На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Характеристика и основополагающие свойства силовых подгрупп конечных групп, определение и доказательство соответствующих лемм. Понятие и свойства супердобавлений. Строение группы с максимальной и силовской подгруппой, обладающей супердобавлением.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 05.01.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Дипломная работа
"Полунормальные подгруппы конечной группы"

Содержание
Введение
1 Силовские подгруппы конечных групп
2 Полунормальные подгруппы
2.1 Свойства супердобавлений
2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам
2.3 Супердобавления к силовским подгруппам
3 Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами
3.1 Силовские множества и их свойства
3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых
групп
Заключение
Список использованных источников
Введение
В теории конечных групп видное место занимают результаты, связанные с исследованием существования дополнений к выделенным системам подгрупп. В классических работах Шура, Цассенхауза, Гашюца, Л.А. Шеметкова устанавливаются условия, при которых существует дополнение к нормальной подгруппе. В 1968 году в работе для получения существования дополнений к нормальной подгруппе Л.А. Шеметков стал рассматривать добавления. В настоящее время под минимальным добавлением к подгруппе в группе понимается такая подгруппа , что , но для любой собственной подгруппы из . Очевидно, что любая подгруппа конечной группы обладает минимальным добавлением. Ясно также, что дополнение является частным случаем минимального добавления.
Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как отмечает в своей монографии С.Н. Черников: «Изучение групп с достаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными результатами». К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались -дополняемость, -плотность подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др.
Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.
Квазинормальной называют подгруппу группы , которая перестановочна со всеми подгруппами группы . Ясно, что нормальные подгруппы всегда квазинормальны.
Минимальное добавление к квазинормальной подгруппе группы обладает следующим свойством: если - подгруппа из , то - подгруппа группы . Это наблюдение позволяет ввести следующее определение: минимальное добавление к подгруппе группы назовём супердобавлением, если является подгруппой для любой подгруппы из . Ясно, что нормальные и квазинормальные подгруппы обладают супердобавлениями. В симметрической группе силовская -подгруппа обладает супердобавлением, но не является квазинормальной подгруппой. Кроме того, не каждая подгруппа группы обладает супердобавлением.
Всякую факторизуемую группу можно рассматривать как группу с подгруппой и её добавлением , и как группу с подгруппой и её добавлением . Известно, что группа с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и не всегда является сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к сверхразрешимости группы с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и :
- подгруппы и имеют взаимно простые индексы;
- группа имеет нильпотентный коммутант;
- подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из , а подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Подобная тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.
В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах.
1. Силовские подгруппы конечных групп
По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное число делит порядок конечной группы , то в группе может и не быть подгруппы порядка .
Пример 1.1 Знакопеременная группа порядка 12 не содержит подгруппу порядка 6.
Допустим противное, пусть - подгруппа порядка 6 в группе . Тогда и . Группа содержит подгруппы
Если , то и , противоречие. Поэтому , а т. к. , то . Противоречие. Поэтому допущение не верно и группа не содержит подгруппу порядка 6.
Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей порядка конечной группы имеется подгруппа порядка .
Положительный ответ на этот вопросв случае, когда - степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.
Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы делится на простое число , то в группе существует элемент порядка .
Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группа порядка , простое число делит , то в группе существует элемент порядка . Пусть .
Если делит для некоторого , то - элемент порядка , противоречие. Поэтому все элементы группы имеют порядки, не делящиеся на .
не делится на .
Так как группа абелева, то - подгруппа, и к произведению можно применить следующее
не делится на .
Затем обозначаем через и опять получаем, что не делится на . Через конечное число шагов приходим к выводу, что не делится на . Но
и , т.е. получаем, что не делит . Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.
Пусть - простое число. - Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа . Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .
Теорема 1.3 . Пусть конечная группа имеет порядок , где - простое число и не делит . Тогда спарведливы следующие утверждения:
в группе существует подгруппа порядка для каждого ;
если - -подгруппа группы и - подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;
любые две подгруппы порядка сопряжены в группе ;
число подгрупп порядка в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .
Доказательство. Доказательство проведём индукцией по . По индукции считаем, что для всех групп, порядок которых меньше порядка утверждение теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Порядок центра делится на .
