На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Моделирование системы обслуживания с отказами

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 04.07.2012. Сдан: 2011. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       СОДЕРЖАНИЕ 

 

ВВЕДЕНИЕ

 
      Одним из важнейших факторов, который должен учитываться в процессе принятия оптимальных решений, является фактор случайности. При учете «случайности» необходимо, чтобы массовые случайные явления обладали свойством статической устойчивости. Это означает, что учитываемые случайные явления подчиняются определенным статическим закономерностям, требования которых не обязательны при учете неопределенности [2] .
      Условие статической устойчивости позволяет  использовать в процессе принятия решений эффективные математические методы теории случайных процессов и, в частности, одного из ее разделов - теории Марковских процессов   [1].
      Функционирование  широкого класса систем можно представить  как процесс перехода из одного состояния в другое под воздействием каких-либо причин. Например, процесс функционирования ЭВМ характеризуется тем, что в каждый момент времени обработкой информации заняты те или иные блоки. Процесс прохождения обрабатываемой информации по блокам ЭВМ можно рассматривать как процесс перехода системы из одного состояния в другое. В полной мере это относится и к процессу функционирования ЭВМ с точки зрения надежности. В каждый момент времени некоторые узлы работоспособны, а некоторые отказали и восстанавливаются. Если каждому возможному множеству работоспособных (или отказывающих) элементов поставить в соответствие множество состояний системы, то отказы и восстановления элементов будут отражаться переходом объекта из одного состояния в другое [6].
      Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений, особое внимание Марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.

1 МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 
1.1 Понятие Марковского процесса 

      Марковские  случайные процессы названы по имени  выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей». В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как: теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д.
      Марковские  процессы являются частным видом  случайных процессов. Особое место  Марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для Марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью Марковских процессов можно описать поведение достаточно сложных систем [3].
      Случайный процесс, протекающий в какой  либо системе S, называется Марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при ) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.
      Случайные процессы основаны на понятии случайной функции. Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной. Также, случайной функцией можно назвать такую функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид [1].
      Если аргументом случайной функции является время, то такой процесс называют случайным. Под случайным процессом понимают процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу. 

        Классификация Марковских процессов
 
      Классификация Марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности и дискретности множества значений функций Х(t) и параметра t. Различают следующие основные виды Марковских случайных процессов:
а) с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);
б) с непрерывными состояниями и дискретным временем (Марковские последовательности);
 в) с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова);
г)  с непрерывным состоянием  и непрерывным временем [4]. 

        Цепи Маркова
 
      Марковский  случайный дискретный процесс, протекающий в системе S, характеризуется не только возможными состояниями, в которых система может пребывать случайным образом, но и теми моментами времени, в которые могут происходить ее переходы из состояния в состояние. Эти моменты времени могут быть заранее известны или случайны.
      Случайный процесс, протекающий в системе, называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из одного состояния могут осуществляться только в заранее определенные моменты времени - называемые шагами этого процесса. В промежутках между соседними шагами система сохраняет свои состояния. Не исключается возможность, что на некоторых шагах система не изменит своего состояния.
      Случайный процесс с дискретным временем можно  представить случайной последовательностью (по индексу k) этих событий которую называют также цепью [1].
      Случайная последовательность называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния в любое состояние не зависит от того, когда и как система оказалась в состоянии . Так как система в любой момент t может пребывать только в одном из состояний , то при каждом k=1,2,… события несовместны и образуют полную группу.
      Основными характеристиками Марковских цепей являются вероятности событий .
      Вероятности называются вероятностями состояний.
      Таким образом, вероятность i состояния на k шаге есть вероятность того, что система S от k до (k+1) шага будет пребывать в состоянии . Сумма вероятностей этих событий для каждого равна 1:
       .                                      (1.1)
      Если  переходные вероятности не зависят от шагов k, то Марковская цепь называется однородной.
      Переходные  вероятности однородной Марковской цепи Pij образуют квадратную матрицу размера n*n, которой:
    Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного состояния, в том числе и переход в самое себя.
    Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец - в состояние).
    Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
                                                               (1.2)
    По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Pii того, что система не выйдет из состояния Si, а останется в нем [4].
        Если же хотя бы одна вероятность изменяется с изменением шага k, то цепь называется неоднородной. Запишем переходные вероятности в виде квадратной матрицы n порядка, сумма элементов каждой строки равна 1.
                                  (1.3)
      Вероятности задержек можно подсчитать по формуле . Вектор-строка вероятностей состояний в начальный момент времени t=0, непосредственно предшествующий первому шагу, называется вектором первоначального распределения вероятностей.
      Для однородной Марковской цепи вектор-строка вероятностей состояний от k до (k+1) шага, равна произведению вектора-строки вероятностей состояний от (k-1) до k шага на матрицу переходных вероятностей:
       .                                      (1.4)
      Для неоднородной Марковской цепи имеет место следующая формула:
                                       (1.5)
      Дискретный  случайный процесс с дискретным временем, протекающий в системе, характеризуется тем, что система может перескакивать из одного состояния в другое только в заранее определенные моменты времени, называемые шагами.
      У однородной Марковской цепи переходные вероятности постоянны, не зависят от шагов (практически каждая переходная вероятность на любом шаге пренебрежимо мало отличается от постоянной для нее величины).
      Основными вероятностными прогнозными характеристиками Марковской цепи являются вероятности состояний на любом шаге [1].
      Все многообразие Марковских цепей подразделяется на эргодические и разложимые.
      Разложимые  Марковские цепи содержат невозвратные состояния, называемые поглощающими. Из поглощающего состояния, нельзя перейти ни в какое другое. На графе поглощающему состоянию соответствует вершина, из которой не выходит ни одна дуга. В установившемся режиме поглощающему состоянию соответствует вероятность, равная 1.
      Эргодические  Марковские цепи описываются сильно связанным графом. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния в любое состояние за конечное число шагов.
      Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (t стремится к бесконечности) наступает стационарный режим, при котором вероятности состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. [4]. 

