На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Условия существования определенного интеграла. Приложение интегрального исчисления. Интегральное исчисление в геометрии. Механические приложение определенного интеграла. Интегральное исчисление в биологии. Интегральное исчисление в экономике.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 21.01.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


40
Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет
им. Н.Г. Чернышевского
Физико-математический факультет
Кафедра математического анализа
Приложение определенного интеграла к решению задач
практического содержания

Курсовая работа
Выполнила: студентка 4 курса ОЗО
ФМФ Ракова Екатерина Викторовна
Научный руководитель: заведующий
кафедрой математического анализа
Степанова Лилия Эдуардовна
Чита, 2007
Оглавление

    Введение 3
    1. Историческая справка 6
    2. Условия существования определенного интеграла 10
    3. Приложение интегрального исчисления 11
      3.1 Общие понятия 11
      3.2 Интегральное исчисление в геометрии 13
        3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой 13
        3.2.2 Вычисление объема тела 16
        3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения 18
        3.2.4. Вычисление площадей плоских фигур……………………………………….20
      3.3 Механические приложение определенного интеграла 23
        3.3.1 Работа переменной силы 23
        3.3.2 Путь, пройденный телом 24
        3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку 25
        3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой 26
        3.3.5Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры 28
      3.4 Интегральное исчисление в биологии 31
        3.4.1 Численность популяции. 31
        3.4.2 Биомасса популяции……………………………………………………………32
        3.4.3 Средняя длина пролета. 33
      3.5 Интегральное исчисление в экономике 35
    Заключение 39
    Литература 40
    Введение

    Нахождение производной f'(x) или дифференциала df=f'(x)dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F'(х)=f(x) или F(x)=F'(x)dx=f(x)dx.. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.
    Задача о нахождении площади
    Определить площадь P криволинейной трапеции ABCD (рис 1)
    Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, со-ответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок. Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым пря-моугольником, основание кото-рого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некото-рой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоуголь-ников.
    Обозначим абсциссы точек деления через
    X= a < X< X < … < X < X < … < X = b.
    Основание i - го прямоугольника равно разности X - X (?X). Высота равна y = f (X). Поэтому площадь i - го прямоугольника будет y ?X = f (X) ?X.
    Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади P криволинейной трапеции
    P= y ?X или P=f (X) ?X .
    Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех ?X стремится к нулю. Точное значение площади P получится как предел:
    P=Lim y ?X или P=Limf (X) ?X,
    В предположении, что все ?X одновременно стремятся к 0.
    Для обозначения пре-дельного значения суммы y ?X Лейбниц и ввел символ ? ydx, где ydx напоминает типичное слагаемое суммы, а ? есть сти-лизованная буква S - начальная буква латинского слова “Summa”. Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ со-хранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать
    ? f(x)dx,
    если речь идет о переменной площади, и
    f(x)dx,
    - в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей из-менению х от а до b.
    Определение. Пусть функция f (X) задана в некотором про-межутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ?X = X - X (i = 0, 1,2, . ..,n-1) обозна-чим через ?.
    Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по про-изволу точку X = ?
    X ? ? ? X (i = 0, 1, … , n-1)
    и составим сумму
    ? = f(?) ?X
    Пусть I конечный предел данной суммы
    I = ?.
    Конечный предел I суммы ? при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом
    I = f(x)dx
    В случе существования такого предела функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [a, b].
    Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.
    Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), коорый впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения.[7]
    1. Историческая справка

    Интеграл (от лат. Integer - целый ) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
    Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.) . Вероятно, оно происходит от латинского integero , которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. ( Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
    В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление ( calculus integralis ), которое ввел И. Бернулли.
    Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x)= - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.
    В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом . Это понятие выделил Лейбниц , который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).
    Самое важное из истории интегрального исчисления

    Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).
    Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.
    Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.
    Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления . Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления . Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления .
    Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
    На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).
    Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).
    В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y = , где N - целое ( т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования . Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.
    Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования , дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница . Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
    Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
    Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши , одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
    Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.
    Различные обобщения понятия интеграла уже в начале 20 столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)
    2. Условия существования определенного интеграла

    1. Интегрируемая функция необходимо ограничена.

    Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то - при любом разбиении промежутка на части - она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать f(), а с ней и сумму , - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для существовать не могло бы.
    2.Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было
    (S - s) = 0
    s = m ?X, S = M ?X,
    где m и M - точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.[7]
    3. Приложение интегрального исчисления

    3.1 Общие понятия

    Пусть требуется найти значение какой - либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c, b].
    Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).[5]
    Первая схема базируется на определении определенного интеграла.
    1. Точками x = a, x, … ,x = b разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”
    ? A(I = 1, … , n): A = ?A + ?A+ … + ?A
    2. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произве-дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен-ной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:
    ? A? f(c) ?X
    При нахождении приближенного значения ДЛ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.
    Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:
    A? f(c) ?X+ … + F(c)?X = f(c) ?X
    1. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.
    A = f(c) ?X = f(x)dx.
    Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интегра-ла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.
    Схема I была применена для выяснения геометрического и физическо-го смысла определенного интеграла.
    Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания беско-нечно малых высших порядков”:
    1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматри-ваем переменный отрезок [a, x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А -- А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е. [а, b] - один из параметров величи-ны А;
    2) находим главную часть приращения ?A при изменении x на малую величину ?x; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A = А(x):dA - f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция пере-менной x (здесь также возможны различные упрощения);
    3) считая, что dА ? ?A при ?x 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:
    A(b) = A = f(x)dx.
    3.2 Интегральное исчисление в геометрии

    3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой
    Прямоугольные координаты
    Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ? x ? b. (рис 2)[7]
    Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.
    Применим схему I (метод сумм).
    1. Точками X = a, X, … , X = b (X ? X? … ? X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M , … , M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, … , MM , длины которых обозначим соответственно через ?L, ?L, … , ?L.
    Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L = ?L+ ?L+ … + ?L = ?L.
    2. Длину хорды (или звена ломанной) ?L можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ?X и ?Y:
    ?L = , где ?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).
    По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ?Y = (C) ?X, где C (X, X). Поэтому
    ?L = = ,
    а длина всей ломанной MMM … MM равна
    L = ?L = .
    Длина кривой AB, по определению, равна L = L = ?L. Заметим, что при ?L 0 также и ?X 0 (?L = и следовательно | ?X | < ?L). Функция непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L = ?L = , кода max ?X 0:
    L = = dx.
    Таким образом, L = dx.
    Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)[5]
    Решение:

    Найдем ? часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = , ?L = dx = R arcsin = R .
    Значит L = 2R.
    Полярные координаты
    Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(), . Предположим, что r() и r() непрерывны на отрезке [].
    Если в равенствах x = r cos, y = r sin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически
    Тогда
    Поэтому
    = =
    Применяя формулу L = , получаем
    L =
    Пример: Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos).
    [5]
    Решение: Кардиоида r = a(1 + cos) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину
    (рис 4) длины кардиоиды:
    ? L = = a = a = 2a cos d = 4a sin = 4a.

    3.2.2 Вычисление объема тела
    Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
    Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на-пример оси Ox:S = S(x), a? x? b [5]
    Применим схему II (метод дифференциала).
    1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю-щейся при изменении x. Через v(x) обозна-чим объем части тела, лежащее левее плос-кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
    2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой
    “элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + ?x, который при-ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.
    2. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:
    V = S(x) dx
    Формула объема тела по площади параллельных сечений
    Пример: Найти объем эллипсоида (рис 6)[5]
    Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a? x? b.), получим эллипс
    Площадь этого эллипса равна S(x) = bc(1 - ). Поэтому, по формуле имеем
    V = bc(1 - )dx = abc.
    Объем тела вращения
    Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ? 0, отрезком а ? х ? b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,
    S(x)=y.
    Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади
    параллельных сечений, получаем
    V = ydx.
    Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ? 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <
    d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V = S(x) dx, равен
    V =xdy.
    Пример: Найти объем тела, образован-ного вращением фигуры, ограниченной линия-ми у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.[5]
    Решение: По формуле V =xdy.
    находим:
    V = 2ydy = y = 8.
    3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения
    Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ? 0, где х [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.
    Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).
    Применим схему II (метод дифференциала).
    1. Через произвольную точку х [а; b] проведем плос-кость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пере-секает поверхность вращения по окружности с радиусом у - f(х). Величина S поверхности части фи-гуры вращения, лежащей левее плоскости, является функ-цией от х, т. е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).
    2. Дадим аргументу х приращение ?х = dх. Через точку х + dх [а; b] также проведем плоскость, перпендику-лярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение ?s, изображенного на рисунке в виде “пояска”.
    Найдем дифференциал площади ds, заменяя образо-ванную между сечениями фигуру усеченным конусом, об-разующая которого равна dl, а радиусы оснований рав-ны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds = (у + у + dу) * d1 = 2ydl + dydl. Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2уdl, или, так как d1 = dx.
    3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
    S= 2ydx.
    Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t? t ? t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид
    S = 2dt.
    Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.[5]
    Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = , -R ? x ? R, вокруг оси Ox. По формуле S= 2ydx находим
    S = 2 =
    3.2.4.1. Вычисление площадей плоских фигур
    Прямоугольные координаты

    Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f )?0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу
    Если же f(x) ? 0 на [а; b] то -- f(х) ? 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволиней и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.