На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Логарифмические уравнения

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 02.06.2012. Сдан: 2010. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    Введение 

     Логарифмы были придуманы для ускорения  и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
     В те далекие времена, когда мудрецы  впервые стали задумываться о  равенствах содержащих неизвестные  величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также  горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
     Дошедшие  до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
     Однако  первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
 


     Логарифмические уравнения и неравенства 

     1. Логарифмические  уравнения 

     Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
     Простейшим  логарифмическим уравнением является уравнение вида  

     loga x = b.  (1) 

     Утверждение 1. Если a > 0, a ? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
     Пример 1. Решить уравнения:  

     a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)  

     Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.
     Приведем  основные свойства логарифма.
     Р1. Основное логарифмическое тождество:  

       

     где a > 0, a ? 1 и b > 0.
     Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:  

     loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
 


     Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид  

     loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ? 1, N1·N2 > 0).  

     Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя  

       (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).  

     Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид  

       (a > 0, a ? 1, N1N2 > 0).  

     P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:  

     loga N k = k loga N (a > 0, a ? 1, N > 0).  

     Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то  

     loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0).  

     P5. Формула перехода к другому основанию:  

       (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),
 


     в частности, если N = b, получим  

        (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1).  (2) 

     Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства  

        (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0),  (3)
        (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0),  (4)
        (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0),  (5) 

     и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место  

        (b > 0, a ? 0, |a| ? 1).  (6) 

     Перечислим  и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:
    Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
    Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
    При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2).
    loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ? 1).
    Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x I (0;1) и отрицательна при x (1;+?).
    Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
     Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.
     Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)  

f(x) = g(x),    f(x) = g(x),
f(x) > 0, g(x) > 0.
 
     Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем  

f(x) = g(x),    f(x) = g(x),
h(x) > 0, h(x) > 0,
h(x) ? 1, h(x) ? 1,
f(x) > 0, g(x) > 0.
 
     Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения  

     f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)  

     или  

     loga [f(xg(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
 


     вообще  говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
     Следовательно, при решении логарифмических  уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.  

     2. Использование определения логарифма 

     Пример 1. Решить уравнения  

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3, c) log(x - 2)9 = 2,
b) d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.
 
     Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ? 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно,  

     5 + 3log2(x - 3) = 23  

     или  

     3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.  

     Опять используя определение, получим  

     x - 3 = 21, x = 5.
 


     Проверка  полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:  

     log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.  

     Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.
     b) Аналогично примеру a), получим уравнение  

       

     откуда  следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
     c) Аналогично примеру a), получим уравнение  

     (x - 2)2 = 9.  

     Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение  x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.
     d) Используя определение логарифма,  получим уравнение  

     (2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2  

     или, после элементарных преобразований,  

     x2 + 6x-7 = 0,
     откуда  x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
 


    3. Использование свойств логарифма  

     Пример 3. Решить уравнения  

a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
c) log2x + log3x = 1
 
 
 
     Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x I (0;+?) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)  

x > 0,
x+3 > 0,
x+24 > 0.
 
     Используя свойство P2 и утверждение 1, получим  

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24) U
 
     
log3x(x + 3) = log3(x + 24),
x > 0,
 
 U
U x(x + 3) = x + 24,
x > 0,
 
     
U x2 + 2x - 24 = 0,
x > 0,
 
     
U x1 = -6,
x2 = 4,
  x > 0,
 
U x = 4.
 
 


     b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения  

       

     откуда, используя определение логарифма, получим  

       

     или  

     x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),  

     откуда  получаем уравнение  

     x2 - 2x - 3 = 0  

     с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
     c) ОДЗ уравнения: x I (0;+?). Используя свойство P5, получим уравнение  

     
     
     log2x(1 + log32) = 1,  

     откуда  или или log2x = log63. Следовательно,  

 


     Логарифмические неравенства 

     Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании  называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
     Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств  

f(x) > g(x),
g(x) > 0.
 
     Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств  

f(x) < g(x),
f(x) > 0.
 
     Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств  

h(x) > 1,
f(x) > g(x) > 0,
0 < h(x) < 1,
0 < f(x) < g(x).
 
 


     Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ? , < , ? . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
     Пример 1. Решить неравенства  

a) log3(x2 - x) ? log3(x + 8);  
b)  
c)  
 
     Решение. a) Используя утверждение 1 , получим  

log3(x2 - x) ? log3(x + 8) x2 - x ? x + 8,   x2 - 2x - 8 ? 0,  
x+8 > 0, x > -8,
 
  x ? -2,  
x ? 4,  x (-8;-2] [4;+?).
  x > -8,  
 
     b) Основание логарифма число между  нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим  

 
     c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим  

       

     Запишем и, используя утверждение 2, получим  

     
 


     Показательные уравнения и неравенства

    Показательные уравнения

     Показательным называется уравнение, в котором  неизвестное содержится только в  показателе степени при постоянных основаниях.

     Простейшим  показательным уравнением является уравнение вида

     

     Это уравнение равносильно алгебраическому  уравнению

     

     Пример 1. Решить уравнение

      .

     Представим  правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

      .

     Перейдем  теперь к равносильному алгебраическому  уравнению:

     

 


     Если  после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.

    Показательные неравенства
 
     Показательными  называются неравенства, в которых  неизвестное содержится в показателе степени.
     При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:
     A.1. Если a > 1, неравенство  

     a f(x) > a g(x)  

     равносильно неравенству  

     f(x) > g(x).
     Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) < g(x).  

     A.2. Если 0 < a < 1, неравенство  

     a f(x) > a g(x)  

     равносильно неравенству  

     f(x) < g(x).
     Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) > g(x).
 


     A.3. Неравенство  

[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x) (1)
 
     равносильно совокупности систем неравенств  

h(x) > 1,
f(x) > g(x),
0 < h(x) < 1,
f(x) < g(x).
 
     Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай  

h(x) = 1,
x I D(f); D(g),
 
     где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).
     A.4. Если b ? 0, неравенство  

     af(x) < b  

     не  имеет решений (следует из свойств  показательной функции).
     A.5. Если b ? 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f).
     A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство  

     af(x) > b
 


     равносильно неравенству  

     f(x) > logab.
     Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab.  

     A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство  

     a f(x) > b  

     равносильно неравенству  

     f(x) < logab.
     Аналогично, a f(x) < b ; f(x) > logab.  

     Упражнение 1. Решить неравенства:  

a)  
b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|,  
c)  
   
 
     Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство  

       

     которое решается методом интервалов,
 


     
       

     b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство  

     |2x-3| > |3x+4|,  

     которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b| U (a-b)(a+b) > 0):  

     |2x-3| > |3x+4| ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0  

     Решив последнее неравенство методом  интервалов, получим x
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.