На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


научная работа Данный электронный учебник по математике предназначен для изучения темы Использование неравенств при решении олимпиадных задач. Постановка и реализация задачи. