На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 10.11.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


13
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Алматинская область Карасайский район
Секция: математическая
ТЕМА: Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки
Школа им. Ш. Кудайбердыулы
Ученик 8 класса
Басов Ярослав Андреевич
Научный Руководитель:
Нигматуллина Ирина Ильдаровна
Научный консультант:
Поселок Нурлытау 2009 г.
План
    Введение
      Глава 1. Цель исследования
      Глава 2. Методика исследования данной работы
      Глава 3. Результаты исследования и их практическая значимость
      Список использованной литературы
      Приложение

Введение

Основная цель при решении систем линейных уравнений - решить систему уравнений, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются:

1-графический способ,

2. способ подстановки,

3 - способ сложения.

Практическое применение этих способов - это решение задач, по алгебре, физике, химии, геометрии.

1 - Кроме этого умение определить без построения графиков число решений системы линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Основная цель, которая ставится при изучении темы - понять, то, что вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений (если исключить выраженный случай а=0, в=0 для линейного уравнения ах + ву = с) сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы.

Известно, что графиком линейного уравнения является прямая.

Рассмотрим три случая расположения прямой.

Случай 1.

Прямые, являющиеся графиком уравнения, входящих в эту систему, пересекаются. Решим систему уравнений:

Уравнениями у = - 1, Iх + 12 и у = - 6х + 18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны. Значит, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения Данная система имеет единственное решение: пара чисел.

Случай 2.

Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны. Решим систему уравнений:

Прямые, являющиеся графиками линейных функций у = - О,4х+О,15 и

У = - О,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений

Случай 3.

Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают.

Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х - произвольное число, а у = - 2,5х - 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.

Главная проблема при решении системы линейных уравнений графическим способом у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую.

не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс).

Рассмотрим способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными, называемый способом подстановки. Начнем с задачи.

Ученик задумал два числа. Первое число на 7 больше второго. Если от утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 27 Какие числа задумал ученик?

Решение: Пусть х - первое число, у - второе число. По условию задачи составим систему уравнений.

В первом уравнении выразим х через у: х = у + 7.

Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему

Второе уравнение системы представляет собой уравнение с одной переменной.

Решим его:

Зу+2I-2у=27; у=6.

Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим:

х=6+ 7;

х= 13.

Пара чисел (13;

6) является решением системы. Ответ: (13;

6).

Главная проблема при решении системы линейных уравнений способом подстановки у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую.

не умение, подставить уже полученную переменную (не видят)

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Решим систему уравнений:

В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами. Сложив почтенно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

3х = 33.

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением 3х=33. Получим систему:

Система (2) равносильна системе (1). Решим систему (2). Из уравнения 3х=33 находим, что х=11. Подставив это значение х в уравнение х-3у=38, получим уравнение с переменной у:

Решим это уравнение:

II-Зу=38.

3у=27,у= - -9.

Пара (11; - 9) - решение системы (2), а значит, и данной системы (1).

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы (1) коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (2), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Геометрически равносильность систем (1) и (2) означает, что графики уравнений 2х+3у= - 5 и х-3у=38 пересекаются.

Главная проблема при решении системы линейных уравнений способом подстановки у учащихся это?

1) не умение, подставить уже полученную переменную (не видят)

Проанализировав основные проблемы решение линейных систем уравнений с двумя переменными, можно сделать вывод:

Главная проблема при решении систем линейных уравнений различными способами у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую. (в трех случаях)

не умение, подставить уже полученную переменную (в двух случаях)

И обе эти проблемы встречаются при решении линейных систем уравнений способом подстановки.

Почему я решил проводить исследование в этой области?

Проанализировав основные проблемы решение линейных систем уравнений с двумя переменными, можно сделать вывод.

Главная проблема при решении систем линейных уравнений различными способами у учащихся это?

не умения, выражать одну переменную через другую. (в трех случаях)

не умение, подставить уже полученную переменную (в двух случаях)

И обе эти проблемы встречаются при решении линейных систем уравнений способом подстановки.