       Теория массового обслуживания
 
    Многие  понятия теории массового обслуживания можно проиллюстрировать на одном  важном примере: взлет и посадка  самолетов в крупном аэропорту - операция, представляющая интерес для многих людей, пользующихся этим видом транспорта.
    Допустим, что аэропорт имеет несколько  взлетно-посадочных (параллельных каналов). Эти полосы ведут к большему или меньшему числу дорожек, оканчивающихся на аэровокзале (последовательные каналы). После того как самолет, прибывший в соответствии с определенным распределением входящего потока, приземляется, он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих обслуживания (продвижение по дорожке к месту выгрузки). Таким образом, выходящий поток одной очереди становится входящим потоком для другой. Очередь существует как на земле (взлет самолетов), так и в воздухе (посадка самолетов). Обе эти очереди имеют свое распределение входящего потока. Приземляющиеся самолеты могут прибывать группами, при этом члены каждой группы должны кружить над аэропортом и приземлятся по порядку. (Если полоса очень широкая, то нетрудно представить посадку самолетов группами.) Длительность операций обслуживания (время приземления или взлета) около минуты. В любом случае имеется некоторое распределение времени обслуживания. Если для различных типов самолетов отведены различные взлетно-посадочные полосы, которые могут быть длиннее, например, для реактивных самолетов, то распределение времени обслуживания может меняться от одной полосы к другой.
    При выборе самолетов для посадки  важно определить соответствующий  показатель эффективности. Например, если желательно минимизировать общее время ожидания пассажиров, то вначале нужно производить посадку самолетов с большим количеством людей.
    Здесь же часто производится обслуживание с приоритетом, когда разрешается посадка снижающемуся самолету раньше, чем взлет ожидающемуся. Эта система с приоритетом распространяется также на случай аварийной обстановки, когда вследствие крайней необходимости разрешается посадить первым самолет, прибывший позже. Нередко приоритет на посадку дается реактивным самолетам из-за ограниченного запаса топлива.
    Иногда  порядок обслуживания таков, что  прибывающий самолет присоединяется к очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, а затем выбор самолета на посадку производится случайным образом (одна из форм обслуживания с приоритетом). Так, например, если самолет находится ближе других к точке, в которой он может выйти из зоны ожидания, то ему будет дана команда на посадку. В промежутке времени между получением приоритета на посадку и командой "посадку разрешаю" самолет выходит из эшелона и направляется к аэродрому. Это время известно как захода на посадку. Время приземления затрачивается на операцию посадки и продолжается до того момента, когда самолет сворачивает с взлетно-посадочной полосы.
    Самолет, ожидающий посадки, может, находится  в положении, близком к критическому (в это время другие самолеты будут  действительно в критическом  положении), он может принять решение  присоединится к более короткой очереди в ближайшем аэропорту и приземлится там. Прибывающий самолет может не выстраиваться в эшелон, а уходить в другой аэропорт (отказ становится в очередь). В этом случае говорят, что аэропорт "потерял" этот самолет. Случается, что самолет отправляется в соседний аэропорт после того, как, присоединившись к очереди, он прождал больше, чем предполагалось (по кидание очереди до начала обслуживания). Можно рассматривать приземляющийся самолет участвующим в цикле, если он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается во входной поток системы. Если приземляющийся самолет имеет информацию о размерах очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки в соседнем аэропорту, то он может, присоединится к этой очереди. Если у него есть информация еще об одном аэропорте, то он может, отправится и туда (редкий случай). Это движение туда и обратно при наличии нескольких очередей называется переходом из одной очереди в другую (возможность выбора очереди).
    Аэропорт  может временно закрываться, и прибывший самолет будет вынужден, отправится в другой аэропорт, если число эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, достигнет заданной величины. Операция обслуживания может быть ускорена путем оборудования специальных гасителей скорости, которые позволяют самолетам, приземлятся на главной полосе с большой скоростью.
    Основной  проблемой пи управлении аэропортом является связь. Если входящий поток, как на земле, так и в воздухе велик, то аэропорт должен быстро связываться с самолетами и получать ответ. При организации связи важной проблемой является определение числа операторов и каналов связи, необходимых для регулирования различных состояний перегруженности, которые могут возникнуть. В данном случае необходимо выбрать оптимальное число каналов для обслуживания требований, поступающих в соответствии с данным распределением. Можно произвести сравнение стоимость дополнительного канала со стоимостью возросшего объема обслуживания существующими каналами.
    Важной  проблемой является наличие соответствующего места для ожидания в очереди. Например, при проектировании аэропорта существенным моментом является наличие наземной рулежной дорожки для самолетов, готовых к влету.
    Во  многих задачах теории массового обслуживания (ТМО) для определения необходимого показателя эффективности достаточно знать распределение входящего потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и распределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь дополнительную информацию. Например, в случае отказов в обслуживании нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т. е. покинет очередь до или после присоединения к ней.
    С теоретической точки зрения очередь можно рассматривать как потоки, походящие через систему пунктов обслуживания, соединенных последовательно или параллельно. На поток оказывают влияние различные факторы; они могут замедлять его, приводить к насыщению и т. д. 
 