Так как - абелева группа, то к применима лемма 1.2. По этой лемме в есть элемент порядка . Так как - нормальная подгруппа группы порядка , то факторгруппа имеет порядок и по индукции в группе имеется подгруппа порядка для каждого . По теореме о соответствии в группе имеется подгруппа такая, что и . Теперь , где . Итак, в группе порядков соответственно.
Случай 2. Порядок центра группы не делится на .
Рассмотрим разложение группы в объдинение различных классов сопряжённых элементов
где
- класс сопряжённых с элементов. Различные классы сопряжённых элементов имеют пустое пересечение, а число элементов в классе равно индексу централизатора . Пусть
Централизатор каждого элемента из центра совпадает с группой . И обратно, если централизатор некоторого элемента совпадает с группой, то элемент попадает в центр . Поэтому из <1> получаем
где для каждого . Если все числа делятся на , то из <2> следует, что делится на , что противоречит рассматриваемому случаю. Итак, существует , где такое, что не делит . Поскольку то
где - целое число и не делит . Теперь к группе применима индукция. По индукции в группе существует подгруппа порядка для каждого Эта подгруппа будет искомой для группы .
Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по подгруппам и :
Зададим отображение
переводящее элементы двойного смежного класса в элементы произведения подгрупп и . Легко проверить, что отоюражение взаимно однозначно, поэтому, получаем
где Так как есть подгруппа в , то по теореме Лагранжа делит и - целое число. Из <3> теперь получаем:
Сокращая обе части на получим:
Так как взаимно просто с , а - целое число, являющееся степенью , то в правой части <4> существует слагаемое, равное единице. Пусть например, , где . Тогда .
Пусть и - подгруппы порядка . По существует элемент такой, что . Так как , то .
Пусть - группа порядка - подгруппа порядка и - нормализатор подгруппы в группе . Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по и :
Отображение
будет взаимно однозначным отображением на . Теперь из <5> получаем:
Положим . Элемент можно выбрать единичным, поэтому и . Теперь
Проверим, что под знаком суммы нет слагаемых равных 1. Допустим противное, т.е. что для некоторого имеем равенство . Это означает, что и подгруппа содержит две подгруппы и порядка . По существует элемент такой, что . Но тогда , а так как , то и . Но это возможно только при , противоречие. Значит, допущение неверно и в равенстве <6> под знаком суммы все слагаемые отличны от единицы. Поскольку каждое слагаемое есть степень простого , то из равенства <6> получаем сравнение . По все подгруппы порядка группы сопряжены между собой, а число подгрупп сопряжённых с равно . Поскольку , то делит .
Теорема доказана.
Силовской - подгруппой конечной группы называют такую - подгруппу, индекс которой не делится на . Непосредственно из теоремы получаем
Следствие 1.4 Пусть конечная группа имеет порядок , где - простое число и не делит . Тогда:
существует силовская -подгруппа и её порядок равен ;
каждая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;
любые две силовские -подгруппы сопряжены;
число силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю и делит .
Теорема 1.5 Для конечной группы и её силовской -подгруппы справедливы следующие утверждения:
если , то - силовская -подгруппа в , а - силовская -подгрупппа в ;
;
если и , то
и
пусть - все простые делители порядка группы , при , и пусть - соответствующие им силовские подгруппы. Тогда
а если , то .
Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как и не делит , то - -группа, а из того, что
следует
и не делится на . Значит - силовская -подгруппа в .
Поскольку , то - -группа, а так как
не делится на , то - силовская -подгруппа в .
Для получаем
т.е. . Обратно, если , то . Теперь и - силовские подгруппы в , которые по следствию 1.4 сопряжены в , т.е. существует элемент , такой, что . Теперь и , т.е.
Если
то и
Если , то пусть означает наивысшую степень , делящую порядок . По следствию 1.4 - порядок силовской -подгруппы из . Из следует, что
и
Если
то
и
Обратно, пусть
где , и . Тогда
Поскольку уже доказано, что
то , где
Теперь
и
Следовательно,
Пусть
Тогда делит для каждого и поэтому
делит , т.е. . Для имеем , откуда .
