Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Преобразование лапласа для аналитического решения дифференциальных уравнений

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 12.06.2012. Сдан: 2011. Страниц: 8. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ  “ГРОДНЕНСКИЙ 
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ”
 

    ФАКУЛЬТЕТ  СТРОИТЕЛЬСТВА  И  ТРАНСПОРТА 
 

    Кафедра ИСиТ 
 
 

    Курсовая  работа по предмету ”Информатика” 

    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  ЛАПЛАСА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА) 
 

    Специальность                                                          « ТЭА » 

    Автор работы
    Студент 2 курса, 3 группы                 Шикунов А.А. 

    Руководитель
    Доцент            Курстак В.Ю. 
 
 
 

    Гродно 2011
    СОДЕРЖАНИЕ
    ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3
    1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.…………………………………………………11
    2.СРЕДСТВА СРЕДЫ MATHCAD……………………………….…………14
    3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЕКТА В СРЕДЕ  MATHCAD……..………..18
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ.………………………………………………………………22
    ЛИТЕРАТУРА..………………………………………...………………………23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       

      ВВЕДЕНИЕ
     В настоящее время в связи с  развитием интегральной электроники  СВЧ диапазона становится актуальным моделирования активных полупроводниковых  элементов. Для моделирования и численного анализа устройств СВЧ микроэлектроники используется система MathCAD.
     MathCAD является интегрированной системой  программирования, ориентированной  на проведение математических, инженерно-технических,  статистических и экономических  расчетов. MathCAD содержит: текстовый редактор; вычислитель и графический процессор. Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Вычислитель системы MathCAD обеспечивает вычисления по сложным математическим формулам, имеет обширный набор встроенных математических функций, обеспечивает вычисления рядов, сумм и произведений, определенных интегралов и производных. Графический процессор служит для создания графиков. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, резко упрощает постановку и решение задач. Таким образом главные аспекты решения математических задач смещаются с их программирования на алгоритмическое и математическое описание.
     Область применения математического маятника не ограничена физикой и математикой, его применяют и в теории, и на практике во многих областях научного знания. Например, маятник применяют при исследовании вибрации в нелинейных механических системах. Важно и его применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения. Также маятники используют для регулировки хода часов. 
 

     1.1.УРАВНЕНИЯ  ДВИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО  МАЯТНИКА
     Математическим  маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.
     Рассмотрим  движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную Mt в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения
     mW=F+N,        (1) 
где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.      
 

                                                            Рис. 1
     Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.
      .       (2)
Считая  массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде
       или  ,
где W есть ускорение точки.
Итак  уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:
       или  .
В нашем  случае получим в проекции на ось t
     
где m есть масса маятника.

Так как  или , отсюда находим
     
Сокращая на m и полагая

      ,        (3) 
будем окончательно иметь:

      ,
      ,
      ,
      .       (4) 
          Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол
j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:
     при t = 0, .      (5) 
Из интеграла энергии:

      ,      (6) 
где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол
j?j0. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j0 мал (j0?1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид
      .       (7) 
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

      ,    (8) 
где A и B или a и
e суть постоянные интегрирования.
     Отсюда  сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)
       и 
     
т.к. sin имеет период равный 2
p, то wT=2p ?
             (9)                               

     Для нахождения закона движения при начальных  условиях (5) вычисляем:
      .     (10) 
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

     j0 = A, 0 = wB,
т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:
     j = j0cos wt.       (11)
Найдём  теперь точное решение задачи о плоском  математическом маятнике. Определим  сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как
     
то (4) можно представить в виде

     
Отсюда, умножая обе части уравнение на d
j и интегрируя, получим:
      .      (12) 
Обозначим здесь через
j0 угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j0 будем иметь , откуда C = w2cosj0. В результате интеграл (12) даёт:
      ,     (13) 
где
w определяется равенством (3).
     Этот  интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения
      ,      (14) 
где — работа на перемещении M0M активной силы F, если учесть, что в нашем случае v0=0, и (см. рис.).
 

     Из  уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j0 и -j0 (|j|?j0, так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:
     при t=0, j=0.       (15)
     Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:
     
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

      .     (16)
     Так как
     
то

     
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

      .     (17)
     Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно  найти квадратуру левой части. Для  этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:
      , где  .     (18) 
 
 

    Тогда
     
откуда

     
Кроме того,

     
Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя
w его значением (3), получим:
      .      (19)
     По  принятым начальным условиям (15) при  t=0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде
      .      (20)
     Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.
      .     (21) 
Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел
a как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:
     
или

      .        (22)
Беря  от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:
      .      (23)
     Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде
      .      (24) 

     Период  колебаний
     Найдём  период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j0 маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при j = 0 и a = 0, а при j = j0 величина , то из уравнения (20) имеем:
      .     (25)
     Таким образом, определение периода колебаний  маятника сводится к вычислению величины
      ,    (26) 
представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

     Известно (формула Валлиса), что
      .    (27) 
Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

     
Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

      .(28) 
Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

     
получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

      . (29)
     Следовательно, чем больше j0 (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода
      .      (30) 
 

     1.2.ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
     1.Прямое  преобразование Лапласа
     Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что: 

       

     Правая  часть этого выражения называется интегралом Лапласа. 

