На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти готовые бесплатные и платные работы или заказать написание уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов по самым низким ценам. Добавив заявку на написание требуемой для вас работы, вы узнаете реальную стоимость ее выполнения.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Быстрая помощь студентам

 

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Устойчивость движения

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 02.06.2012. Сдан: 2010. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Введение
        Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении равновесных положений системы. Простое наблюдение показывает, что некоторые положения равновесия системы устойчивы к небольшим возмущениям, а другие принципиально возможные равновесные положения практически не могут быть реализованы. Так, например, если маятник занимает нижнее положение, то небольшие возмущения могут вызвать только колебания его. Если же после некоторых усилий удастся установить маятник в верхнем положении, то малейший толчок вызовет его падение. В 1644 г. Критерий устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести, в общем виде сформулировал Е.Торричелли, а в 1788 г. Ж.Лагранж доказал теорему, определяющую достаточные условия устойчивости равновесия произвольной консервативной системы.
       Устойчивостью  любого явления в обиходе называют его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим собой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминологии устойчивым называют не явление, а систему, в которой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар устойчив, шар из дыма нет.)  В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же движение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойчивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается.
         В середине ХIХ столетия в науке и технике возникли проблемы, потребовавшие постановки общей задачи об устойчивости не только  равновесия , но и движения. Укажем на одну из них.
        Центробежные регуляторы, установленные  на паровых машинах небольшой  мощности, устойчиво сохраняли заданные  обороты двигателя. С увеличением  мощности машин регуляторы, построенные  по тем же схемам, не только  не обеспечивали надежное регулирование,  но даже разгоняли двигатели,  создавая неустойчивый режим  работы. Это непонятное для инженеров  и техников тех лет явление  вызвало серьезный кризис в  двигателестроении и потребовало  усилий ученых многих стран  для решения возникшей проблемы. Исследования Максвелла (1868 г.), Вышнеградского (1876-1877 гг.) и других показали, что решение, как этой задачи, так и общее развитие теории регулирования требует, прежде всего, установления критериев устойчивости движения.
        В конце ХIХ столетия появились работы, в которых вопросы устойчивости движения трактовались с общих позиций. Так, в 1877-1884 гг. были опубликованы монографии Э.Дж.Рауса, а в 1882 г. – докторская диссертация Н.Е.Жуковского, в которых авторы, пользуясь различными методами, рассмотрели ряд общих вопросов устойчивости движения. Некоторые результаты и методы, развитые ими, не утратили своего значения и в наши дни.
       Основной недостаток работ того  времени состоял в том, что  при анализе уравнений возмущенного  движения авторы исходили из  линеаризованных уравнений возмущенного  движения и не рассматривали  влияния членов высшего порядка. Так, например, если уравнения возмущенного движения имеют вид
 

то, согласно рекомендациям авторов тех лет, их можно упростить, отбросив нелинейные члены, т.е заменить уравнения (*) уравнениями
 

