На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Моделирование геометрией Лобачевского экспоненциальной неустойчивости на геодезических пространствах отрицательной кривизны. Формулировка аксиомы параллельности, противоположной евклидовой. Изменение кривизны в пространстве. Гауссова кривизна поверхности.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 24.11.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»

Физический факультет
Кафедра теоретической физики
Параллельный перенос в пространстве Лобачевского
Курсовая работа
Исполнитель:
студент группы Ф-46м _____________________ Замараева А.В.
Научный руководитель:
Доцент, К. Ф. - М. Н. , доцент кафедры теоретической физики
Капшай В. Н.
Гомель 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Пространство мира
2 Описание пространства Лобачевского
3 Параллельный перенос вектора
4 Геометрия Лобачевского
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
Основным признаком современных представлений о пространстве является их диалектический характер. Собственно говоря, именно диалектико-материалистический подход к проблеме пространства, стихийный или сознательный, имеющий свои корни в предшествующих философских и научных системах, и позволил создать картину пространства, объясняющую многие проблемы, перед которыми останавливались мыслители прежних эпох, но, пожалуй, ставящую еще больше новых проблем. Однако это естественно: чем больше мы узнаем, тем больше понимаем, насколько ограниченны наши знания, накопленные за всю историю человечества, перед миром.
Геометрия Лобачевского (как двумерная, так и многомерная) моделирует экспоненциальную неустойчивость геодезических на пространствах отрицательной кривизны. Аналогично, сфера моделирует возникновение сопряженных точек на пространствах положительной кривизны.
Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (то есть абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующей аксиомы, противоположной аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.
1 ПРОСТРАНСТВА МИРА
Корни развития представления о пространстве уходят в немецкую философию. Если Ньютон довел до логического завершения материалистически-атомистическую тенденцию развития представлений о пространстве, то идеалистическую трактовку пространства в наиболее развернутой форме дал Гегель, критически продолжив линию Лейбница и доведя ее с идеалистически-диалектических позиций до логического завершения. Пространство, считает Гегель, находится в неразрывной диалектической взаимосвязи со временем, движением и материей: “лишь в движении пространство и время действительны”, но “точно так же, как нет движения без материи, так не существует материи без движения”.
Гегель утверждает: “...Пространство и время непрерывны в самих себе, и движущееся тело одновременно находится и не находится в одном и том же месте, т.е. одновременно находится в другом месте, и точно так же одна и та же временная точка существует и вместе с тем не существует, т.е. есть вместе с тем другая точка”. Или: «Две точки сливаются в единую точку, и в то время, когда они есть в одном, они также не есть в одном. Движение и состоит именно в том, что тело находится в одном месте и одновременно в другом месте, причем столь же верно, что оно находится не в другом, а именно в данном месте».
Пространство и время есть формы существования материи. В III веке до нашей эры Евклид завершил создание своей геометрии, которая господствовала в науке около трех тысячелетий и в практически неизменной форме дошла до нашего времени. Вспомним три основные аксиомы евклидовой геометрии:
1) между двумя точками можно провести одну и только одну прямую;
2) эта прямая есть кратчайшее расстояние между точками;
3) через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Обыденная практика подсказывает, что эти аксиомы совершенно очевидны и не требуют специального геометрического либо какого-то другого математического доказательства.
Возможность отказа от одной из аксиом евклидовой геометрии либо построения любой другой внутренне непротиворечивой системы аксиом ставит вопрос о возможности существования других геометрий, описывающих пространство нашего мира.
В 1829 году русский математик Н. И. Лобачевский опубликовал статью “О началах геометрии”, в которой он утверждает, что возможно построение геометрии без аксиомы о параллельности прямых в смысле евклидовой геометрии, причем новая геометрия будет также логически непротиворечива. Аналогичная идея была высказана венгерским математиком Яношем Бояи и немецким математиком Карлом Гауссом. Интересно, что новые идеи возникли в одно и то же время независимо в Казани, Будапеште и Геттингене и долго оставались малоизвестной областью науки.
Первым, кто целиком понял их значение, был выдающийся немецкий математик Бернхард Риман, создавший общую теорию геометрических многообразий (1854 год). Данная теория допускала не только существовавшие виды неевклидовых геометрий, но и многие другие, названные римановыми геометриями. Это было выдающееся обобщение классической геометрии, получившее признание лишь с развитием неклассической науки.