 
 
 
 
 

  2 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ  С ОТКАЗАМИ 

      2.1 Постановка задачи 

      Система состоит из восьми одинаковых блоков, например модемов, к которым поступают звонки от пользователей – поток запросов на обслуживание. Если все восемь блоков заняты, запрос теряется. Будем считать время дискретным и шаг по времени выберем достаточно маленьким, так, чтобы можно было пренебречь вероятностью поступления двух запросов за один шаг. Время обслуживания будем считать случайным и состоящим из независимых продолжений, что согласуется с практическими наблюдениями над реальными системами обслуживания.
      Пусть вероятность поступления одного запроса будет a, а вероятность того, что запрос обслуживается за один шаг - b. Тогда он обслуживается после этого шага как новый запрос с вероятностью 1-b.
      Вероятность поступления одного запроса за один шаг a=0,42.
      Вероятность обслуживания запроса за один шаг b=0,6.
      Количество  первоначально занятых блоков N=2.
      На  основе исходных данных о значениях a и b и количестве N первоначально занятых блоков:
    Провести анализ работы системы через 10 шагов и найти вероятность того, что в системе будет занята половина блоков.
    Найти долю пропадающих через 10 шагов запросов.
    Найти количество шагов, через которое система достигнет стационарного режима.
    Провести анализ работы системы в стационарном режиме.
 
 
 
 
    2.2 Математическая модель и анализ 

1) Список возможных состояний системы, исходя из ее загруженности:
    состояние 1: все блоки свободны;
    состояние 2: один блок занят;
    состояние 3: два блока заняты;
    состояние 4: три блока заняты;
    состояние 5: четыре блока заняты;
    состояние 6: пять блоков заняты;
    состояние 7: шесть блоков заняты;
    состояние 8: семь блоков заняты;
    состояние 9: восемь блоков заняты (все блоки заняты).
 
    3. Начальный вектор вероятностей состояний (ВВС):
Если  первоначально занято N блоков, то у начального ВВС на (N+1) месте будет стоять единица, а остальные нули. Таким образом, ВВС будет следующий:
 

4. Матрица вероятностей перехода системы (МВПС) составленная в программе MathCAD.