Теорема доказана.
Лемма 1.6 . Если - нормальная подгруппа конечной группы и - силовская - подгруппа из , то .
Доказательство. Пусть - произвольный элемент из . Так как , то и по следствию 1.4 подгруппы и сопряжены в . Поэтому, существует элемент такой, что , откуда
и
Таким образом, .
Лемма доказана.
Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема.
Доказательство. Пусть - силовская подгруппа группы и - подгруппа группы , содержащая . Так как , то по лемме Фраттини
Лемма доказана.
Лемма 1.8 Пусть - -подгруппа конечной группы , и не делит . Тогда
Доказательство. Ясно, что
По условию подгруппа является силовской подгруппой в . Пусть
Тогда и по лемме Фраттини .
Лемма доказана.
Пример 1.9 Симметрическая группа степени 6 имеет порядок . По теореме Силова содержит подгруппы порядков . Силовская 2_подгруппа имеет порядок , силовская 3_подгруппа имеет порядок и силовская 5_подгруппа имеет порядок 5.
Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.
Пусть - группа порядка 15. В группе имеется подгруппа порядка 3 и подгруппа порядка 5. По следствию 1.4 число силовских 3_подгрупп имеет вид для некоторого неотрицательного целого и делит 5. Поэтому в группе имеется только одна подгруппа порядка 3. Так как любые две силовские 3_подгруппы сопряжены, то . Аналогично, число силовских 5_подгрупп равно и делит 3. Поэтому . Так как и - циклические подгруппы простых порядков, то группа . Теперь для любых имеем:
поэтому
и . Следовательно, группа абелева. Теперь ясно, что - циклическая группа.
2. Полунормальные подгруппы
2.1 Свойства супердобавлений
Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа группы называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа , что и - собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от .
Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.
Пример 2.1.3 В симметрической группе силовская -подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.
Лемма 2.1.4 Если подгруппа полунормальна в группе и в группе нет собственных добавлений к , то квазинормальна.
Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе совпадают с самой группой , то и супердобавлением к будет . Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что перестановочна со всеми собственными подгруппами группы .
Лемма доказана.
Введем следующие обозначения. Если - подгруппа группы , то - множество всех супердобавлений к подгруппе в группе . Ясно, что в точности тогда, когда не является полунормальной подгруппой.
Пусть и - подгруппы группы , и подгруппа нормальна в группе . Введём следующие обозначения:
- обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа содержится в .
Запись
означает, что для любой подгруппы существует подгруппа такая, что содержится в .
Лемма 2.1.5 Если - полунормальная подгруппа группы и , то - полунормальная подгруппа группы и
Доказательство. Пусть . Тогда и - собственная подгруппа группы для любой подгруппы из , отличной от . Ясно, что для любого элемента из , а так как можно считать произвольной в подгруппой, отличной от , то - собственная подгруппа группы . Поэтому полунормальна в и - супердобавление к в группе , то есть . Отсюда следует, что . Группа для любого . Так как , то , где , . Теперь . Если - подгруппа из , отличная от , то - подгруппа из , отличная от . Поэтому - собственная подгруппа группы и . Значит, для всех . Отсюда следует, что .
Лемма доказана.
Лемма 2.1.6 Если - полунормальная подгруппа группы и - подгруппа, содержащая , то полунормальна в и для любой подгруппы пересечение содержит супердобавление к подгруппе в .
Доказательство. Пусть полунормальна в и . Так как , то по тождеству Дедекинда имеем . Пусть - наименьшая подгруппа из , для которой . Если - собственная подгруппа из , то . Поскольку , то - подгруппа группы , поэтому полунормальна в и - супердобавление в .
Лемма доказана.
Лемма 2.1.7 Если - полунормальная подгруппа группы и , то - полунормальная подгруппа группы и любая группа из содержит супердобавление к в .
Доказательство. Пусть полунормальна в и . Тогда . Пусть - наименьшая подгруппа из такая, что . Выберем произвольную подгруппу из , отличную от . Так как , то . Поскольку , то по тождеству Дедекинда . Теперь , а из полунормальности следует, что - подгруппа группы и - собственная подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и . Так как , то лемма доказана.
