На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Изучение понятий, действий (сумма, разность, произведение), свойств квадратной матрицы. Определение и признаки ранга матрицы. Анализ методов окаймляющих миноров и преобразований. Расчет системы линейных уравнений согласно методам Крамера и матричному.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 01.02.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Определение. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, составленная из чисел ( строк, столбцов).

Обозначаются матрицы

,,

или кратко: , или одной латинской заглавной буквой, например, .

В частности, когда , матрица состоит из одной строки и называется матрицей-строкой. Если же , а , то получаем одностолбцовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом.

Числа называются элементами матрицы. Вообще, элементы матрицы могут быть произвольной природы. Мы будем рассматривать только числовые матрицы.

Если в матрице число строк равно числу столбцов: , то матрицу называют квадратной матрицей порядка .

Квадратной матрицей второго порядка называется таблица
,
составленная из четырех элементов . Элементы образуют главную диагональ матрицы А, элементы - побочную диагональ.
Квадратной матрицей третьего порядка называется таблица, составленная из девяти элементов
: .
Элементы образуют главную диагональ, а - побочную.
В дальнейшем будет иногда удобным изображать матрицу схематически в виде прямоугольника или квадрата как на рис. 1.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называют матрицу, все элементы которой равны нулю. Обозначают ее 0.
Квадратные матрицы вида
и
называются треугольными матрицами (верхнетреугольной и нижнетреугольной соответственно). В них все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю:
.
Единичной матрицей называется диагональная матрица вида
.
Две матрицы и равны, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.

Действия над матрицами

Определение. Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, элементы которой находятся по формуле . Обозначается .

Пример ..

Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что

.

Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.

Определение. Разностью матриц и одинакового размера называется такая матрица , что

.

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица , получающаяся из умножением всех ее элементов на : .

Определение. Пусть даны две матрицы и размерностей и соответственно, причем число столбцов равно числу строк . Такие матрицы называются согласованными. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , элементы которой находятся по формуле . Обозначается .

Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:

а правило вычисления элемента в произведении - так:

Подчеркнем еще раз, что произведение имеет смысл тогда и только тогда, когда А и В согласованы, т.е. число столбцов левого сомножителя А равно числу строк правого сомножителя В, при этом в произведении получается матрица С, число строк которой равно числу строк левого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов правого.

Пример .Даны матрицы

и .

Найти матрицы

и .

Решение. Прежде всего заметим, что произведение существует, так как число столбцов равно числу строк .

Заметим, что в общем случае , т.е. произведение матриц неперестановочно (некоммутативно).

Найдем (умножение возможно).

Пример. Дана матрица

. Найти .

Решение.

.

;.

.

Отметим следующий любопытный факт.

Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

Пример. Если и , то

.

Определение. Матрица , полученная из данной матрицы А заменой каждой строки на столбец с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной матрице А. Иными словами, при транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами.

Пример

. , .

Определители
Пусть дана квадратная матрица второго порядка
,
Число , составленное из элементов матрицы А, называют определителем второго порядка и обозначают . Таким образом, чтобы сосчитать определитель второго порядка, надо перемножить элементы, стоящие на главной диагонали и вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали. Например, определитель матрицы равен .
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
.
Определителем третьего порядка называется число, равное сумме
Определитель третьего порядка обычно считают, используя следующее правило, называемое правилом Саррюса или правилом треугольников.
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком "плюс", находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других - произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. (Получаются два треугольника, располагающиеся поперек главной диагонали) (рис. А).
Слагаемые, входящие в со знаком "минус", строятся таким же образом относительно побочной диагонали. (рис. Б).
Пример. Вычислить определитель
по правилу треугольников (Саррюса).
Решение:

.
Для приобретения навыка предлагается самостоятельно вычислить следующие определители:
1 ; Ответ: .2); Ответ: . 3) ;
Ответ. .
Определители обладают рядом свойств, которые лежат в основе практических способов их вычисления.
Свойство1.Определитель квадратной транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны, т.е. любое свойство определителя, доказанное для строк, справедливо и для столбцов и наоборот.
Свойство 2.При перестановке любых двух строк определитель меняет знак.
Свойство3.Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно выносить за знак определителя.
Сформулируем теперь три признака равенства определителя нулю.
Свойство4.Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.
Свойство5.Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Свойство6.Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
И еще одно важное свойство:
Свойство 7.Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

По аналогии с понятиями определителей второго и третьего порядков можно ввести понятие определителя -го порядка:

.

Чтобы дать определение и одновременно способ вычисления определителя -го порядка, дадим несколько определений.

Определение. Если в определителе -го порядка вычеркнуть -ую строку и -ый столбец, то оставшийся определитель -го порядка называется минором данного элемента и обозначается .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Следовательно, .

Пример3.Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента (выделен пунктиром).

Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент , получим . Тогда .

Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е., например,

,(*)

где - фиксировано.

Выражение (*) называют разложением определителя по элементам строки с номером . Мы примем его в качестве определения:

Определение. Определителем -го порядка , соответствующим квадратной матрице порядка n, будем называть сумму произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения

При вычислении определителя -го порядка по теореме разложения требуется вычислить n определителей -го порядка. На практике вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению одного определителя -го порядка, для чего в какой-либо строке (или столбце) получают нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

Пример 4. Вычислить определитель

Решение.

Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь свойствами определителя, получить максимальное число нулей в какой-нибудь строке или столбце, а затем применить теорему разложения. Во второй строке уже имеются два нуля, получим еще нули в этой строке. Для этого прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на 2, а к элементам третьего столбца прибавим соответствующие элементы четвертого, умноженные на . Получим определитель, равный исходному

Применим теорему разложения ко второй строке, т.е. разложим определитель по элементам второй строки.

Получим определитель 4-го порядка.

Теперь получим нули во втором столбце. Для этого к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на , а к элементам четвертой - элементы первой, умноженные на .

Получим .

Разлагая его по элементам второго столбца, получим

.

Теперь можно разложить полученный определитель, например, по первому столбцу:

.

Легко вычисляются определители квадратных матриц треугольного или диагонального видов. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на диагонали.

В заключение еще одно свойство определителей, которое формулируется обычно в виде теоремы: Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению их определителей

.

Обратная матрица и ее вычисление

Определение. Если - квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям , где - единичная матрица.

Из этого определения следует, что если матрица является обратной для , то и будет обратной для . Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Такие матрицы называются невырожденными.

Приведем схему нахождения обратной матрицы.

1. Находим определитель данной квадратной матрицы .

2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .

3. Составляем из алгебраических дополнений матрицу .
4. Транспонируем матрицу .
5. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы .
Пример . Найти матрицу, обратную матрице
.
Решение.
1.Найдем
.
2. Ищем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :
;;.
Получили алгеб и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.