Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Цепь как совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Описание и применение теоремы Гольфанда. F-абнормальная максимальная подгруппа из G либо p-нильпотентна как бипримарная группа Миллера-Морено. Понятие группы Фробениуса с циклической подгруппой.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 07.03.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Бондаренко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание

Перечень условных обозначений
Введение
Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
--- пустое множество;
--- множество всех , для которых выполняется условие ;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число --- любое число вида ;
--- множество всех целых положительных чисел.
--- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .
Запись означает, что предшествует в упорядочении , .
Пусть --- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
--- порядок элемента группы ;
--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
--- множество всех простых делителей порядка группы ;
--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
--группа --- группа , для которой ;
--группа --- группа , для которой ;
--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
--- коммутант группы ;
--- --холловская подгруппа группы ;
--- силовская --подгруппа группы ;
--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;
--- группа всех автоморфизмов группы ;
--- является подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
--- является нормальной подгруппой группы ;
--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- центр группы ;
--- циклическая группа порядка ;
Если и --- подгруппы группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .
Группа называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
Группу называют --нильпотентной, если .
Группу порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого .
Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп;
--- класс всех абелевых групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп;
--- класс всех --групп;
--- класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:
--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:
-нормальной, если ;
-абнормальной, если .
Максимальная -цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.
Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.
Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп
такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?
В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.
Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.
Доказательство. Пусть --- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как неразрешима, то она имеет подгруппу порядка , где --- простое число. По условию, имеет -субнормальную подгруппу такую, что делит . Поэтому в существует максимальная подгруппа, содержащая . Таким образом, .
По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы . Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы . Так как класс всех разрешимых групп и класс всех -нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что . Очевидно, имеет минимальную нормальную подгруппу , содержащуюся в .
1. Рассмотрим случай . Допустим, что неразрешима. Тогда содержит подгруппу порядка , где . Так как 1 не максимальна в , то в существует -субнормальная подгруппа такая, что . По лемме, есть -число. Мы получаем, что и , т.е. оказывается -нильпотентной -группой. Противоречие. Следовательно, разрешима.
Ввиду леммы , лемма верна для . Значит, либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой. Так как , то мы видим, что лемма верна и для .
2. Теперь рассмотрим случай . Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы . Следовательно, каждая собственная подгруппа группы либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.
2.1. Предположим, что содержит разрешимую -нормальную максимальную подгруппу. Тогда разрешима, а --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Из следует, что является -группой для некоторого простого .
Предположим, что и . Так как неразрешима, то имеет подгруппу порядка , где . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как --- -группа, а по лемме, индекс является -числом, то мы получаем, что --- -нильпотентная -группа. Противоречие.
Случай и невозможен, так как --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Поэтому остается рассмотреть случай . Но тогда является -разрешимой -группой. Так как неразрешима, то в холловой -подгруппе из найдется нециклическая силовская подгруппа . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Обозначим через формацию всех -нильпотентных групп. По лемме, -субнормальна в . Теперь по теореме, мы имеем . Следовательно, , а значит, централизует . Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из централизует . Так как не принадлежит , то не централизует . Итак, в имеется циклическая силовская подгруппа , которая не централизует . Ввиду теоремы, не максимальна в . Теперь, применяя к те же рассуждения, что и для , получаем, что централизует . Пришли к противоречию.
2.2. Итак, пусть теперь каждая -нормальная максимальная подгруппа группы является -нильпотентной -группой. Тогда оказывается -группой, а ее -корадикал -нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что имеет -абнормальную максимальную подгруппу , которая не является -нильпотентной. По предположению, разрешима. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, является -группой для некоторого простого числа . Если , то -нильпотентна, противоречие. Таким образом, , т.е. есть -группа. Выберем в подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям: 1) --- степень простого числа; 2) не является -группой; 3) не максимальна в . По условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . По теореме , , а потому мы имеем . Так как не -нильпотентна, то мы получаем, что не является -группой. Мы видим, что в существует силовская -подгруппа такая, что максимальна в , и . Если нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы и , которые, как мы доказали, централизуют . Отсюда следует, что и централизует , что невозможно. Следовательно, --- циклическая максимальная подгруппа в . Группа у нас -разрешима. Будем считать, что содержится в холловой -подгруппе группы . Если максимальна в , то учитывая, что циклическая, мы получаем, что, по теореме , подгруппа разрешима. Но тогда и разрешима. Получаем противоречие. Таким образом, не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как , мы получаем, что -субнормальна в . По теореме , . Снова получили противоречие. Лемма доказана.
Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Предположим, что , --- -группа, не -нильпотентна, а все ее -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1) --- группа Шмидта и ;
2) , силовская -подгруппа из совпадает с и является ее минимальной нормальной подгруппой;
3) , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , имеющая индекс в , а подгруппа является циклической, причем .
Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть --- некоторая -абнормальная максимальная подгруппа из . Тогда, по условию, некоторая холлова -подгруппа входит в и нормализует ее силовскую -подгруппу . Так как --- -группа, то . А так как и -нильпотентна, то из вытекает, что . Рассмотрим два случая: и .
1. . По лемме, либо максимальна в , либо -субнормальна в . Пусть вначале -субнормальна в . Тогда, по теореме, . Так как , то получается, что --- силовская -подгруппа из , нормализующая . Это противоречит тому, что не -нильпотентна. Пусть теперь максимальна в . Тогда . Значит, либо совпадает с силовской -подгруппой , либо .