Лемма 2.1.8 Пусть - полунормальная подгруппа группы и . Если - полунормальная подгруппа группы , то - полунормальная подгруппа группы и .
Доказательство. По условию и , где . Кроме того, - подгруппа группы . Ясно, что . Если - собственная подгруппа в , то - собственная подгруппа в и . Ясно, что и перестановочны с , поэтому . Так как , то . Значит, является супердобавлением к в , то есть , что и требовалось доказать.
Лемма 2.1.9 Если - подгруппа группы и - её минимальное добавление, то следующие утверждения эквивалентны:
полунормальна в группе и ;
для каждого элемента и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что .
Доказательство. . Пусть подгруппа полунормальна в группе и - ее супердобавление. Подгруппа , где пробегает все элементы группы , причем - подгруппа группы , что следует из полунормальности . Поэтому . Теперь выбираем произвольные элемент и элемент . В силу того, что получаем, что для некоторого целого числа и некоторого элемента .
. Пусть для каждого элемента и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что . Так как из равенства вытекает включение , а из равенства следует, что , значит . Ввиду того, что для любой подгруппы из имеем , где , то получаем равенство . Это означает, что полунормальна в и .
Лемма доказана.
Лемма 2.1.10 Пусть , подгруппа нормальна в группе . Подгруппа полунормальна в группе тогда и только тогда, когда подгруппа полунормальна в группе .
Доказательство. Пусть подгруппа полунормальна в группе . Тогда по лемме 2.1.7 подгруппа полунормальна в группе .
Обратно, если полунормальна в , то из определения полунормальной подгруппы получаем, что существует подгруппа из факторгруппы такая, что и , где . Откуда следует, что . Пусть - наименьшая подгруппа из такая, что и . Рассмотрим произвольную собственную подгруппу из .
Если , то - собственная подгруппа группы , поэтому - подгруппа группы .
Если не содержит , то - подгруппа группы и - подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и .
Лемма доказана.
Лемма 2.1.11 Пусть подгруппа полунормальна в , и . Тогда для любого подгруппа перестановочна со всеми сопряженными подгруппами .
Доказательство. Если элемент , то , где , . Из полунормальности подгруппы вытекает, что . Имеем . Поэтому .
Лемма доказана.
Лемма 2.1.12 Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой. В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.
Доказательство. Пусть - квазинормальная подгруппа группы и - полунормальная подгруппа с супердобавлением . Тогда и - собственная подгруппа группы для всех собственных подгрупп из . Пусть - наименьшая в подгруппа, для которой . Если , то , а так как - подгруппа группы и квазинормальная, то и есть подгруппа группы .
Лемма доказана.
2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам
Теорема 2.2.1 Пусть - максимальная подгруппа группы . Подгруппа обладает супердобавлением в группе тогда и только тогда, когда индекс в есть простое число.
Доказательство. Необходимоcть. Пусть - максимальная подгруппа группы и имеет супердобавление в группе , т.е. существует такая подгруппа из , что и есть собственная подгруппа в для каждой подгруппы из , отличной от . Пусть и - две различные максимальные подгруппы в группе . Тогда и . Из максимальности следует, что и являются подгруппами . Но тогда , противоречие с тем, что и - максимальная в подгруппа. Следовательно, в имеется единственная максимальная подгруппа . Если , то циклическая подгруппа, порожденная элементом , не содержится в , поэтому . Кроме того, - примарная группа, то есть . Если - максимальная подгруппа в , то индекс в есть простое число и - подгруппа в . Поэтому, .
Достаточность. Пусть - подгруппа группы и . Пусть - силовская -подгруппа группы . Тогда не содержится в и существует элемент . Пусть , . Ясно, что , поэтому
и . Теперь принадлежит , следовательно, если - собственная подгруппа циклической группы , то - подгруппа в и обладает супердобавлением в группе .
Теорема доказана.
Следствие 2.2.2 Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы имеют супердобавления.
Доказательство. Если - сверхразрешимая группа, то все ее максимальные подгруппы имеют простые индексы. По теореме 2.2.1 все максимальные подгруппы обладают супердобавлениями.