  и судить устойчиво или неустойчиво движение не по уравнениям(*), а по уравнениям (**), ничего общего не имеет с результатом анализа точных уравнений (*).
          В 1892 г. Была опубликована докторская диссертация А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». Эта работа содержит так много плодотворных идей и результатов первостепенного значения, что всю историю теории устойчивости движения не без основания делят на доляпуновский  и послеляпуновский периоды. Полностью оценить его работу может только специалист, хорошо знающий предмет.
          А. М. Ляпунов дал строгое математическое определение устойчивости. Отсутствие такого определения приводило часто к недоразумениям, так как движение устойчивое в одном смысле может оказаться неустойчивым в другом понимании этих слов, и наоборот. Определение Ляпунова оказалось настолько удачным, что оно принято как основное всеми учеными.
           А.М.Ляпунову принадлежит постановка задачи об устойчивости движения по уравнениям первого приближения, когда об устойчивости можно судить по линеаризованным уравнениям без необходимости привлечения к анализу точных уравнений. Он предложил два основных метода исследования устойчивости движения, из них второй метод, или, как сейчас принято называть его, прямой метод, получил наибольшее распространение благодаря своей простоте и эффективности. Он поставил вопрос об обратимости теоремы Лагранжа и доказал его для двух частных случаев.
         После А.М.Ляпунова теория устойчивости движения развивалась по различным направлениям. Углублялись методы и уточнялись результаты самого Ляпунова, расширялся круг понятий, введенных Ляпуновым в теорию устойчивости движения, в частности, усилия многих ученых были направлены на определение условий устойчивости при больших начальных и постоянно действующих возмущениях, а также на конечном промежутке времени при случайных силах. Возникло также направление, которое условно можно назвать прикладным. Речь идет о создании общих методов исследования устойчивости движения отдельных, достаточно обширных классов систем ( системы автоматического регулирования, управляемые системы и т.п. ).
       Теория устойчивости движения широко применяется в физике, астрономии, химии и даже биологии. Особо важное значение теория устойчивости движения имеет для техники. Турбины, генераторы должны устойчиво сохранять заданный режим работы. Гироскопический компас должен устойчиво показывать направление географического меридиана т т.п.
        Прежде чем перейти к методам исследования устойчивости или неустойчивости движения введем определение устойчивости.
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Определение устойчивости и асимптотической устойчивости.
           Поведение широкого класса физических систем часто описывается дифференциальными уравнениями n–го порядка, которое всегда может быть преобразовано в эквивалентную систему n дифференциальных уравнений 1-го порядка в виде:

       Здесь y?(t) являются какими – либо зависимыми переменными, связанными с «движением» (в свете механики), т. е. с временным (динамическим) протеканием процесса; например, в электрических системах это могут быть напряжения, токи, заряды и т. п. Точка сверху означает производную от этих величин по времени.

     Частному  решению f?(t) одного из системы уравнений (1) соответствует движение системы, которое назовем невозмущенным движением в противоположность другому движению, которое обозначим как возмущенное движение y?(t) . Очевидно, что f?(t) должно удовлетворять следующей системе уравнений: 

            Различие значений возмущенного y?(t) и невозмущенного f?(t) движений в каждый момент времени t назовем возмущением x?(t): 

Затем при следующих выражениях:
     Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение называется устойчивым, если для всякого небольшого положительного числа ?>0 может быть найдено другое такое число ?(?), чтобы для всех возмущенных движений y?(t) для начального момента времени t = t0 выполнялось неравенство (4), а во все последующие моменты времени t > t0 было справедливо неравенство (5). В противном случае невозмущенное движение неустойчиво. Иными словами невозмущенное движение устойчиво, если, будучи возмущено в начальный момент времени оно в дальнейшем целиком проходит в непосредственной окрестности своего первоначального состояния и не покидает эту соседнюю область.
     Из  данного определения устойчивости движения получается устойчивость положения  равновесия как частный случай, когда  все f?(t)=С?, т.е. являются постоянными величинами.
     Более жестким, чем только что данное определение, является определение асимптотической  устойчивости. А именно, невозмущенное  движение называется асимптотически устойчивым, если оно, во-первых, устойчиво в  смысле вышеуказанного определения (4), (5), и, во-вторых, если можно выбрать  число ? такое, чтобы для всех возмущенных движений, которые удовлетворяют неравенству (4) дополнительно выполнялось условие (6). Другими словами это означает, что при возмущенном в начальный момент времени t=t0 асимптотически устойчивом движении возмущения не только остаются внутри окрестности первоначального состояния ?(?), как при нормальной устойчивости, но и дополнительно с течением времени затухают до нуля.
     Итак, возмущенное движение устойчиво, если возмущенное в начальный момент времени движение проходит в его  непосредственной окрестности и  не покидает определенную соседнюю область. Оно асимптотически устойчиво, если возмущенное движение асимптотически стремится к невозмущенному.
     Приведенное определение устойчивости называется устойчивым «в малом». Наряду с ним  часто пользуются понятиями об устойчивости «в большом» и «в целом», которые  характеризуют поведение движения по отношению к большим начальным  возмущениям из определенной области  или даже для произвольных начальных  возмущений. Такие случаи часто имеют  существенное значение в некоторых  задачах. Однако во многих практически важных задачах вполне достаточным оказывается исследование устойчивости «в малом». Именно этот вариант и будет рассматриваться в дальнейшем изложении. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Дифференциальные уравнения возмущенного движения; уравнения первого приближения.
   Продифференцировав (3) по времени, получим: 