Кроме этого, решение задач составлением систем уравнений, по физике, алгебре, геометрии и химии для таких учащихся останутся недоступными. Поэтому я решил, заняться, поиском более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Я считаю, что моя работа, в этом направлении очень актуальна.

Глава 1. Цель исследования

1. Найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное в древневавилонских текстах, написанных в III-II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.

Задача 1 “Площади двух своих квадратов я сложил: . Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5".

Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была известна, получает:

Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор приходит к квадратному уравнению:

Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время, автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его “Арифметики".

Задача 2. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов - 208".

Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:

Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, получает (в современных обозначениях):

Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно), получаем

x = 2 + 10; у = 10 - 2. Далее, х2 + у2 = (г + lO) 2 + (10 - г) 2 == 2z2 + 200.

Таким образом,

2z2 + 200 = 208,

Откуда

z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 - 2 = 8.

В поисках различных решений я обнаружил следующее.

Основные методы решения рациональных уравнений.

1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле

Также используется теорема Виета:

x1 + x2 = - b / a; x1x2 = c / a.

2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа - ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение (x2 + x - 5) / x + 3x / (x2 + x - 5) + 4 = 0,легко решается с помощью подстановки (x2 + x - 5) / x = t, получаем t + (3/t) + 4 = 0. Или: 21/ (x2 - 4x + 10) - x2 + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку x2 - 4 = t. Тогда 21/ (t + 10) - t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x2 + 2x) 2 - (x +1) 2 = 55.

Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x) 2 - (x2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t.

Имеем t2 - t - 56 = 0, t1 = - 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = - 7 и x2 + 2x = 8. В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее". Например

1) Уравнение (x + a) 4 + (x + b) 4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t - (a + b) / 2.

2) Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn - 1 + … + a1x + a0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1/x = t, если n - чётное; если n - нечётное, то уравнение имеет корень x = - 1.

3) Уравнение вида (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = l сводится к квадратному, если a + b = c + d и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an - 1xn - 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q, где p - делитель a0, q - делитель an, p и q взаимно просты, pZ, qN.

5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) 0, f (x) =

f (x), если f (x) < 0.

Это уже изученные методы и широко применяемые в практической математике. Выделенные жирным курсивом - это методы мною изучаемые 5) “Искусство", - это то, что мне предстоит найти.

Хотелось бы остановится на некоторых из них.

Метод Гаусса.

Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Коэффициенты a 11, 12,..., a 1n,..., a n1, b 2,..., b n считаются заданными. Вектор - строка н x 1, x 2,..., x n э - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D = з A к = з a ij з, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.

a). Если D № 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом ГАУССА. б). Если D = 0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна, т.е. решений нет.

1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.

(2).

Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем: Разделим все члены первого уравнения на , а затем, умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено, и получиться система вида:

(3)

Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получиться система треугольного вида:

(4)

Из последнего уравнения системы (4) находим , подставляя найденное

подставляя найденное значение в первое уравнение, находим .

Методом Гаусса решить систему:

Решение: Разделив уравнение (а) на 2, получим систему

Вычтем из уравнения (b) уравнение , умноженное на 3, а из уравнения (c) - уравнение , умноженное на 4.

Разделив уравнение () на - 2,5, получим:

Вычтем из уравнения () уравнение , умноженное на - 3:

Из уравнения находим Z=-2; подставив это значение в уравнение , получим Y=0,2-0,4Z=0,2-0,4 (-2) =1; наконец, подставив значение Z=-2 и Y=1 в уравнение (a 1), находим X=0,5-0,5Y-Z=0,5-0,5 1 - (-2) =2. Итак, получаем ответ X=2, Y=1, Z=-2.

Проверка:

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = - b /a.

Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = - b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. Y0 = aX0 + b.

Пример 1.1 Решить уравнение

2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример 1.2 Решить уравнение 2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.

Решение.2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.



Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.