Основная идея геометрии Лобачевского заключается в новой формулировке аксиомы параллельности, противоположной евклидовой: к данной прямой через данную точку, лежащую вне ее, можно провести по меньшей мере две прямые так, что они не пересекают данную прямую. Очевидно, что любая прямая, расположенная между этими прямыми и проходящая через данную точку, также не пересечет данную прямую. Таким образом, через данную точку можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной. Все другие аксиомы Евклида сохраняются. Из этого Лобачевский выводит ряд теорем, которые не противоречат друг другу, и строит логически непротиворечивую геометрию, которая значительно отличается от евклидовой и кажется весьма странной. Так, сумма углов треугольника всегда меньше 180°; невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую другие размеры; расстояние между двумя прямыми в одном направлении асимптотически увеличивается, а в другом, противоположном, асимптотически уменьшается; угол параллельности меняется в зависимости от расстояния от точки, через которую проводится параллельная линия, до данной линии и т.д.
Можно построить двумерный образ геометрии Лобачевского путем вращения трактрисы вокруг оси OY как оси вращения. Полученная поверхность носит название псевдосферы. На такой поверхности кратчайшей линией между двумя точками будет кривая, называемая геодезической. Эта кривая и соответствует прямой Лобачевского. При передвижении фигуры по поверхности будет меняться кривизна фигуры, но сохранятся углы, отрезки и величина площади.
Рисунок 2
Двумерный аналог геометрии Лобачевского: трасоида (а) и псевдосфера, образованная вращением трасоиды вокруг оси ОY (б).
АВ - геодезическая (кратчайшее расстояние между точками А и В в пространстве Лобачевского. KLM - треугольник в пространстве Лобачевского; РК--+Р--L--+Р М < 180°.
Наглядный образ, соответствующий трехмерной геометрии Лобачевского, построить не удается, так как геометрия в обыденном представлении остается евклидовой. Однако удалось доказать логическую непротиворечивость и существование такой геометрии. Основная идея доказательства заключается в том, чтобы свести геометрию Лобачевского, построенную как планиметрию (т.е. на плоскости), к геометрии на трехмерной гиперповерхности постоянной отрицательной кривизны (аналогом такой гиперповерхности-псевдосферы может быть трехмерный гиперболоид) в четырехмерной евклидовой геометрии. Модель трехмерной геометрии Лобачевского можно представить в виде бесконечной седловидной поверхности гиперболической формы, поэтому такую геометрию обычно называют гиперболической.
Риман обобщил геометрические представления и создал теорию произвольно искривленных пространств. Заслуга его состоит и в разработке частных случаев неевклидовых геометрий, в том числе в создании эллиптической геометрии, выступающей антитезой гиперболической геометрии Лобачевского. Эллиптическая геометрия - это геометрия на трехмерной гиперсфере. Двумерной ее аналогией является геометрия на поверхности обычной сферы. Здесь можно видеть, что представление о параллельных линиях вообще теряет всякий смысл, ибо все “параллельные” в локальном смысле линии представляют собой линии большого круга, пересекающиеся на полюсах сферы, а сумма углов треугольника, образованных этими линиями, всегда больше 180°.
Следует особо отметить, что при малых величинах неевклидовы геометрии можно считать евклидовыми.
Вот три рода изменений кривизны в пространстве, которые мы должны признать лежащими в пределах возможного:
I. Пространство наше, быть может, действительно обладает кривизной, меняющейся при переходе от одной точки к другой, - кривизной, которую нам не удается определить или потому, что мы знакомы лишь с небольшой частью пространства, или потому, что смешиваем незначительные происходящие в нем изменения с переменами в условиях нашего физического существования, последние же мы не связываем с переменами в нашем положения...
II. Наше пространство может быть действительно тождественно во всех своих частях (имеет одинаковую кривизну), но величина его кривизны может изменяться как целое во времени. В таком случае наша геометрия, основанная на тождественности пространства, сохранит свою силу для всех частей пространства, по перемены в кривизне могут произнести в пространстве ряд последовательных видимых изменений.
III. Мы можем мыслить наше пространство как имеющее повсюду приблизительно однородную кривизну, но легкие изменения кривизны могут существовать при переходе от одной точки к другой, в свою очередь изменяясь во времени. Эти изменения кривизны во времени могут произвести явления, которые мы не так уж неестественно приписываем физическим причинам, не зависящим от геометрии нашего пространства”
Интересно то, что все эти три варианта изменения кривизны пространства нашли свое воплощение в общей теории относительности.