где, в  соответствии с (1), (2), обозначено 

     Уравнения (7) записаны относительно возмущений x?(t) и называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Каждому движению рассматриваемой системы соответствует частное решение уравнений (8). Например, полностью невозмущенному движению соответствует тривиальное решение: 
 

при котором, как легко видеть (8), функции  X? также становятся тождественно равными нулю.
            Для многих задач исследования  устойчивости желательно правые  чести уравнений возмущенного  движения (7) разложить в ряд по  степеням возмущений X? в окрестности нулевой точки (9). Так как здесь выполняются условия (10), то свободные члены в разложение не попадают (ряд Маклорена) и можно записать: 
 

где а?1, а?2,..., а?n – постоянные коэффициенты при разложении функции X? в ряд Маклорена, X? – сокращенная запись для суммарного обозначения всех слагаемых разложения, которые относительно возмущений x? имеют степень выше единицы, а также -  перекрестных членов ряда. Во многих случаях, если начальные значения возмущений x? малы, то при исследовании устойчивости можно пренебречь членами высших порядков малости и рассматривать линеаризованную систему уравнений возмущенного движения: 

Эту систему  называют системой уравнений 1-го приближения.
      Вопрос  о возможности суждения об устойчивости или неустойчивости первоначальной нелинейной системы на основании  рассмотрения уравнений 1-го приближения, т. е. Линеаризованной системы уравнений  возмущенного движения, впервые был  рассмотрен А. М. Ляпуновым для всех случаев исследования уравнений (7). При этом найденные и доказанные им положения об устойчивости линеаризованной  системы получаются из общей теории А. М. Ляпунова об устойчивости и неустойчивости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  3.Исследование устойчивости движения в окрестности особых точек
     Ляпунов сформулировал теоремы об устойчивости линеаризованных систем. Движение в  окрестности особой точки  асимптотически устойчиво (рис. 1а) или устойчиво в смысле Ляпунова (рис. 1б).

а)      б)
                     Рис. 1
     Пусть имеется особая точка в начале координат. Устойчивость определяется в окрестности этой точки.
     Если  может быть найдена такая окрестность -e, чтобы движение, начавшись в пределах окрестности, заканчивалось в точке, характеризующей состояние равновесия, то такое движение называется асимптотически устойчивым.
     Если  внутри окрестности точки может  быть найдена такая область, чтобы  движение, начавшись вблизи окрестности, заканчивалось в пределах области  точки, то такое движение называется устойчивым по Ляпунову.
     Рассмотрим  нелинейную систему второго порядка, которая описывается системой уравнений:
     
     Условие особых точек: 

     Каждое  из этих уравнений может быть представлено в виде линии на плоскости x0y. Если система линейная (рис. 2а), то оба уравнения линейны и линии пересекаются в одной (особой) точке, которая расположена, как правило, в начале координат. Для нелинейных систем (рис. 2б) каждое уравнение это уравнение кривой. Они могут пересекаться в нескольких точках, т.е. особых точек может быть сколь угодно.

                                       Рис. 2
     Для определения устойчивости в окрестности  какой-либо точки можно воспользоваться  методом линеаризации.
     
