На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Факторизуемые группы с Х-перестановочными силовскими подгруппами. Классическая теорема Холла о разрешимых группах. Нахождение признаков сверхразрешимости группы на основе условий Х-перестановочности ее подгрупп. Доказательство тождества Дедекинда.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 02.03.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
О сверхразрешимости некоторых классов
факторизуемых групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Леванюк А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание

Перечень условных обозначений
Введение
1 Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами
2 Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
--- пустое множество;
--- множество всех для которых выполняется условие ;
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число --- любое число вида ;
Пусть --- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
--- порядок элемента группы ;
--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
--- множество всех простых делителей порядка группы ;
--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
--группа --- группа , для которой ;
--группа --- группа , для которой ;
--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
--- -ый коммутант группы ;
--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
--- --холловская подгруппа группы ;
--- силовская --подгруппа группы ;
--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;
--- группа всех автоморфизмов группы ;
--- является подгруппой группы ;
--- является собственной подгруппой группы ;
--- является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
--- является нормальной подгруппой группы ;
--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- центр группы ;
--- циклическая группа порядка ;
--- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если и --- подгруппы группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
--- и изоморфны.
Группа называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
, где .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Минимальная нормальная подгруппа группы --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы --- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
--- цоколь группы .
Экспонента группы --- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп;
--- класс всех абелевых групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп;
--- класс всех --групп;
--- класс всех сверхразрешимых групп;
--- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .
Формации --- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:
--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых .
Введение

Понятие -перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке -перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы -перестановочны. Согласно теореме 3.8 из группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах . Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий -перестановочности некоторых ее подгрупп.
1. Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами

В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и --- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- сверхразрешимая группа. Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого числа . Пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда , и сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .
Достаточность. Предположим, что --- произведение сверхразрешимых подгрупп и , --- подгруппа Фиттинга группы и каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы , но не является сверхразрешимой группой. Допустим, что --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Если --- максимальная подгруппа группы такая, что и либо , либо , то сверхразрешима.
Предположим, что . Тогда по тождеству Дедекинда имеем
.
Так как
то каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(2) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.
Ясно, что . Пусть и . Так как по условию для некоторого ,
то мы имеем
где . Это показывает, что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы . Но поскольку --- произведение сверхразрешимых подгрупп и , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(3) Группа имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Допустим, что . Тогда ввиду (2), --- сверхразрешимая группа и поэтому разрешима. Следовательно, имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Предположим теперь, что . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда по условию . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что и пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1), сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Пусть теперь . Так как , то каждая подгруппа группы перестановочна с каждой погруппой группы . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что и пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1), сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Следовательно, . Поскольку и абелевы группы, то группа имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.
(4) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и --- такая максимальная в подгруппа, что
и .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа в такая, что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как ввиду (3), абелева, то и . Это показывает, что . Следовательно, --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (2) и выбора группы , мы имеем
(5) --- наибольший простой делитель порядка группы .
Предположим, что не является наибольшим простым делителем порядка группы , и пусть --- наибольший простой делитель . Пусть и --- такие максимальные подгруппы группы , что , . Тогда . По лемме, и не сопряжены в . Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы , которые не содержат , сопряжены в , то либо содержит , либо содержит . Пусть, например, и пусть --- силовская -подгруппа группы . Предположим, что . Согласно (2), сверхразрешима и поскольку максимальная подгруппа группы , то по лемме --- простое число. Значит, содержит неединичную силовскую -подгруппу . Согласно лемме , , и поэтому . Это противоречие показывает, что . Ясно, что . Тогда . Предположим, что и пусть --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Ввиду (1), сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Так как группа сверхразрешима, то , и поэтому , что невозможно в силу (4). Значит, . Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем
и поэтому . Пусть , где . Предположим, что . Тогда , и очевидно . Это влечет . Следовательно, . Ясно, что , и поэтому . Пусть --- максимальная подгруппа группы . Тогда для некоторого , мы имеем . Так как не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что . Но поскольку , то приходим к противоречию. Следовательно, . Пусть --- силовская -подгруппа группы и для некоторого , . Предположим, что . Пусть --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Согласно (1), сверхразрешима. Это влечет , противоречие. Следовательно, . Предположим теперь, что . В этом случае , и поэтому каждая силовская -подгруппа группы является силовской -подгруппой группы . Следовательно, . Это противоречие показывает, что , и поэтому --- максимальная подгруппа группы . Согласно лемме , мы имеем , для некоторого . Это противоречие показывает, что --- наибольший простой делитель порядка группы .
(6) --- силовская -подгруппа группы .
Предположим, что это не верно. Тогда . Отсюда следует, что , и поэтому ввиду (5) и леммы , , что невозможно в силу (4). Значит, --- силовская -подгруппа группы .
(7) Заключительное противоречие.
Без ограничения общности мы можем предположить, что . Так как сверхразрешима, то ввиду (5), имеет нормальную подгруппу порядка . Согласно (6), Пусть --- холлова -подгруппа группы и для некоторого , . Поскольку
то . Согласно (6), силовская -подгруппа группы содержится в Тогда и поэтому что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и --- нильпотентные подгруппы группы и имеет такой главный ряд
что каждая -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех .
Доказательство. Необходимость. Предположим, что --- сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме , . Пусть и --- такая подгруппа группы , что и для каждой собственной подгруппы группы . Тогда . Так как подгруппы и нильпотентны, то --- нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы , проходящий через
Поскольку --- простое число для каждого , то этот ряд является главным рядом группы и каждая подгруппа перестановочна со всеми подгруппами группы для каждого .
Достаточность. Предположим теперь, что , где --- нильпотентные подгруппы группы и группа имеет такой главный ряд
что каждый член этого ряда -перестановочен с каждой подгруппой группы . Покажем, что сверхразрешима. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что и для каждой собственной подгруппы группы . Для начала заметим, что поскольку группа является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля , группа разрешима. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.
Ясно, что где и нильпотентны. Рассмотрим в ряд
Без ограничения общности, мы можем предположить, что все члены этого ряда различны.
Пусть . Так как по условию для некоторого ,
то мы имеем
где и . Это показывает, что каждый член ряда (2) -перестановочен со всеми подгруппами группы .
Поскольку то Так как --- простое число, то также является простым числом. Следовательно, ряд (2) является главным рядом группы . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и --- такая максимальная в подгруппа, что и .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа в такая, что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как разрешима, то --- элементарная абелева -группа для некоторого простого и поэтому и . Это показывает, что . Следовательно, --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .
(3) и имеют не простые порядки.
Действительно, если для некоторого простого , , то в группе каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы и поэтому по теореме, сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Следовательно, не является простым числом. Предположим теперь, что . Допустим, что . Тогда . Так как нильпотентна, то ввиду(2), --- -группа. Покажем теперь, что . Предположим, что . Так как сверхразрешима, то . Но поскольку , то согласно лемме, , и поэтому . Предположим теперь, что . В этом случае, для некоторого ,
Так как,
Значит, . Покажем, что условия теоремы справедливы для подгруппы . Ясно, что , где и --- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд
где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем . Поскольку и , то . Это означает, что каждая подгруппа -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Значит, . Отсюда следует, что , противоречие. Таким образом, . Следовательно, --- силовская -подгруппа группы и поэтому --- максимальная подгруппа группы . Поскольку для некоторого , и максимальная подгруппа группы , , то . Получили противоречие с нашим предположением о группе . Значит, . По условию, , для некоторого и поэтому . Согласно лемме , . Так как порядок группы является не простым числом, то . Отсюда следует, что , что невозможно в силу (2). Этим доказано (3).
(4) --- силовская -подгруппа группы .
Допустим, что наше предположение не верно. Пусть --- наибольший простой делитель порядка группы . Так как и согласно (2), . Пусть --- максимальная подгруппа группы . По условию для некоторых, , и . Согласно (3), и неединичные группы. Так как группы и нильпотентны, то и . Ввиду леммы , и . Отсюда следует, что . Ясно,что либо , либо . Допустим, что . Покажем, что --- сверхразрешимая группа. Подгруппы и нильпотентны и подгруппа имеет главный ряд
где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем
Поскольку и , то . Это означает, что каждая подгруппа -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду леммы , , и поэтому , противоречие. Пусть теперь, . Покажем, что группа сверхразрешима. Ясно, что и --- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд
где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем
Поскольку и , то . Это означает, что каждая -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду леммы , , и поэтому , противоречие. Следовательно, (4) справедливо.
(5) и .
Предположим, что . Поскольку нильпотента, то -группа, и поэтому согласно (4), --- силовская -подгруппа группы . Ясно, что и . Тогда . Пусть --- такой элемент из , что . Тогда . Так как , то и поэтому , противоречие. Значит, .
Пусть теперь, . Так как --- нильпотентная группа, то ввиду (4), --- силовская -подгруппа группы . Поскольку и , то . Пусть --- максимальная подгруппа группы и , где . Согласно (3), и . Поскольку , то
и поэтому . Следовательно, , противоречие. Значит, .
(6) Заключительное противоречие.
Пусть --- холлова -подгруппа группы . Допустим, что . Тогда . Поскольку по условию, , для некоторого , и , то согласно лемме , . Так как и , то . Значит, и , противоречие с (2). Следовательно, . По условию,
,
где . Поскольку , то
Тогда , и поэтому , что противоречит (5). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.