На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. Степенные и показательные функции и их свойства. Опыт проведения занятий со школьниками по теме: Решение показательно-степенных уравнений и неравенств.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 26.09.2014. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


белгородский государственный университет

КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии

Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.
Дипломная работа студента физико-математического факультета


Научный руководитель:
______________________________
Рецензент : _______________________________
________________________

Белгород. 2006 г.
Содержание.
Введение
3
Тема I.
Анализ литературы по теме исследования.
Тема II.
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
I.1.
Степенная функция и ее свойства.
I.2.
Показательная функция и ее свойства.
Тема III.
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Тема IV.
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Тема V.
Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
V.1.
Обучающий материал.
V.2.
Задачи для самостоятельного решения.
Заключение.
Выводы и предложения.
Список используемой литературы.
Приложения

Введение.

«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.

В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию -- человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со-стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попы-таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше -- не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ-ляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта -- учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи-терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда -- с необходи-мостью -- и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 - 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени - это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению - следствию или неравенству - следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
1. Проанализировать литературу по данной теме.
2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1. Обучающий материал.
2. Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».
В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.
В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.
В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.
В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ-ция у = хn, где n -- натуральное число, называется степен-ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ-ностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональ-ности.
Перечислим свойства функции у = kx.
Область определения функции -- множество всех действительных чисел.
y = kx -- нечетная функция (f( -- х) = k ( -- х)= -- kx = -k(х)).
3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
Гра-фик (прямая) изображен на рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:
Функция у --х2. Перечислим свойства функции у = х2.
Область определения функции -- вся числовая прямая.
у = х2-- четная функция (f( -- х) = ( -- x)2 = x2 = f (х)).
На промежутке [0; + ??) функция возрастает.
В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.
4) На промежутке (--оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если ,то -- х1 > -- х2 > 0, а потому
(--х1)2> ( -- х2)2, т. е. , а это и означает убывание функции.
Графиком функции y2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n = 3 полу-чаем функцию у = х3, ее свойства:
Область определения функции -- вся числовая прямая.
y = х3 -- нечетная функция (f ( -- х) = { -- x)2 = -- х3 = -- f (x)).
3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он на-зывается кубической параболой.
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n-- произвольное четное натуральное число, большее двух:
n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функ-ции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n -- произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции на-поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показа-телем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n -- натуральное чис-ло. При n = 1 получаем у = х-n или у = Свойства этой функции:
График (гипербола) изоб-ражен на рисунке II.4.
Пусть n -- нечетное число, большее единицы,
n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает
Рис. II.4.
график функции у =. Пусть n -- четное число, например п = 2. Перечислим не-которые свойства функции у = х-2, т. е. функции y = .
Функция определена при всех х0.
y = четная функция.
y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (--оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у = изображен на рисунке. Ана-логичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .
Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показа-телем. Рассмотрим функцию у = хr, где r -- положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.
Область определения -- луч [0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = хr возрастает на [0; +оо).
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .
На том же рисунке изображен график функции . Подоб-ный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .
Степенная функция с отрицательным дробным пока-зателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r -- положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
Область определения -- промежуток (0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у -- х таблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеет график любой функции
у = хr, где r -- отрицательная дробь.
Рис. II.6.
II. 2. Показательная функция и ее свойства.

Функция, заданная формулой вида у = ах, где а -- некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель-ной.
Функция у = ах при а>1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.7.):
а) область определения -- множество всех действительных чисел;
б) множество значений -- множество всех положительных чисел;
Рис. II.7.
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если x > 0, то аx > 1;
е) если х < 0, то 0 < ах < 1.
3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.8.):
а) область определения D(f)=R;
б) множество значений E(f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0 < ах < 1;
е) если х < 0, то ах > 1.
Рис. II.8.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.

Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример №1.

Решение
1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 - это решение.
2) x - 3 = 1, x2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.
4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 -верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 - верно это решение x5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.

Решение
По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 00 это не решение.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
4) =
Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.
Ответ: 2.
Пример №3.

Решение
1) = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) ? 0 т.е. . Тогда можем записать:
3) = 1. = 0
и
4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)-1 ? (-1)0. Это не решение. При х = 1 (-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.
5) ? 0 и ? ±1 имеем = 0, = -1 или
= 1. Эти корни уже учтены.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.

Решение
1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
при ,
2) , .
3) , .
, (-1)0 = (-1)0 это решение.
.
4) и
или
При (-4)0 = 1 - верно.
Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.

Решение
1) , , это не решение.
2) , и .
3) отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,
х = 5, 315 = 315 - верно. х3 = 5,
х = 2 - не является решением.
Ответ: 1,3,5.
Пример №6

Решение
1) не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.
2) . или .
3) отрицательных значений не имеет.
4) При ,
, т.к. , то . Проверка 20 = 1 - верно.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7

Решение
1) , , , . Это решение .
2) , .
3) , , - четное и -3х - четное. Это решение. х2 = -4.
4) и , , , , 4-3 = 4-3 - верно. .
Ответ: -4, -3, -2, 1
Пример №8

Решение
ОДЗ: ,
, ,
и
Все решения принадлежат уравнению =2.
, , и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.
Ответ: -4, -1.
Пример №9

Решение
ОДЗ: , , .
1) решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При , или ,
ОДЗ, ОДЗ.
Значит все решения содержатся в уровнении = 0, или .
Проверка: , 20 = 1 - верно.
, - верно.
Ответ: 0, 3/2.


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.