      Учитывая  вероятность поступления одного запроса за один шаг a=0.42 и вероятность обслуживания запроса за один шаг b=0.6, предварительно, вычислив и подставив значения в МВПС общего вида, запишем МВПС для конкретного случая:
      
 
 
 
 
 
    6. Исследование этой системы в стационарном режиме.
Для рассматриваемой системы найдем стационарный вектор, воспользовавшись рекуррентной формулой:

 

 

 












 

   Используя алгоритм вычисления шага, на котором система достигнет стационарного состояния (рисунок 2.1), убедимся в том, что система будет, находится в стационарном режиме через 339 шагов.
 
        
 
 
 
 

                                                 C(X) = 339
                Рисунок 2.1 – Алгоритм MathCAD нахождения шага, с которого система           
                                         будет находиться  в стационарном  режиме 

      После того, как система  достигла стационарного  состояния, по сравнению с начальным состоянием на 1-м шаге произошли следующие изменения: вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы все блоки будут свободны, изменилась с 0 на 0.36. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы один блок будет занят, изменилась с 0 на 0.30. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы два блока будут заняты, изменилась с 0 на 0.17. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы три блока будут заняты, изменилась с 1 на 0.084. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы четыре блока будут заняты, изменилась с 0 на 0.040. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы пять блоков будут заняты, изменилась с 0 на 0.0197. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы шесть блоков будут заняты, изменилась с 0 на 0.009. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы семь блоков будут заняты, изменилась с 0 на 0.004. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы все блоки будут заняты, изменилась с 0 на 0.00128. Таким образом, вероятность того, что запрос пользователя будет отклонен, очень мала и является наименьшей из всех вероятностей возможных состояний системы. Наиболее вероятным состоянием, в котором может находится система, является состояние 2, когда один блок будет занят. Вероятности различных состояний системы в стационарном режиме по убыванию изображены в таблице 2.1. 

Таблица 2.1 – Вероятности состояний системы  в стационарном режиме
Вероятность Состояние системы
0.30 состояние 1: все блоки свободны
0.36 состояние 2: один блок занят
0.17 состояние 3: два блока заняты
0.084 состояние 4: три  блока заняты
0.040 состояние 5: четыре блока заняты
0.019 состояние 6: пять блоков заняты
0.009 состояние 7: шесть  блоков заняты
0.004 состояние 8: семь блоков заняты
0.00128 состояние 9: восемь блоков заняты (все блоки заняты)
 
      Исходя  из полученных результатов, можно прийти к выводу, что в стационарном состоянии  система будет успевать обслуживать  запрос за 1 шаг, что не является оптимальным  с точки зрения эффективности  использования системы. 

      
      7. Анализ работы системы через 10 шагов
     Через 10 шагов наиболее вероятным состоянием системы  будет состояние 2, при котором будет занят 1 блок (P2=0.359), при этом вероятность отказа запроса (P9=0,0003404) будет наименее вероятным среди вероятностей всех остальных состояний. Состояние, при котором все блоки окажутся свободными является также наиболее вероятным (P1=0.29). Вероятность того, что на 10 шаге система будет находиться в состоянии, при котором: 50% блоков будут заняты, равна 0.045. Следовательно, можно сделать вывод, что вероятность загруженности половины блоков достаточно мала. 

      
      8) Доля пропадающих через 10 шагов запросов:
            
      
      
      
      
      
      
      
      
 
 
 
2.3 Нахождение  доли пропадающих запросов  через  10 шагов 

  Запросы пропадают в том случае, если система находится в состоянии 9, когда все восемь блоков заняты. Таким образом, для данной системы на 10-м шаге доля пропадающих заявок равна
      Xp = pi*100%;
      X10 = 0.0003404 * 100% = 0.03404% 

2.4 Результаты  моделирования 

     Вектор ВВС в стационарном состоянии имеет вид:
 S=(0.30090 0,36156 0,175317  0,08463 0,04085 0,01972 0,00952 0,00459 0,00128).
        Проанализировав ВВС, можем сделать вывод, что система в стационарном режиме:
 - может находиться в любом из девяти состояний;
 - есть выраженный максимум, вероятность которого во много раз больше минимальной;
 - самые большие вероятности  того, системы через 461 шагов будет находиться в первом, втором, третьем, четвертом или пятом состояниях;
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.