      
Переходим к уравнениям в изображениях 

              

где   - постоянные коэффициенты, при этом  , а
     Система линеаризованных уравнений
     
     Исключив  одну переменную, можно получить уравнение  второго порядка 

            Для определения устойчивости  анализируем корни характеристического  уравнения 

     Если  корни характеристического уравнения  расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная система устойчива, а соответствующая ей исходная нелинейная система асимптотически устойчива  в окрестности, рассматриваемой  особой точки.
     Если  корни расположены в правой плоскости, то линеаризованная система неустойчива, а движение в окрестности особой точки является неустойчивым.
     Если  корни расположены на мнимой оси, то линеаризованная система не устойчива, а для определения устойчивости нелинейной системы необходимо провести дополнительные исследования нелинейной системы, т.е. уравнения в первом приближении не дают точного представления  об устойчивости нелинейной системы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Второй (прямой) метод Ляпунова
     Одним из наиболее эффективных методов  исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова (очень часто этот метод называется вторым методом Ляпунова).
     Если  хотя бы один из корней характеристического  уравнения расположен на мнимой оси, то  при этом используется второй (прямой) метод Ляпунова, позволяющий  определить устойчивость в большом.
     Метод основан на использовании специальных  функций, называемых функциями Ляпунова. Чтобы выяснить смысл функций  Ляпунова рассмотрим фазовый портрет  в окрестности некоторой особой точки (рис. 3). Рассмотрим радиус – вектор -r, который изменяется по модулю в функции времени.

                 Рис. 3
           Если при ,то движение асимптотически устойчиво.
            Если при увеличивается , то движение не устойчиво.
            Если при ,то движение устойчиво в смысле Ляпунова.
     Ляпунов доказал, что надо найти такую произвольную функцию H(x, y), которая бы играла роль радиус-вектора r, и была бы положительной для всех точек за исключением, быть может, начала координат, где она может быть равной нулю. Такая функция называется функцией Ляпунова.
     Знакоопределенной функцией называется функция, которая при всех значениях аргументов за исключением, может быть, начала координат, где она равна нулю, имеет определенный знак (рис. 4а).
     Знакопостоянной функцией называется функция, которая при всех значениях аргументов (за исключением нескольких точек, где она равна нулю) сохраняет постоянный знак (рис. 4б). 


а)     б)
                                            Рис. 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Теоремы Ляпунова об устойчивости нелинейных систем
     Th1. Если можно найти такую знакоопределенную функцию H(x, y), что тоже знакоопределенная функция противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки асимптотически устойчиво.
     Th2. Если можно найти такую знакоопределенную функцию H(x, y), что будет знакопостоянной функцией противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки будет устойчивым в смысле Ляпунова.
     Th3. Если существует такая функция H(x, y) > 0, что > 0, то такое движение неустойчиво.
     Эти теоремы характеризуют достаточные  условия устойчивости движения в  нелинейных системах. Функции Ляпунова выбираются в виде квадратичных функций  или квадратичная функция плюс интеграл исходя из того, что 

     Например:  
     Это самое слабое место метода, так  как нет способа выбора функций  Ляпунова, ее выбор представляет трудности, надо полагаться на интуицию и некоторые  рекомендации.
     Методы  построения функции  Ляпунова
     Применение  основных теорем прямого метода требует  знания функций Ляпунова, удовлетворяющих  определенным требованиям. К сожалению, общих методов построения таких функций нет, но во многих случаях их можно сконструировать. Не останавливаясь на подробном разборе различных способов построения функций Ляпунова, укажем на несколько методов, чаще всего применяемых при решении практических задач.
     1. Метод преобразования координат. Если для данных уравнений возмущенного движения трудно найти функцию Ляпунова, то часто переходом к новым координатам (конечно, прежде всего следует испробовать линейное преобразование с постоянными коэффициентами) уравнения удается привести к такой форме, для которой соответствующая функция находится сравнительно просто.
     2. Метод неопределенных коэффициентов. Будем искать функцию Ляпунова в виде квадратичной формы с постоянными коэффициентами 

     3. Построение функции Ляпунова с помощью связки интегралов. Предположим, что уравнения возмущенного движения  допускают интеграл
           (*)
для которого разность является определенно-положительной функцией переменных .Тогда в качестве функции Ляпунова можно взять функцию 

Действительно, производная функции V по времени в силу уравнений возмущенного движения согласно интегралу (*) тождественно равна нулю и, следовательно, эта функция будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения.

     Рассмотрим  примеры анализа устойчивости движения в окрестности особых точек с  использованием методов Ляпунова.

