На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Основные понятия и предложения. Дополняемость в гильбертовых пространствах. Задача о дополняемости. Доказательство замкнутости ядра. Формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 08.08.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


14

Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.

Выполнил студент 5курса
математического факультета
Лежнин В.В.
/подпись/

Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов А.К.
/подпись/

Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная М.И.
/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И. Варанкина

/подпись/ << >>

Киров
2003
Оглавление.
Введение. 2
Часть I. Основные понятия и предложения. 2
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10
Часть III. Задача о дополняемости. 13
Литература. 15


Введение.
В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.

Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
Определение. Пусть d - метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число, именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:
1. + x, yX.
2. = xX, - скаляра.
3. > 0, если x0.
Примеры нормированных пространств.
1) l - нормированное пространство, в котором элементы - последовательности комплексных чисел x=(x, …,x, …), удовлетворяющие условию <,
норма в таком пространстве определяется ;
2) L(0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < , и норма определена как = .
3) С[0, 2] - пространство непрерывных 2 периодических функций на отрезке [0, 2]. Норма в нем определяется =
Определение. Пусть X, Y - два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию
A(x+x) = Ax+Ax.
Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x области определения, если для любой окрестности V точки y= Ax существует такая окрестность U точки x, что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.
Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.
Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.
Доказательство.
Пусть М - подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х из М, что ни один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х 0 в Е, но последовательность {Ах}не сходится к 0 в Е, а это противоречит непрерывности оператора А.
В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е
.
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .
Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X > X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
1. R(P) = N(I-P) = {xX, Px = x}, где I - тождественное отображение;
2. R(P)N(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а) Так как (I-P)P = IP- = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);
б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
Определение. М - замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MN.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема o замкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X>Y линейно и множество G={(x, Tx): xX} (его график) замкнуто в XY. Тогда Т - непрерывно.
Предложение 2. Пусть - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что x 0 для некоторого x из X.
Тогда если непрерывен, то ядро N() замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N() = ({0}), а {0} - замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).
Теорема 1.
а) Если Р - непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)N(P);
б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)N(P);
Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .
Пусть последовательности x>x и Px>y.
Так как Px принадлежит А, А - замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.
Аналогично x- Px принадлежит В, В - замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение :GGG, определенного равенством: (x,y)=xy.
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмноже и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.