострелки (доказано выше)). Чтобы доказать, что ac, необходимо найти изострелку t: ac. Возьмем в качестве такой изострелки t изострелку g f. Ч.т.д.

1.5. Начальные объекты

Определение: объект 0 называется начальным в категории Щ, если для каждого объекта а из Щ существует одна и только одна Щ - стрелка из 0 в а.
· Любые два начальных объекта изоморфны в Щ.
Доказательство:
Предположим, что 0 и 0'- начальные объекты. Требуется доказать, что 00'. Для этого необходимо найти изострелку 00'.
Существуют единственные стрелки f: 0'0 (т.к.0' - начальный объект) и g: 00' (т.к. 0 - начальный объект). Dom f=cod g f g: 00. 0 - начальный объект ! стрелка 00. и по определению категории для каждого Щ - объекта единичная стрелка. Значит стрелка 10: 00 и стрелка f g:00 совпадают. Аналогично, стрелка g f:0'0' совпадает со стрелкой 10'. Тогда g имеет обратную стрелку (а именно f), т.е. g: 00'. Ч.т.д.

1.6. Конечные объекты

Обращая направление стрелок в определении начального объекта, получаем следующее определение.
Определение: объект 1 называется конечным в категории Щ, если для каждого Щ - объекта а существует одна и только одна стрелка из а в 1.
· Все конечные объекты изоморфны.
Доказательство:
Предположим, что 1 и 1' - конечные объекты. Требуется доказать, что 11'. Для этого надо найти изострелку 11'.
Объект 1 - конечный ! f: 1'1 (по определению конечного объекта).
Объект 1' - конечный ! g:11' ( по той же причине). Dom f=cod g f g :11.
1 - конечный объект. f g: 11 - единственная.
С другой стороны для любого объекта категории существует единичная стрелка 11:11. Значит f g=11. Аналогично, g f=11'. Таким образом, для стрелки g нашлась обратная (а именно f), т.е.g: 11'. Ч.т.д.
· Стрелка f:1a - мономорфна.
Доказательство:
F: 1a - мономорфна, если для любых стрелок g,h:b1 из того, что f g=f h следует, что g=h. Но по определению конечного объекта, существует только одна стрелка b1. Поэтому равенство стрелок g и h следует автоматически.

1.7. Двойственность

Можно заметить, что понятие эпистрелки получается из определения монострелки «обращением стрелок». То же справедливо для понятий конечного и начального объектов. Эти два примера иллюстрируют понятие двойственности в теории категорий.
Если - предложение категорного языка, то двойственным ор назовем предложение, получаемое из заменой «dom» на «cod», «cod» на«dom» и «h=g f» на «h=f g». Таким образом, все стрелки и композиции, входящие в ,повернуты в ор в другую сторону. Понятие, описываемое предложением ор называется двойственным к понятию, описываемому . Для данной категории Щ построим двойственную категорию Щор следующим образом.
Категории Щ и Щор имеют одни и те же объекты. Для каждой f:ab вводим Щ- стрелку fop:ba (свою для каждой f). Так получаемые стрелки исчерпывают все стрелки категории Щор. Композиция fopgop определена тогда и только тогда, когда определена в Щ композиция gf и fopgop=(gf)op. Dom fop=cod f и codfop=dom f.
Конструкцию, двойственную к выражаемой предложением , можно интерпретировать как первоначальное построение, примененное к двойственной категории. Если истинно в Щ, то ор истинно в Щор. Т.о. из произвольного истинного в теории категорий предложения получается другое истинное предложение ор. В этом состоит принцип двойственности. Принцип двойственности сокращает количество доказательств вдвое. Так, доказав, что два произвольных начальных объекта изоморфны, можно сразу утверждать, что два произвольных конечных объекта изоморфны.

1.8. Произведения

Как охарактеризовать произведение двух множеств
с помощью стрелок. Неужели это можно сделать без какого-то использования упорядоченных пар?
Оказывается это возможно. Способ, позволяющий избежать использования упорядоченных пар, даст возможность выяснить, что такое конструкция в теории категорий.
Поставим в соответствие произведению два специальных отображения (проекции)
и , задаваемые равенствами , .
Допустим теперь, что задано ещё одно множество С с парой отображений f: CA, g: CB. Определим отображение p: C правилом p(x)=,
Тогда pА(p(x))=f(x) и pB(p(x))=g(x) для каждого хС. Таким образом, pAp=f и pBp=g, т.е. приведенная выше диаграмма коммутативна. Более того, p является единственной стрелкой, для которой эта диаграмма коммутативна. Действительно, если p(x)=y,z, то в силу условия pAp=f будет pA(p(x))=f(x), т.е. y=f(x). Аналогично, если pBp=g, то z=g(x).
Отображение p, построенное по f и g, обозначаются обычно через f,g и называется произведением отображений f и g.
Эти рассмо и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.