На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами. Свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, вторая - 2-разложимая. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп. Доказательство теорем и лемм.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 22.09.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ

Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-33
Стародубова Н.С.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2003
Содержание

    Введение
    1.Основные обозначения
    2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
    3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта
    4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
    5. Произведение бипримарной и примарной групп
    6. Доказательство теоремы (3)
    Заключение
    Список литературы
    Введение
    В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.
    В третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:
    Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
    Теорема. Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
    В четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.
    Теорема. Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
    Теорема. Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
    В пятом пункте доказываются следующие теоремы:
    Теорема. Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
    Теорема. Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:
    1) ;
    2) ;
    3) ;
    4) ;
    5) ;
    6) , где --- силовская 3-подгруппа;
    7) , порядок равен , а .
    1. Основные обозначения
    группа
    является подгруппой группы
    является нормальной подгруппой группы
    прямое произведение подгрупп и
    подгруппа Фраттини группы
    фактор-группа группы по
    множество всех простых делителей натурального числа
    множество всех простых делителей порядка группы
    коммутант группы
    индекс подгруппы в группе
      2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
      Конечная группа называется -разложимой для простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима для каждого . Через обозначается множество всех простых делителей порядка группы .
      Теорема Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
      Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп .
      Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что --- центр , а если --- подгруппа группы , то --- наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна.
      Лемма Пусть и --- подгруппы конечной группы , обладающие следующими свойствами:
      1) для всех ;
      2) , где .
      Тогда .
      Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть --- наибольшая -подгруппа, содержащая и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что не содержится в . Это означает, что существуют элементы и такие, что не принадлежит . Поэтому --- собственная подгруппа в и есть -группа. Кроме того, перестановочна с каждой сопряженной с подгруппой, так как этим свойством обладает . Теперь для всех , что противоречит выбору .
      Итак, . Значит, и --- нормальная в -подгруппа. Из условия 2) следует, что и . Так как и , то . Поэтому .
      Лемма Пусть конечная группа с -замкнутыми подгруппами и . Если , то .
      Доказательство. Так как , то для всех , . Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то .
      Секцией группы называется фактор-группа некоторой подгруппы из . Если не содержит секций, изоморфных симметрической группе четырех символов, то называется -свободной.
      Лемма Если конечная группа не является -свободной, то существуют -подгруппы и такие, что нормальна в и .
      Доказательство. По условию в группе существует секция , изоморфная . Пусть --- нормальная в подгруппа индекса , содержащая подгруппу с индексом . По лемме Фраттини , где --- силовская -подгруппа из , Так как имеет индекс в силовской -подгруппе из , то разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того, и .
      Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную -холловскую подгруппу, -разрешима.
      Доказательство. Достаточно показать непростоту группы в случае, когда делит . Предположим, что простая и делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп , отличных от -силовской. Если не -свободна, то по лемме существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта . Лемма доказана.
      Через обозначим произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.
      Лемма Пусть конечная группа и пусть разрешима, а взаимно прост с . Если в существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то разрешима.
      Доказательство. Если --- -группа, то разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть делит и --- минимальная нормальная в подгруппа. Если , то и разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда и имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из содержится в и -разрешима по лемме(2). Из минимальности следует, что разрешима. Итак, в любом случае содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.
      Теорема вытекает из следующей более общей теоремы
      Теорема Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
      Доказательство индукцией по порядку . Пусть --- минимальная нормальная в подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы и будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции разрешима, а неразрешима. Поэтому и . Следовательно, в единственная минимальная нормальная подгруппа.
      Пусть и пусть и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и р-замкнуты и , то по лемме . Но содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо , либо . Итак для каждого , либо не делит , либо не делит . Следовательно, порядки и взаимно просты. Но теперь --- простая группа.
      Так как группа Судзуки нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок делится на , а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок , делится на . Теперь в существует нильпотентная -холловская подгруппа. По лемме (3)группа разрешима. Теорема доказана.

