На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


лабораторная работа Уравнение теплопроводности

Информация:

Тип работы: лабораторная работа. Добавлен: 12.06.2012. Сдан: 2011. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ  ДЛЯ УРАВНЕНИЙ  С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

1.1. Явные и неявные  разностные схемы.

 
      Вид разностных уравнений и методы их решения поясним на примере одномерного  уравнения теплопроводности
,      .                            (5)
,
,

      Введем  разностную сетку с шагом дискретизации  по переменной x в области ее изменения и с шагом t - в области изменения времени t так, что , , , , где - количество шагов дискретизации переменным x, t.
      Примем  обозначения: - значение сеточной функции температуры, - разностная аппроксимация сеточными функциями второй производной температуры по координате
,

 

      Для задачи (5) можно записать две разностные схемы:
,                                 (6)
.                            (7)
      Схемы (6), (7) отличаются тем, что в первом случае разностная аппроксимация сеточными  функциями второй производной температуры  по координате происходит на n временном слое, а во втором - на n + 1.
      При использовании схемы (6) значение температуры  на (n + 1) временном шаге полностью определяется через данные n - го шага
.

      Такая схема называется явной. Она удобна для организации вычислительного  процесса и минимальна по количеству вычислительных операций. Единственным, но очень существенным недостатком  явной схемы является то, что она  устойчива лишь при весьма жестких  ограничениях шага по времени. Мелкое дробление шага , не связанное с требованием точности, приводит к неоправданно большим вычислительным затратам.  По этой причине использование явных схем для решения одномерных и тем более многомерных задач малоэффективно.
      Вторая  схема неявная в том смысле, что  для вычисления температуры  на n+1 шаге  необходимо решать систему уравнений
,                                   (8)
которая после преобразований приводится к виду
,                           (9)
.

Здесь в  правой части уравнения стоит  известное значение температуры  на предыдущем шаге по времени. Решение  системы существует и потому схема (7)  устойчива при любых  и h. 

1.2. Метод прогонки  для одномерной  разностной схемы.

 
      Устойчивость  неявной схемы разностной аппроксимации  дает возможность ее широкого применения в задачах численного решения  уравнений в частных производных. В одномерном случае для решения  системы уравнений, к которой приводится неявная схема  используется экономичный метод скалярной прогонки.
      Уравнение (5) с помощью неявной схемы (7) - (9) представим в следующем разностном виде
,           .            (10)
где коэффициенты , ,
      Дополним  систему уравнений (10) краевыми условиями  исходной задачи (5), которые должны выполняться на любом временном  слое и потому определяют значения сеточной температуры при i =0, Ni
       , .                                         (11)
      Так для каждого n решается задача определения температуры на n+ 1 шаге, в дальнейших рассуждениях верхний индекс во всех членах уравнения (10) опускаем.
      Решение уравнения ищем в форме :
.                                                (12)
      Подставив выражение (11) в уравнение (10) и приводя  подобные слагаемые, получим:
.

      Откуда 
        .                                   (13)
      В результате получена рекуррентная формула  расчета температуры
       ,                           (14)
      где
       .                           (15)
      Стандартный метод прогонки заключается в  том, что вначале обратным счетом определяются все коэффициенты ,  а затем вычисляются значения сеточной функции температуры. Необходимые для начала счета значения определяются из краевых условий. 
 

1.3. Продольно-поперечная  схема для двумерного  уравнения

 
 
     Рассмотрим  двумерное уравнение теплопроводности
                                    (16)
в области, представляющей собой прямоугольник  со сторонами l1 и l2 . В этой области строим сетку с шагами Пусть - граница введенной сеточной области, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, . Оператор заменим разностным оператором :
                           (17)
     Функцию заменяем ее сеточным аналогом
     Сетку можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках , или как совокупность узлов, расположенных в столбцах . Всего имеется столбцов и строк. Число узлов в каждой строке равно , а в каждом столбце узлов.
     Алгоритмическую идею переменных направлений, основанную на применении неявных схем, выражает продольно-поперечная схема, предложенная Писменом, Рекфордом и Дугласом в 1955 году. Смысл ее состоит в дроблении шага по времени и последовательном решении задачи по каждой из координат. При этом наряду с основными значениями искомой сеточной функции Т(х,z,t), которые n шаге обозначаются как , а на n+1 шаге  вводится промежуточное значение , которое можно формально рассматривать как значение температуры при временном значении . Переход от слоя временного n к слою n+1 совершается в два этапа с шагами  по :
                (18)
     

     Первое  из уравнений (18) представляет разностную схему неявную по координате x, второе - по координате z
     Пусть дано . Тогда вычисляем , затем методом прогонки вдоль строк из первого уравнения (18) определим промежуточное значение температуры во всех узлах сетки , после чего вычисляем и решаем задачу вдоль столбцов , определяя . При переходе от слоя к слою процедура счета повторяется, т.е. происходит все время чередование направлений. 
 