2 ОПИСАНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЛОБАЧЕВСКОГО
Представим отрезок АB в прямоугольной системе координат (евклидово пространство). Его длина определится по теореме Пифагора как
()2 = (x2 - x1)2 + (у2 - у1)2, (1)
где x1, x2, y1, y2 - проекции концов отрезка АВ на оси Х и Y, или
(AB)2--=--Dx2--+--Dy2 . (2)
Для бесконечно малого расстояния между двумя точками принят символ ds. Поэтому, если точки А и В сближаются все больше и больше, можно написать
ds2 = dx2 + dy2 (3)
Предположим, что система координат относительно начала координат О повернулась на некоторый угол б.
Обозначим новую систему координат как X'Y'. Тогда расстояние между точками, не изменившееся по величине, запишем как
ds2= dx' 2 + dy' 2. (4)
Поскольку при любом вращении или параллельном переносе координат величина расстояния не изменяется, она называется инвариантной относительно преобразования координат. Для косоугольной системы координат квадрат длины отрезка АВ, который называется в общем и строгом смысле квадратом интервала, запишем (на основе той же теоремы Пифагора) в виде
ds2= dx 2 + dy 2 + 2 dxdy cos б (5)
При этом, как можно видеть, численное значение интервала не изменяется, хотя формула для его выражения имеет более сложный вид, чем формула (3), т.е. и в данном случае интервал является инвариантом относительно замены координат.
Рассмотрим описание интервала в неевклидовой геометрии. Но чтобы лучше понять смысл этого описания, сравним геометрию двумерного пространства с геометрией двумерной сферы. В качественном отношении эти пространства одинаково однородны и изотропны, так как и в случае сферы все ее точки эквивалентны относительно поворотов осей координат или их параллельного переноса.
Введем сферическую систему координат. Она состоит из заданной фиксированной точки О, из произвольно ориентированной в пространстве прямой с, проходящей через центр О, из полуплоскостей, ограниченных этой прямой, из конических поверхностей с вершиной в точке О и прямой с в качестве оси и из сфер с центром в точке О. Прямая с как радиус есть параметр семейства сфер с центром О. Параметром семейства полуплоскостей является угол ц, который образует полуплоскость с так называемой полуплоскостью нулевого меридиана (аналогична географической долготе). Параметр семейства конических поверхностей - угол раствора и, который измеряется между положительным направлением прямой с и образующей боковой поверхности конуса (полярный угол).
Выберем из семейства сфер, задаваемых параметром с, некоторую сферу радиусом r (с = r). Тогда координаты точки А на поверхности сферы определяются на основе сказанного следующим образом. Зафиксируем большой круг QQ', называемый экватором, и большой круг PР', называемый пулевым меридианом (Р и Р' - полюса). Большие полукруги сферы, исходящие из полюса Р, называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, - долготами. Угол ц, т.е. угол между нулевым меридианом и меридианом точки A (азимутальный угол), отсчитываемый против часовой стрелки (долгота), и угол и, отсчитываемый от полюса Р до долготы точки А (полярный угол), вполне задают координаты точки А. Аналогичным образом определяются координаты точки В. Тогда интервал между двумя бесконечно близкими точками А и В (элементарный интервал АВ) можно получить из выражения
ds2 = r2 sin2 qdj2--+--r2--d--q2 . (6)
Выражение (6) никакими преобразованиями нельзя свести к простой формуле (3) одновременно для всей поверхности сферы. Такую операцию можно осуществить лишь локально, выбирая направление на бесконечно малом участке сферы, так чтобы Рq--= 90°, и это фиксирует систему координат применительно только к данному участку сферы. В целом же, глобально, сделать это невозможно, что отражает неевклидовость сферы.
Следующий шаг по пути обобщения представления пространственного интервала связан с его описанием на любой произвольной криволинейной поверхности. Из анализа сферической системы координат мы видим, что вводятся элементы, фиксирующие тот факт, что поверхность искривлена, т.е. углы и радиус, которые, однако, при минимальной значимой локализации (грубо говоря, “выпрямлении” кривизны, представлении каждой достаточно малой локальной области поверхности в виде плоскости) дают инвариантный интервал - интервал, не изменяющий своей величины при преобразовании координат.
Представим, что мы имеем координатные линии любого искривления, в наиболее простом виде - косоугольные (гауссовы) с двумя измерениями U и V. Тогда
ds2 = К du2 + 2L du dv + М dv2 , (7)
где К, L, М - величины, меняющиеся от точки к точке, т.е. характеризующие искривление поверхности. Эти величины могут измеряться с помощью бесконечно малых масштабов длины и угла и характеризуют геометрию самой поверхности.