    3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

    Пусть конечная группа является произведением двух своих подгрупп и , причем есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы при дополнительных ограничениях на подгруппы и получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если дедекиндова, т. е. в все подгруппы инвариантны, то простая группа описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа в случае, когда --- нильпотентная группа.
    Основным результатом настоящей заметки является
    Теорема Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
    обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу.
    Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп , если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, где состоит из простых делителей порядка и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа есть группа Шмидта, а --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).
    Рассматриваются только конечные группы. обозначает порядок группы , а --- множество всех простых делителей . Если --- некоторое множество простых чисел, то --- наибольшая инвариантная в -подгруппа. --- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в .
    Свойства групп Шмидта хорошо известны , наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.
    Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.
    Теорема Мазуров -- Сыскин 9 Если --- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то для некоторого .
    Теорема Гольдшмидт 10 Если в простой группе силовская 2-подгруппа неабелева и , для всех и некоторой абелевой неединичной подгруппы из , то или .
    Лемма Пусть разрешимая группа , где --- группа нечетного порядка, --- 2-замкнутая группа четного порядка и . Если , то
    Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Введем следующие обозначения: ; --- минимальная инвариантная в подгруппа; ; --- силовская 2-подгруппа; --- ее дополнение. Ясно, что . Если , то , отсюда и . Пусть и --- минимальная инвариантная -подгруппа в . Тогда и , где --- силовская -подгруппа для . Можно считать, что , поэтому . Кроме того, неинвариантна в , значит --- собственная в подгруппа. Замечание Фраттини дает, что . Теперь и . Так как , то , т. е. --- собственная в подгруппа. Порядки и взаимно просты, поэтому . По индукции , поэтому и . Лемма доказана.
    Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть , --- инвариантная силовская -подгруппа, --- силовская -подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .
    Допустим, что группа непроста и --- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда --- неразрешимая группа.
    Предположим, что не содержит . Тогда нильпотентна, а так как , то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как , то из свойств групп Шмидта следует, что содержится в и --- силовская 2-подгруппа в . Если непроста, то --- неразрешимая группа, где --- некоторая инволюция из центра . Так как и --- группа Шмидта четного порядка, то по индукции , или , --- простое число. Замечая, что и --- абелева группа порядка 4 или , получаем, что, . Теперь должно быть четным числом, значит, . В этих случаях и --- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что . Следовательно, --- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа изоморфна . Поэтому , значит, и
    Порядок факторгруппы равен , и делится на . Так как , то делит порядок . Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.
    Следовательно, содержит подгруппу . Так как --- циклическая силовская подгруппа в , то --- простая группа и по индукции , или , где --- простое число. Так как , разрешима, a , то . Теперь изоморфна некоторой подгруппе из . Если или , то или . допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа не допускает требуемой факторизации. Если --- простое число, то и --- простое число. Так как , где , то . Противоречие.
    Таким образом, --- простая группа.
    Предположим, что силовская 2-подгруппа группы абелева. Тогда по результату Уолтера группа может быть изоморфной только одной из следующих групп: , или , группе Янко порядка 175560 или группе типа Ри. Из групп для указанных лишь группы или , где --- простое число, допускают нужную факторизацию . Группа Янко не допускает требуемой факторизации . Порядок группы делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому неизоморфна .
    В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как порядки и взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа из содержится либо в , либо в . Если , то и группа изоморфна для некоторого . Но в этом случае , поэтому , и делит . Так как , то делит . Но порядок делится на , а значит, и на . Противоречие.
    Следовательно, . Теперь , , --- инвариантное 2-дополнение в . Если , то и ввиду леммы Бернсайда . Поэтому , --- элементарная абелева -группа и --- показатель числа по модулю . Из результатов Уолеса непосредственно получаем, что . Противоречие.
    Значит, . Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа; --- силовская подгруппа из , содержащая ; ; . Так как , то и разрешима. Кроме того, и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3)) не содержит подгрупп инвариантных в . Применяя лемму настоящей работы, получаем, что . Так как и , то и . Таким образом, .
    Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат Гольдшмидта, получаем: или . Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Противоречие. Теорема доказана.
    Лемма Пусть --- простое число, делящее порядки групп и . Если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, то группа непроста.
    Доказательство. Пусть --- силовская -подгруппа из , а --- силовская -подгруппа из , для которых и есть силовская -подгруппа в .
    Пусть инвариантна в . Тогда для любого , , имеем: . По лемме Кегеля группа непроста.
    Пусть неинварпантна в . Тогда циклическая и каждая собственная подгруппа из инвариантна в . Если --- силовская подгруппа в , то и , где --- силовская подгруппа из . По лемме Бернсайда группа непроста. Пусть не является силовской в . Тогда содержится как подгруппа индекса в некоторой группе , . Для элемента теперь содержит и . Если , то непроста по лемме Бернсайда. Если , то и непроста по лемме С. А. Чунихина.
    Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает
    Теорема Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
    Ясно, что условие теоремы охватывает случай, когда нильпотентна.
    Теорема Пусть --- неразрешимая группа, где --- группа Шмидта, --- нильпотентная группа. Тогда . и --- простое число, или для некоторого простого числа .
    Доказательство. Пусть группа --- контрпример минимального порядка. Как и в теореме , пусть . Ясно, что . Группа не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы следует, что порядки и не взаимно просты, а из леммы вытекает, что --- непростая группа.
    Допустим, что порядок делится на и пусть --- силовская -подгруппа из . Тогда --- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что . Так как есть -группа, то и по лемме из (4) группа есть -группа, противоречие. Следовательно, порядок не делится на . Но тогда делит порядок . Рассуждая как и в лемме, получаем, что , а из следует, что .
    Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля и разрешима. Если , то, применяя к индукцию, получаем, что или и --- простое число, а группа из заключения теоремы, противоречие. Значит, , к и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.