Обратно, пусть все максимальные подгруппы имеют супердобавления. По теореме 2.2.1 все они имеют простые индексы. Следовательно группа сверхразрешима.
Следствие доказано.
Следствие 2.2.3 Пусть - некоторое множество простых чисел. Если в -разрешимой группе каждая максимальная подгруппа, индекс которой делится на простое число из , имеет супердобавление, то - -сверхразрешима.
Доказательство. По теореме 2.2.1 индекс каждой максимальной подгруппы из либо -число, либо равен некоторому простому числу из . Группа -сверхразрешима для всех . Поэтому -сверхразрешима.
Следствие доказано.
Следствие 2.2.4 Если подгруппа имеет супердобавление в группе и - подгруппа группы, в которой является максимальной подгруппой, то - простое число.
Доказательство. По лемме 2.1.6 подгруппа обладает супердобавлением в , а по теореме 2.2.1 индекс в - простое число, что и требовалось доказать.
Следствие 2.2.5 В любой группе пересечение максимальных подгрупп, не обладающих супердобавлениями, является сверхразрешимой подгруппой.
Доказательство. Данное пересечение совпадает с пересечением максимальных подгрупп непростых индексов. Поэтому это пересечение сверхразрешимо.
Следствие доказано.
Пусть - формация всех сверхразрешимых групп. Тогда - проектор разрешимой группы называется сверхразрешимым проектором группы или подгруппой Гашюца. По теореме Гашюца в каждой разрешимой группе существует единственный сопряженный класс сверхразрешимых проекторов. Кроме того, если - сверхразрешимый проектор разрешимой несверхразрешимой группы и , то - не простое число. Из теоремы 2.2.1 получаем
Следствие 2.2.6 Сверхразрешимый проектор разрешимой группы обладает супердобавлением тогда и только тогда, когда он совпадает со всей группой.
Доказательство. Пусть - разрешимая группа и - ее сверхразрешимый проектор. Предположим, что подгруппа обладает супердобавлением в и . Пусть - подгруппа группы , в которой является максимальной подгруппой. По лемме 2.1.6 подгруппа полунормальна в , а по следствию 2.2.4 индекс - простое число. Но это противоречит отмеченному свойству сверхразрешимого проектора. Поэтому . Обратное утверждение очевидно.
Следствие доказано.
Следствие 2.2.7 В разрешимой несверхразрешимой группе сверхразрешимый проектор не квазинормален.
Доказательство. Пусть группа и - ее сверхразрешимый проектор. Если подгруппа полунормальна, то по следствию 2.2.6 подгруппа - противоречие с выбором группы . Значит, подгруппа не полунормальна, тем более не квазинормальна.
Следствие доказано.
2.3 Супердобавления к силовским подгруппам
Теорема 2.3.1 Пусть - наибольший простой делитель порядка группы и - ее силовская -подгруппа. Если обладает супердобавлением в , то - нормальная подгруппа группы .
Доказательство. Докажем вначале утверждение для бипримарных групп. Пусть и - простые числа, , и - бипримарная группа, где - силовская -подгруппа, а - силовская -подгруппа. По условию обладает супердобавлением в , поэтому, можно считать, что является этим супердобавлением. Если и - различные максимальные подгруппы группы , то из полунормальности следует, что и - собственные в подгруппы. По лемме 2.1.2 и по индукции получаем, что и . Поэтому и нормальна в .
Пусть теперь в есть единственная максимальная подгруппа. Тогда - циклическая примарная группа, а так как , то нормальна в .
Теперь рассмотрим произвольную группу . По условию теоремы существует супердобавление к подгруппе в группе , где - силовская -подгруппа для наибольшего делителя порядка группы . То есть и для любой собственной подгруппы из . Пусть - силовская -подгруппа из для . Ясно, что силовская в . Так как - бипримарная подгруппа, в которой полунормальна, по доказанному выше . Из того, что - любое простое число, отличное от , получаем, что нормальна в .
Теорема доказана.
Следствие 2.3.2 Если в группе все силовские подгруппы обл и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.