На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Простое расширение Q+(a). Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. Однопорожденные полуполя. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 08.08.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


21
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет
Кафедра
алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Выполнил
студент 5 курса
математического факультета
Чупраков Дмитрий Вячеславович
_____________________/подпись/
Научный руководитель:
д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
_____________________/подпись/
Рецензент:

к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных

_____________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
(подпись) “__” _________
Декан факу
льтета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина
(подпись) “__” _________
Киров
2005

Содержание

    Содержание 2
    Введение 3
    Глава 1. 5
      1.1. Базовые понятия и факты 5
      1.2. Простое расширение Q+(a) 5
      1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел 7
    Глава 2. Однопорожденные полуполя 9
      2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел 9
      2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом 11
      2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом 12
      2.4. Примеры 20
    Литература 22

Введение

Теория полуполей - одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа

Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.
В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число - номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 - первая теорема первого параграфа второй главы.
Основными результатами работы являются:
· Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.
· Теорема 2.3.1. Если , то - поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) - поле, позволяющая выявлять полуполя вида .
· Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность задается следующим образом:
Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.
· Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Глава 1.

1.1. Базовые понятия и факты

Определение: Алгебра <P, +, > называется полуполем, если

(1) <Р, +> - коммутативная полугруппа с 0;

(2) <Р, > - группа с 1;

(3) Дистрибутивность

a.

b.

(4)

Не сложно показать, что Q+ является полуполем.

Определение: Пусть Р - подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).

1.2. Простое расширение Q+(a)

Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела.

Доказательство. Предположим, что S - неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sS, что s+ss. Откуда

.

Рассмотрим суммы единиц. Через обозначим сумму k единиц (при kN). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mN. Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим

.

Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь
для любого tN.
По свойству Архимеда, найдется такое tN, что tl>n. При k=tl имеем и n<k. Тогда
.
Откуда 1=1+1 (). Получили противоречие.
Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q+, причем, очевидно, операции в Q+ и S согласованы.
¦
Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q+.
Доказательство. Заметим, что Q+(a) - полуполе. Кроме того, а  Q+(a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .
Предположим, что есть полуполе P меньшее Q+(a), содержащее а и Q+. Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P - полуполе, то . Таким образом, . Так как P - минимальное полуполе, то . То есть, -простое расширение полуполя Q+.
¦
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q.

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а - алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ? 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .

Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а - корень , а - минимальный многочлен для a. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h, а  _ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что

,

не имеют подобных членов.

Аналогично найдем , что

и

не имеют подобных членов.

Получаем

Так как не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то

, или

, .

Найдем значения этих многочленов в точке а.

,.

Итак,

,

.

То есть, тогда и только тогда, когда .

Будем говорить, что Q+(a) порождается минимальным соотношением .

Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть простое расширение , a - алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) - поле;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство.

· (1)(2): Пусть - поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, .

· (2)(3): Заметим, что достаточно показать, что

.

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим

и

,

тогда

.

По предположению, этот многочлен - тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена - нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

· (3)(4): Пусть , тогда . Так как (f - g)(a) = 0, то h(a) = 0.

· (4)(5): Пусть , покажем, что .

Так как h(a)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим

.

Если b0?0, то

.

Если h0=0, то

.

Так как a?0, то

.

Тогда

.

Итак, .

· (5)(1): Пусть , покажем, что Q+(a) - поле. Действительно, мы знаем, что Q+(a) - полуполе. Рассмотрим bQ+(a), тогда . b + (_b)=0. То есть, Q+(a) - поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ¦

Доказанный факт влечет следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть Q+(a) простое расширение Q+, a - алгебраический элемент над Q+. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) Q+(a) -полуполе;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) _ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).

Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q+(a) не является полем, а значит

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.