На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Контрольная Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде. Свойства векторного произведения и их доказательства. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными. Векторное произведение векторов заданных проекциями.

Информация:

Тип работы: Контрольная. Предмет: Математика. Добавлен: 14.03.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


25
Медико-биологический лицей г. Саратова.

Предмет: математика.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ.

Выполнили: Дёмин Дмитрий,
Грачёв Денис ученики 11 «б» класса МБЛ.
Руководитель: Винник Нина Дмитриевна
Учитель математики.




Саратов 2007 г.
Содержание

Введение.

Глава 1 Определители.

1. Определения.

2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде.

3. Свойства определителя.

4. Доказательства свойств определителя.

5. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными.

Глава 2 Векторное произведение.

1. Определения.

2. Свойства векторного произведения.

3. Доказательства свойств векторного произведение.

4. Смешанное произведение.

5. Векторное произведение векторов заданных проекциями.

6. Примеры решение задач (с использованием определителей).

Вывод.

Список литературы.

Введение

В алгебре существует широкий класс задач, решение которых является громоздким и трудным методами элементарной математики. Например, решение системы n линейных уравнений, с n неизвестными методом Жордана - Гаусса требует длительных вычислений и, как правило, часто ведёт к ошибке.
Теория определителей позволяет решать и исследовать системы с малыми затратами используя правило Крамера, рассматриваемое в этой работе.
(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Медико-биологического лицея Дёмин Дмитрий).
При вычислении площадей, объёмов в пространстве часто удобно пользоваться векторным и смешанным произведениями векторов, вычисляя определитель координат векторов, что представлено в работе.
(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Грачёв Денис).
Глава 1. Определители

1. Определения

Опр. Матрица - прямоугольная таблица, составленная из элементов произвольной природы. Элементы матрицы располагаются в строки и столбцы (иногда их называют колонками). Строки и столбцы часто называют собирательным термином «ряды матрицы». Элементы матрицы часто обозначают двойными индексами - aij; первый индекс i означает номер строки матрицы, в которой стоит элемент aij, а второй индекс j означает номер столбца матрицы, в котором стоит aij. Матрицы символически обозначают заключёнными в круглые или квадратные скобки, или двойные вертикальные черточки. (Кратко: (aij) или IIaijII).
Каждой квадратной матрице, элементами которой являются числа, ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы.
Опр. Определитель (детерминант) n-го порядка - алгебраическая сумма n! слагаемых членов из элементов квадратной матрицы (таблицы), которое вычисляется по следующему закону: каждое слагаемое есть произведение n элементов взятых по одному и только по одному из каждой строки и из каждого столбца матрицы. Каждый член определителя берётся со знаком (-1)t, где t - число инверсий во вторых индексах члена, когда первые индексы члена расположены в натуральном порядке.
2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде

Пусть матрица A= , тогда ее определитель будет содержать 2!=2 слагаемых:
a11a22 и + a21a12 , так как в перестановке нет инверсий, следовательно, (-1)0= -1, а в перестановке есть одна инверсия и (-1)1 = -1.
Значит, = a11a22 - a21a12

Минором или алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы или ее определителя, называется определитель порядка n-1, который получается из исходного вычеркиванием i - той строки и j - того столбца.

3. Свойства определителя
Определитель обладает рядом свойств:
1) Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).
2) Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3) Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.
4) Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором - вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.
5) Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.
6) Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).
7) Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.
4. Доказательства свойств определителя

Свойство №1: Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).
Доказательство:
Опр. Матрицы Aji называется транспонированной матрицей Aij

= det A = det AT
det A = det AT

Выберем любое слагаемое из суммы определителя.
a1i a2j … ank
ai1 aj2 … akn ? сумме det AT
Следовательно определители равны.
Свойство №2: Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Доказательство:
Пусть дана матрица, один столбец которой равен 0.
=detA подсчитаем определитель данной матрицы.
Подсчитаем определитель данной матрицы, используя правило равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям.
=0*а22331223*0+а3213*0 = 0
=-(а1322*0+а1233*0+а2332*0)=0
Свойство доказано.
Свойство №3: Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.
Доказательство: Возьмём матрицу определитель которой равен detA и переставим в ней 2 столбца. Получим:
,после перестановки получим: .
Посчитаем определители обеих матриц. Получим:
det A=(-1)0*((a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11))
det B=(-1)2*((a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13))
(a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11) +(a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13)=0
Получили, что det A=-det B.
Свойство доказано.
Свойство №4: Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором - вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.
Доказательство:
Возьмём матрицу, в которой элементы первого столбца равны aij+bj и посчитаем её определитель.
.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
.
То есть: .
Свойство доказано.
Свойство №5: Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.
Доказательство:
Пусть дан определитель detA?0, содержащий две равные строки.
= detA ; =
Поменяем местами эти равные строки. Получим новый определитель.
.
Так как данный определитель получен из определителя detA перестановкой строк, то из предыдущего свойства следует, что полученный определитель принимает значение -detA. В то же время, количество слагаемых и модуль значений определителей detA и -detA равны, то справедливо будет равенство detA=-detA. Из данного равенства следует что detA=0. Свойство доказано.
Свойство №6: Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).
Доказательство:
Возьмём матрицу коэффициентов и посчитаем её определитель.
Прибавим к первому столбцу третий. Получим новую матрицу.
.
Посчитаем её определитель.
.

Свойство №7: Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.
Доказательство: Возьмём матрицу и посчитаем её определитель.
То есть.
Свойство доказано.
5. Пример применения правила Крамера для решения систем n уравнений с n и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.