Прикладывая бесконечно малые интервалы друг к другу, мы можем найти кратчайшее расстояние между двумя точками, которое в самом общем случае называется геодезической. Последняя является аналогом прямой линии в декартовой прямоугольной системе координат (евклидовом пространстве). Для каждого бесконечно малого интервала мы можем построить окружности и на этой основе определить соответствующие углы (предлагаем сравнить со сферической системой координат). Прямые линии и углы позволяют нам проводить любые геометрические построения.
Эти линии и углы с геометрической (но не с физической) точки зрения поддаются точным измерениям. Если поверхность евклидова декартовой системой координат, то наши измерения подтвердят аксиомы Евклида. Если поверхность - сфера, то постулат о параллельности прямых не выполняется. Не выполняется и постулат о бесконечной протяженности прямой линии. В этом случае каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает ее, а движение от данной точки по прямой снова приведет в эту данную точку независимо от направления перемещения. Если же поверхность образована вращением трасоиды вокруг оси (простейшая псевдосфера Лобачевского), то через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более чем одна линия, лежащая в одной плоскости с данной прямой и не пересекающая ее.
Можно сказать, что кривизна - это величина, характеризующая отклонение кривой (линии либо поверхности) от прямой (линии или плоскости). Отклонение дуги АА' кривой L от касательной АВ к точке А можно описать так называемой средней кривизной kcp этой дуги, равной отношению величины угла б между касательными в точках А и А' к длине ?s дуги АА':
(8)
Для дуги окружности радиусом r путем сравнения выражения длины дуги Ds, получаемого из равенства (8), с известным выражением длины дуги окружности можно показать, что
(9)
Таким образом, можно видеть, что чем больше радиус дуги, тем меньше кривизна, и наоборот, т.е. средняя кривизна достаточно наглядно показывает степень искривленности. Пусть точка А' стремится к точке А, т.е. Ds--®--0.Тогда мы получим предельное значение средней кривизны kcp кривой L в точке А:
(10)
Для характеристики кривизны поверхности в окрестностях точки А построим плоскость L, проходящую через нормаль NA к поверхности в точке А, т.е. через прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную касательной прямой в этой точке поверхности. Построенная нами плоскость L будет естественно перпендикулярна плоскости K, касательной к поверхности S в точке А. Ясно также, что существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через данную нормаль, и каждая из них пересекает поверхность по некоторой кривой, которую в малой окрестности точки А можно считать частью окружности.
Предположим, далее, что наша плоскость поворачивается вокруг нормали как оси. Тогда можно видеть, что радиус таких окружностей будет непрерывно меняться, так как в каждый момент меняется кривизна поверхности в окрестности точки А, называемая нормальной кривизной поверхности в этой точке. Мы получим непрерывное множество значений нормальной кривизны.
Можно также заметить, что существуют максимальное и минимальное значения радиусов получаемых окружностей, следовательно, существуют соответствующие минимальное н максимальное значения нормальной кривизны. Если R1 и R2 - максимальный и минимальный радиусы, то k1 = 1/R1 и k2 = 1/R2 - минимальное и максимальное значения кривизны, которые называются главными значениями кривизны поверхности в точке А. Вводимые по определению величина
(11)
называемая гауссовой кривизной поверхности в точке А, и величина
(12)
называемая средней кривизной поверхности в точке А, полностью характеризуют отклонения поверхности от плоскости. В частности, если k и kcp равны 0 во всех точках поверхности, то поверхность представляет собой плоскость.
Интересен тот факт, что гауссова кривизна не меняется при изгибаниях поверхности и описывает без обращения к еще одному измерению пространства (т.е. к пространству, объемлющему поверхность) так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Средняя кривизна связана с внешней формой поверхности. В случае одномерной линии для определения ее кривизны придется выйти в двумерное пространство. Совершенно ясно, что для гипотетических обитателей двумерной поверхности, для которой мы выясняли смысл понятия кривизны, наши построения невозможны, так как для двумерного существа понятия нормали к точке А не существует, ибо сама нормаль непредставима, как непредставима для нас нормаль к нашему пространству из пространства с большим числом измерений: она лежит во внешнем пространстве и находится, таким образом, целиком вне поверхности. Не могут построить они и окружности к точке А, также выходящие в трехмерное пространство.
Следовательно, на первый взгляд эти двумерные существа не смогут понять смысл величин R1 и R2 и и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.