Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Логарифмические уравнения

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 02.06.2012. Сдан: 2010. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    Введение 

     Логарифмы были придуманы для ускорения  и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
     В те далекие времена, когда мудрецы  впервые стали задумываться о  равенствах содержащих неизвестные  величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также  горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
     Дошедшие  до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
     Однако  первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
 


     Логарифмические уравнения и неравенства 

     1. Логарифмические  уравнения 

     Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
     Простейшим  логарифмическим уравнением является уравнение вида  

     loga x = b.  (1) 

     Утверждение 1. Если a > 0, a ? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
     Пример 1. Решить уравнения:  

     a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)  

     Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.
     Приведем  основные свойства логарифма.
     Р1. Основное логарифмическое тождество:  

       

     где a > 0, a ? 1 и b > 0.
     Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:  

     loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
 


     Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид  

     loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ? 1, N1·N2 > 0).  

     Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя  

       (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).  

     Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид  

       (a > 0, a ? 1, N1N2 > 0).  

     P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:  

     loga N k = k loga N (a > 0, a ? 1, N > 0).  

     Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то  

     loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0).  

     P5. Формула перехода к другому основанию:  

       (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),
 


     в частности, если N = b, получим  

        (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1).  (2) 

     Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства  

        (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0),  (3)
        (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0),  (4)
        (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0),  (5) 

     и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место  

        (b > 0, a ? 0, |a| ? 1).  (6) 

     Перечислим  и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:
    Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
    Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
    При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2).
    loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ? 1).
    Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x I (0;1) и отрицательна при x (1;+?).
    Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
     Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.
     Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)  

f(x) = g(x),    f(x) = g(x),
f(x) > 0, g(x) > 0.
 
     Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем  

f(x) = g(x),    f(x) = g(x),
h(x) > 0, h(x) > 0,
h(x) ? 1, h(x) ? 1,
f(x) > 0, g(x) > 0.
 
     Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения  

     f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)  

     или  

     loga [f(xg(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
 


     вообще  говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
     Следовательно, при решении логарифмических  уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.  

     2. Использование определения логарифма 

     Пример 1. Решить уравнения  

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3, c) log(x - 2)9 = 2,
b) d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.
 
     Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ? 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно,  

     5 + 3log2(x - 3) = 23  

     или  

     3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.  

     Опять используя определение, получим  

     x - 3 = 21, x = 5.
 


     Проверка  полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:  

     log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.  

     Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.
     b) Аналогично примеру a), получим уравнение  

       

     откуда  следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
     c) Аналогично примеру a), получим уравнение  

     (x - 2)2 = 9.  

     Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение  x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.
     d) Используя определение логарифма,  получим уравнение  

     (2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2  

     или, после элементарных преобразований,  

     x2 + 6x-7 = 0,
     откуда  x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
 


    3. Использование свойств логарифма  

     Пример 3. Решить уравнения  

a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
c) log2x + log3x = 1
 
 
 
     Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x I (0;+?) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)  

x > 0,
x+3 > 0,
x+24 > 0.
 
     Используя свойство P2 и утверждение 1, получим  

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24) U
 
     
log3x(x + 3) = log3(x + 24),
x > 0,
 
 U
U x(x + 3) = x + 24,
x > 0,
 
     
U x2 + 2x - 24 = 0,
x > 0,
 
     
U x1 = -6,
x2 = 4,
  x > 0,
 
U x = 4.
 
 


     b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения  

       

     откуда, используя определение логарифма, получим  

       

     или  

     x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),  

     откуда  получаем уравнение  

     x2 - 2x - 3 = 0  

     с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
     c) ОДЗ уравнения: x I (0;+?). Используя свойство P5, получим уравнение  

     
     
     log2x(1 + log32) = 1,  

     откуда  или или log2x = log63. Следовательно,  

 


     Логарифмические неравенства 

     Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании  называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
     Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств  

f(x) > g(x),
g(x) > 0.
 
     Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств  

f(x) < g(x),
f(x) > 0.
 
     Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств  

h(x) > 1,
f(x) > g(x) > 0,
0 < h(x) < 1,
0 < f(x) < g(x).
 
 


     Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ? , < , ? . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
     Пример 1. Решить неравенства  

a) log3(x2 - x) ? log3(x + 8);  
b)  
c)  
 
     Решение. a) Используя утверждение 1 , получим  

log3(x2 - x) ? log3(x + 8) x2 - x ? x + 8,   x2 - 2x - 8 ? 0,  
x+8 > 0, x > -8,
 
  x ? -2,  
x ? 4,  x (-8;-2] [4;+?).
  x > -8,  
 
     b) Основание логарифма число между  нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим  

 
     c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим  

       

     Запишем и, используя утверждение 2, получим  

     
 


     Показательные уравнения и неравенства

    Показательные уравнения

     Показательным называется уравнение, в котором  неизвестное содержится только в  показателе степени при постоянных основаниях.

     Простейшим  показательным уравнением является уравнение вида

     

     Это уравнение равносильно алгебраическому  уравнению

     

     Пример 1. Решить уравнение

      .

     Представим  правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

      .

     Перейдем  теперь к равносильному алгебраическому  уравнению:

     

 


     Если  после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.

    Показательные неравенства
 
     Показательными  называются неравенства, в которых  неизвестное содержится в показателе степени.
     При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:
     A.1. Если a > 1, неравенство  

     a f(x) > a g(x)  

     равносильно неравенству  

     f(x) > g(x).
     Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) < g(x).  

     A.2. Если 0 < a < 1, неравенство  

     a f(x) > a g(x)  

     равносильно неравенству  

     f(x) < g(x).
     Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) > g(x).
 


     A.3. Неравенство  

[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x) (1)
 
     равносильно совокупности систем неравенств  

h(x) > 1,
f(x) > g(x),
0 < h(x) < 1,
f(x) < g(x).
 
     Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай  

h(x) = 1,
x I D(f); D(g),
 
     где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).
     A.4. Если b ? 0, неравенство  

     af(x) < b  

     не  имеет решений (следует из свойств  показательной функции).
     A.5. Если b ? 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f).
     A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство  

     af(x) > b
 


     равносильно неравенству  

     f(x) > logab.
     Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab.  

     A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство  

     a f(x) > b  

     равносильно неравенству  

     f(x) < logab.
     Аналогично, a f(x) < b ; f(x) > logab.  

     Упражнение 1. Решить неравенства:  

a)  
b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|,  
c)  
   
 
     Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство  

       

     которое решается методом интервалов,
 


     
       

     b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство  

     |2x-3| > |3x+4|,  

     которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b| U (a-b)(a+b) > 0):  

     |2x-3| > |3x+4| ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0  

     Решив последнее неравенство методом  интервалов, получим x
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.