Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Определение линейного оператора. Норма линейного оператора. Обратные операторы. Абстрактные функции. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора. Метод малого параметра в простейшем случае. Метод малого параметра в общем случае.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 08.08.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


- 3 -
Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский Государственный Гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
«Операторные уравнения»
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Кощеева Анна Сергеевна
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
_______________________
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная Ирина Иссаковна
________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав.кафедрой______________________ Крутихина М.В.
« »____________
Декан факультета__________________ Варанкина В.И.
« »____________
Киров 2005
Содержание
Введение_______________________________________________________
3
Глава 1.Операторные уравнения.___________________________________
4
§1. Определение линейного оператора________________________
4
§2. Норма линейного оператора______________________________
5
§3. Обратные операторы____________________________________
5
§4. Абстрактные функции___________________________________
9
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________
11
§6. Метод малого параметра в простейшем случае______________
12
§7. Метод малого параметра в общем случае___________________
13
§8. Метод продолжения по параметру________________________
15
8.1. Формулировка основной теоремы___________________
15
8.2. Простейший случай продолжения по параметру_______
16
Глава 2. Приложение_____________________________________________
19
Литература_____________________________________________________
27

Введение

Функциональный анализ - мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.

Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.

Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений - метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.

Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:

1. раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

2. проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.

Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель - сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй - решения конкретных задач.

Глава 1. Операторные уравнения

§1.Определение линейного оператора

Пусть X и Y - линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Оператор А: X > Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А(л1x1 + л2x2) = л1А(x1) + л2А(x2)

для любых x1,x2 D и любых скаляров л1 и л2.

Пусть X и Y - нормированные пространства и А: X > Y, где А - линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).

Оператор А называется непрерывным в точке x0 X, если Аx > Аx0 при x > x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 X можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 X; тогда А непрерывен в любой точке x0 X.

Доказательство. Рассмотрим равенство Аx - Аx0 = А (x - x0). Если x > x0, то z = x - x0 > 0. По непрерывности в нуле Аz > 0, но тогда Аx - Аx0 > 0, что и требовалось доказать.

Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Пусть S1(0) - замкнутый шар ||x|| ? 1 в банаховом пространстве X.

Будем называть линейный оператор А: X > Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество

{ ||Аx||, ||x|| ? 1}.

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ? 1 справедливо неравенство

||Аx|| ? с (1)

Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx|| ? с ||x|| (2)

для любых x X, где с - постоянная.

Теорема 3. Пусть А: X > Y, А - линейный оператор, X, Y - банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§2. Норма линейного оператора

В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:

. (1)

Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А - ограничен, то множество

ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует .

Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ? ||А|| для всех x S1(0). Отсюда

||Аx|| ? ||А|| ||x||, (2)

справедливое для всех x X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ? ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.

Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).

§3.Обратные операторы

Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения

Если существует обратный оператор , то решение задачи записывается в явном виде:

Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.

Пусть задан линейный оператор: А: X > Y, где X,Y - линейные пространства, причем его область определения D(A)X, а область значений R(A)Y.

Введем множество - множество нулей оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 N(A)

Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=, (т.е. множество А нулей состоит только из элемента 0)

Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x D(A) выполняется неравенство

. (1)

Введем теперь следующее важное понятие.

Будем говорить, что линейный оператор А: X > Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1 L(Y, X), (т.е. ограничен).

Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех выполняется неравенство (1).

В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.

Теорема 7. Если А - ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.

Иными словами, если А L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.

Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения

Ax = y (2)

Если А непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у. Если при этом (решение того же уравнения с правой частью ), то . Это означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.

Пусть А L(X,Y). Оператор U L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V L(X,Y) будем называть левым обратным к А, если VA = Ix.

Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение Аr-1, а для левого - АL-1.

Лемма 1. Если существует правый обратный Аr-1 к А, то уравнение (2) имеет решение

x = Аr-1 y

Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.

Доказательство.

А(Аr-1 y) = (А Аr-1)y = y,

т.е. x = Аr-1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.

Далее, пусть существует АL-1. рассмотрим N(A). Пусть x N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор АL-1, тогда АL-1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.

Пусть X - банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) - пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I - тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы - единичного шара в L(X), т.е. все такие А, для которых справедливо неравенство .

Для краткости положим C = I - A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X - банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.

Теорема 8. Пусть и ; тогда оператор I - C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки

(1)

(2)

Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд

I+C+C2+C3+… (3)

Так как , то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом - геометрической прогрессией

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.

.

Где S - сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

,

.

Но при этом (ибо и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства (I - C)S = I и S(I - C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I - C непрерывно обратим и S=(I - C)-1. Далее,

,

.

Переходя в этих неравенствах к пределу при , получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А L(X,Y) непрерывно обратим.

Теорема 9. Пусть A, B L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство . Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки

, .

§4. Абстрактные функции

Пусть S - некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X - нормированное пространство.

Рассмотрим функцию x() с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе - векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.

Пусть x() определена в окрестности точки 0, за исключением, быть может, самой точки 0. Элемент а X будем называть пределом функции x() при >0 и записывать

при >0,

если при >0.

Степенные ряды - это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра.

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида , где xк X, а - вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную -0 = , то в дальнейшем мы полагаем 0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

(1)

Конечная сумма называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть - множество всех точек , для которых ряд (1) сходится. называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при обозначим через S() (это абстрактная функция, определенная на со значениями в X), при этом будем писать

, при .

Последнее равенство означает, что Sn() > S() при n>? для всех .

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 . Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). Пусть0 ? 0 и 0 , тогда круг содержится в . Во всяком круге Sr(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты: (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция числового переменного л со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки л0.

По определению производной x'(л0) функции x(л) в точке л0 называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если имеет производную в точке л0, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x() будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой окрестности точки =0 сходящимся степенным рядом:

(1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x() - аналитическая абстрактная функция при =0, то x() непрерывна в круге SR(0), где R - радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x() - аналитическая абстрактная функция при =0, то x() дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x() бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

называется рядом Тейлора функции x().

Если x() аналитична при =0, то ее ряд Тейлора, в сил и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.