    2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ  ДВУМЕРНОГО  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  ТЕМПЕРАТУРЫ В  СРЕДЕ С ВКЛЮЧЕНИЕМ

 
 
     Распределение температуры в среде описывается  двумерным уравнением теплопроводности
      .                            (19)
 

      Среда (область решения ) представляет собой прямоугольник шириной М= 100км, глубиной L = 30 км
       .                           (20)
      Включение представляет прямоугольную область, глубиной 4 км, шириной 14 км, расположенную  в центре области G, на расстоянии 5 км от поверхности z = 0.
      Коэффициент теплопроводности среды  = 2 Вт/(м*К), включения = 4 Вт/(м*К),
      Граничные условия.
      На  поверхности среды  задана постоянная температура
  .                                            (21)
      На  нижней границе ( ) задан постоянный поток q = 30 мВт/м2.
  .                                              (22)
      Граничные условия на левом  краю определяются из стационарного распределения температуры по высоте среды (координате z) без включений при наличии постоянного потока q на нижней границе. Cтационарное  распределение температуры по высоте описывается уравнением
                                         (23)
      Откуда                 .  
Из условия  на поверхности среды  следует
Аналогично, из условия существования потока на нижней границе ( )

находим значение коэффициента . 

      Таким образом, граничное условие на левом  краю выражается уравнением :
       .                               (24)
      Предполагается, что правый край среды  теплоизолирован и граничное условие на правом  краю выражается в виде отсутствия горизонтальной составляющей теплового потока.
      Начальное условие - распределение температуры  в начальный момент времени (при ). Всюду в области решения G предполагается стационарное распределение температуры, которое задается с помощью уравнения (24), распространенного на всю область . 
 

    3. РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

 
      Для удобства решения приведем уравнение (19) распределения температуры в  среде к безразмерному виду. С  этой целью введем новые безразмерные переменные  , , . Тогда уравнение (19) в новых переменных будет иметь тот же вид
,                                    (25)
а область  изменения переменных задается неравенствами
.                                     (26)
      Введем  в области решения разностную сетку с шагом дискретизации  по переменной , шагом по переменной в области ее изменения и с шагом t - в области изменения времени так, что , , , , , , где - количество соответствующих шагов дискретизации.
     Примем  обозначения: - температура на n временном слое в точке с координатами , , - температура на n + 1 временном слое в той же точке, - промежуточная температура между n и n + 1 слоями с шагом по времени 0,5 .
      Скачкообразное  изменение коэффициента теплопроводности на границе среды  и включения аппроксимируем плавно меняющимися  сеточными функциями  

,
,
 

,
 

     Аппроксимируем  исходное уравнение (25) в соответствии с продольно-поперечной схемой (18). Получим:
     
      .      (27) 

     
      .    (28)
           Записанная схема (27) - (28) является неявной по соответствующим  координатам, абсолютно устойчивой и на равномерной сетке обеспечивает сходимость и аппроксимирует исходную задачу с точностью .
     Представим  разностные уравнения (27) - (28) в следующем  виде
      Первый  полушаг по времени: расчет изменения  промежуточной температуры по вертикали (по индексу k) для каждого фиксированного столбца (индекс i)
.                                 (29)

,
 

      Второй  полушаг по времени: расчет изменения  температуры на новом временном  слое по горизонтали (по индексу i) для каждой фиксированной строчке (индекс k) 

       .                              (30) 


                               
      
,
 

      Решение систем уравнений (29) и (30) осуществляется методом прогонки.
      Прогоночные коэффициенты для расчета изменения промежуточной температуры по вертикали рассчитываются снизу вверх по формулам
     
.

      Необходимые для начала счета значения определяются из граничного условия - существование постоянного потока q на нижнем слое  (k = Nk). В результате имеем
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.