     2. Обратное преобразование  Лапласа
     Обратным  преобразованием Лапласа функции  комплексного переменного  , называется функция действительного переменного, такая что: 

       

где — некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича. 

     3. Двустороннее преобразование Лапласа
     Двустороннее  преобразование Лапласа — обобщение  на случай задач, в которых для  функции  участвуют значения x < 0
         Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:
       

     4. Дискретное преобразование Лапласа
     Применяется в сфере систем компьютерного  управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено  для решётчатых функций. 
Различают -преобразование и -преобразование.
 
 

     
    -преобразование
     Пусть 

       

решётчатая  функция, то есть значения этой функции определены только в
дискретные  моменты времени  , где — целое число, а — период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим: 

       

     
    -преобразование
     Если  применить следующую замену переменных:
     
получим Z-преобразование:
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.1.ФУНКЦИЯ  SERIES
    Разлагает выражение от одной или нескольких переменных в окрестности определенной точки. По умолчанию разложение имеет  вид полинома шестого порядка.
    Чтобы найти разложение функции по формуле  Тейлора в окрестности любой точки из области определения функции нужно:
      щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Symbolic по кнопке ;
      ввести с клавиатуры перед ключевым словом  series выражение для функции, после ключевого слова - выражение <имя переменной = точка, в окрестности которой строится разложение> и степень старшего члена в разложении (знак равенства можно ввести, щелкнув по соответсвующей кнопке панели Boolean).
      щелкнуть в рабочем документе вне выделяющей рамки;
        В рабочем документе отображается только сам многочлен Тейлора (частичная сумма ряда Тейлора). 

        Чтобы найти разложение функции по формуле Тейлора с помощью меню нужно:
      ввести функцию, выделить переменную, щелкнуть по строке Expand to Series в пункте Variable меню Symbolics;
      ввести в окне диалога степень старшего члена в разложении и     щелкнуть по кнопке Ok;
      в рабочем документе отображается соответствующее разложение с остаточным членом в форме Пеано.
 
     2.2.ФУНКЦИЯ  SOLVE
     Он отвечает за аналитическое решение уравнений. Общий вид этого оператора такой: уравнение solve, переменная > решение.
     Здесь уравнение — это именно то уравнение, решение которого мы хотим найти в общем виде, а переменная — это символ, обозначающий в нашем уравнении переменную величину. Его нужно указывать для того, чтобы MathCAD  мог отличить переменную от коэффициентов.
     Чтобы использовать данную функцию нужно нажать кнопку Solve на панели инструментов символьных вычислений и на то место, где должно быть записано уравнение. Затем ввести нужное уравнение.
     Чтобы переключиться в режим записи других слагаемых в уравнении, достаточно нажать на клавиатуре стрелку вправо. Вообще навигация по записям в  MathCAD при помощи стрелок вполне прозрачная. Надо передвигаться стабильно в том направлении, куда указывает стрелка, и перескакиваете в показатели степени и индексы автоматически.
       При записи уравнения в операторе solve "равно" нужно не обычное, а логическое — оно записывается с клавиатуры комбинацией Ctrl + =. При этом, если правая часть вашего уравнения равна нулю, то и ноль, и знак равенства можно опускать — MathCAD посчитает, что уравнение записано в стандартном виде, и успешно (если это, конечно, возможно) решит его. 