1.1. . Допустим, что в имеется ненильпотентная -нормальная максимальная подгруппа . Будем считать, что ее холлова -подгруппа содержится в . Так как не максимальна в и , то, по лемме, -субнормальна в , а значит, и в . Теперь по теореме, , а значит, нильпотентна. Итак, --- группа Шмидта. Но тогда нормальна в , а значит, ввиду теоремы, не может быть абелевой. Таким образом, . Так как , то . Итак, --- группа типа 1).
1.2. не является силовской -подгруппой в . Тогда и Таким образом, является минимальной нормальной подгруппой в . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа нормальна в и не -нильпотентна. Подгруппа содержится в и характеристична в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то --- силовская -подгруппа из . Пусть --- такая строго содержащая подгруппа из , что максимальна в . Из равенства следует, что не является -нильпотентной группой. Каждая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в , а значит, и в . Теперь по лемме, --- минимальная не -группа, т.е. --- группа Шмидта. Таким образом, --- циклическая -группа, . Так как , то . Лемма в этом случае доказана.
2. . Таким образом, --- дополнение к подгруппе , которая является в этом случае силовской подгруппой в и к тому же минимальной нормальной подгруппой. Если каждая собственная подгруппа из -субнормальна в , то по лемме, является группой Шмидта, т.е. --- группа типа 3).
Предположим, что не является группой Шмидта. Тогда в имеется не -нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа , холлова -подгруппа которой входит в , принадлежит и, ввиду теоремы, не является -субнормальной в (в противном случае, по теореме, подгруппа была бы -нильпотентной). Выберем в такую подгруппу , что и максимальна в . Допустим, что в имеется -субнормальная в подгруппа , не содержащаяся в . Тогда, по теореме, , т.е. . Тогда содержит и , т.е. . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то . Любая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в . Теперь по лемме, примененной к , получаем, что --- минимальная не -группа. Таким образом, --- группа Шмидта. Значит, --- примарная циклическая группа. Так как разрешима и --- минимальная нормальная подгруппа, то мы видим, что --- группа типа 2).
Итак, каждая подгруппа из , -субнормальная в , содержится в . Пусть --- простой делитель индекса . Силовская -подгруппа из не входит в и потому не является -субнормальной в . Поэтому по лемме, максимальна в . Отсюда следует, что . Лемма доказана.
Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп, и каждая -абнормальная максимальная подгруппа из -нильпотентна. Тогда либо является -нильпотентной -группой, либо группой одного из типов:
1) --- группа Шмидта и ;
2) , силовская -подгруппа является минимальной нормальной подгруппой в ;
3) , , где --- минимальная нормальная подгруппа в , , циклическая, .
Доказательство. Пусть не является -нильпотентной -группой. По лемме, разрешима. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Так как , то каждая -абнормальная максимальная подгруппа является -абнормальной, а значит, ввиду условия, и -нильпотентной. По тереме , --- -группа, и теперь мы применяем лемму в случае . Лемма доказана.
Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- не -нильпотентная группа c плотной системой -субнормальных подгрупп и . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо -нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера--Морено.
Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть --- не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа группы . По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп в плотно. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, --- -группа. Значит, --- группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем обозначает формацию всех -нильпотентных групп. Пусть --- группа типа 1), т.е. --- группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и . Тогда не максимальна в . По условию, в имеется -субнормальная подгруппа такая, что . Кроме того, . Получается, что -субнормальна в , а значит, и в . По теореме, , что невозможно. Итак, либо типа 2), либо типа 3) из леммы.
1. , . Тогда холлова -подгруппа группы строго содержит некоторую .
Предположим, что --- типа 2). Пусть --- произвольная собственная подгруппа из . Так как не максимальна в , то существует -субнормальная в подгруппа такая, что . Подгруппа будет -субнормальна в . Поэтому и будет -субнормальна в . По теореме, , т.е. . Таким образом, каждая собственная подгруппа из -нильпотентна, а значит, --- группа Шмидта, в которой --- минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.
Итак, ---группа типа 3), т.е. , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , силовская -подгруппа из циклическая и . Если -субнормальна в , то, по теореме, нильпотентна и, значит, , что невозможно. Значит, не -субнормальна в . Если не максимальна в , то, по условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Получается, что --- нормальная подгруппа -субнормальной разрешимой -подгруппы , а потому будет -субнормальной в . Итак, максимальна в , а значит, . Пусть --- силовская -подгруппа из , являющейся дополнением к в , очевидно, . Так как не максимальна в , то для некоторой -субнормальной подгруппы из . Тогда . Так как , то мы видим, что не содержится в . Ввиду леммы , -абнормальные максимальные подгруппы -абнормальных максимальных подгрупп из принадлежат , поэтому, по теореме, имеем . Получается, что . Вспоминая, что --- минимальная нормальная подгруппа в , мы получаем, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает с , либо с . Случай не возможен, так как и не -нильпотентна. Значит, . Рассмотрим -нильпотентную подгруппу . По условию, содержится в некоторой подгруппе из , которая -субнормальна в . Так как , то будет -абнормальна в , а значит, и в . Тогда, по теореме , -нильпотентна, что противоречит тому, что не -нильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен.
2. . Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что для -абнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью , утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности: --- либ и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.