 
Пример 1. Устойчивость движения конического маятника. Рассмотрим стационарное движение материальной точки М массой m, подвешенной на невесомой нити длиной l и движущейся с постоянной скоростью под действием силы тяжести по горизонтально расположенной окружности (конический маятник (рис.5,а)).
 Нить  маятника, закрепленная в точке  O, описывает в стационарном движении круговой конус; обозначим угол между нитью и вертикалью через , а угловую скорость вращения нити вокруг вертикали   через . Между углом , угловой скоростью и длиной маятника l в стационарном движении существует хорошо
известное    соотношение:                                                   Рис.5               
             (9)       
которое может быть получено, например, с  помощью принципа                                                Даламбера.
        Примем стационарное движение маятника по окружности за невозмущенное движение. Предположим, что на это движение наложены небольшие возмущения. Обозначим угол между нитью и вертикалью в возмущенном движении через (рис. 5, б),  а угловую скорость                                                                 вращения плоскости М вокруг вертикали через .                                
         Введем обозначения
,                                                                     (10)   
         Будем изучать устойчивость невозмущенного движения относительно величин и . Кинетическая T и потенциальная П энергии маятника определяются равенствами
                      
         Так как действующая на маятник сила тяжести потенциальна, а координата циклическая (кинетическая анергия Т зависит от обобщенной скорости , но не зависит от координаты , и обобщенная сила, соответствующая этой координате, равна нулю: ,
то существуют два интеграла движения (h и п — постоянные): 
 

(множители и введены для удобства).
          Второе равенство представляет интеграл момента количества движения маятника относительно вертикали и его можно получить из элементарных соображений.
Пользуясь равенствами (10), запишем эти интегралы в следующей форме:
 

         Интегралы (11) получены из общих теорем динамики. Конечно, можно было сначала составить дифференциальные уравнения возмущенного движения, а затем, комбинируя их, найти интегралы (11). Выбранный здесь путь является, как правило, более простым.
          Перейдем к исследованию устойчивости стационарного движения маятника относительно величин и . Ни один из найденных интегралов не является знакоопределенной функцией относительно величин . Поэтому составим линейную связку интегралов (11), положив и : 

         Члены и внесены для того, чтобы функция H обращалась в нуль при . Заменим отношение g/l его значением из равенства (9) и разложим функцию V в ряд по степеням . Имеем 
 

где точками  обозначены члены высшего порядка.
          Внесем эти значения для  и в последнее выражение для функции V и сгруппируем члены: 

          Для того чтобы функция H была определенно-положительной, необходимо прежде всего избавиться от членов, содержащих вариации в первой степени. В данном случае для этого достаточно положить 

При таком  значении функция H примет вид 

          Так как квадратичная часть  функции H определенно- положительна относительно то при достаточно малых значениях вся функция H будет также определенно-положительна. Производная по времени функции H на основании интегралов (11) тождественно равна нулю, и, следовательно, стационарное движение конического маятника устойчиво относительно .
Пример 2. Асимптотическая устойчивость равновесия     твердого         тела,   находящегося в сопротивляющейся среде. Рассмотрим свободное твердое тело, движущееся в сопротивляющейся среде поступательно относительно инерциальной системы отсчета (в частности, оно может находиться в покое). Это движение тела примем за невозмущенное. Дадим телу небольшие возмущения, в результате чего возникает вращательное движение относительно поступательно перемещающихся координатных осей , начало которых совпадает с центром масс С тела.
           Будем считать, что среда, в которой движется тело, создает момент сил сопротивления М, пропорциональный некоторой степени угловой скорости тела:
,            (12)
где — угловая скорость тела в возмущенном движении, а и -положительные коэффициенты (они могут быть постоянными, но могут зависеть и от , изменяясь в некоторых пределах: , .
           Кроме того, будем предполагать, что другие силы, действующие  на тело (если они существуют), не создают момента относительно  центра масс. В этих предположениях  динамические уравнения Эйлера  примут вид 

                             (13) 

где — моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции тела x, y, z, а — проекции угло
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.