     2.3.ПРЯМОЕ  И ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  ЛАПЛАСА
    Преобразование  Лапласа — основа операционного исчисления довольно большого раздела математики, занимающегося решением дифференциальных уравнений с помощью перевода их в алгебраические.
    В терминах операционного исчисления функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, называется оригиналом, а та, которая получается в результате этого преобразования, изображением. Оригинал и изображение определены на различных множествах: изображение — функция комплексной переменной, в то время как оригинал - функция переменной действительной.
    В качестве простейшей функции для проведения над ней преобразования Лапласа обычно рассматривается функция Хевисайда.
    Это функция, значение которой определяется следующим образом: если аргумент меньше нуля, то ее значение равно нулю; если аргумент равен нулю, то ее значение равно одной второй; если аргумент больше нуля, то ее значение равно единице. Впрочем, поскольку мы вооружены мощнейшей математической средой MathCAD, нет нужды начинать с функции Хевисайда — мы сразу можем обратиться к более сложным примерам. Что ж, давайте теперь посмотрим, как применять преобразование Лапласа в MathCAD. Для этого обратимся к панели Symbolic. Прямое преобразование Лапласа, как вполне логично было бы предположить, выполняет оператор laplace — так оно собственно и есть. Этот оператор нужно поместить следом за функцией, которую нужно преобразовать (и которая, таким образом, будет оригиналом), а в качестве единственного параметра нужно указать переменную, относительно которой эта функция будет преобразовываться.
    Обратное  преобразование Лапласа делает все то же самое, только наоборот. То есть оно позволяет перейти от изображения функции к ее оригиналу, в связи с чем имеет очень высокую востребованность все в том же операционном исчислении. Применяется обратное преобразование Лапласа в MathCAD совершенно точно таким же образом, что и прямое, только для этого нужно использовать оператор invlaplace. 

    2.4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ ВИДА Y=F(X)
    MathCAD позволяет легко строить двухмерный график в декартовой системе координат.
    Существует  три способа построения графиков в системе MathCAD:
можно воспользоваться позицией главного меню Insert, выбрав команду Graph и в раскрывающемся списке — тип графика; выбрать тип графика на наборной панели Graph, которая включается кнопкой на панели Math; воспользоваться быстрыми клавишами ( они предусмотрены не для всех типов графиков). 
 

     Декартову систему координат на плоскости  представляет кнопка палитры X-Y Plot или клавиша @. Она выводит на текущее положение курсора шаблон двухмерного графика. Незаполненная графическая область представляет собой большой пустой прямоугольник с пустыми местами для ввода данных в виде тёмных маленьких прямоугольников, расположенных около осей абсцисс и орденат будущего графика по осям X и Y. Это могут быть функции некоторой переменной x, или элементы вектора, или строки матриц. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЕКТА В СРЕДЕ MATHCAD
    Задача. На материальную точку действуют  две силы: Сила тяжести P=M•g и реакция  нити R. Момент реакции нити относительно оси z равен 0, а момент силы тяжести -(M•g•l•sin?). Момент отрицателен, т. к. его направление противоположно направлению положительного отсчёта угла поворота ?. 

    Решение
    Для решения задачи применяем теорему  об изменении момента импульса материальной точки относительно оси z.
                  
    Сумма моментов всех сил:
    
    Момент  импульса маятника относительно оси z:
    
    
    
    
    Подставив значения суммы моментов всех сил, приложенных  к маятнику получим:
      
 

    После преобразований получим:
    
    Разложим  нелинейную функцию sin? в ряд
    
    Получаем  линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка
    
    Выполним  прямое преобразование Лапласа: 
 

    Введя обозначения:
    
    
    
    Получим:
    
    Произведём  обратное преобразование Лапласа по переменной s:
    
    Начальные условия:
    
    
    
    Сделав  соответствующие подстановки получим:
    
    
    
    
    где  k – круговая частота, ? – угловая  амплитуда
    
    
    
    
      
                   
    Период  колебаний маяника:      
    
                     
      Далее запишем:
    
    
    
    Окончательное уравнения движения маятника при малых колебаниях:
      

    График  колебаний маятника
    
 
 
                  
       

                           

                        

  

               Заключение

               В процессе выполнения данного курсового проекта был изучен метод и исследование колебаний математического маятника с применением преобразований Лапласа.

               В данной программе  было использовано  прямое и обратное  преобразование Лапласа  для аналитического  решения дифференциальных  уравнений. При аналитическом подходе так же, как и в вычислительном эксперименте, строится математическая модель. Но исследуется эта модель исключительно посредством аналитических выкладок, без привлечения каких-либо численных методов. Если аналитических выкладок оказывается достаточно, то данный подход приводит к строгому точному решению.

               Однако на практике аналитическому подходу обычно отводится роль инструмента для (сравнительно быстрого) получения грубых оценок. Объясняется это тем, что аналитическими выкладками удается ограничиться только для несложных, сильно упрощенных моделей реальных процессов. Получаемое тут строгое аналитическое решение на самом деле в силу исходного огрубления модели оказывается весьма далеким от совершенства. Напротив, численные методы, применяемые в вычислительном эксперименте, дают возможность изучать более сложные модели, достаточно полно и точно отражающие исследуемые процессы.

                Отмеченные достоинства  вычислительного  эксперимента вывели  его в число  основных методов  исследования таких  крупных физических  и инженерно-технических  проблем, как задачи  ядерной энергетики, освоения космического пространства и др. Программные комплексы, обслуживающие вычислительный эксперимент, объемны и сложны.
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.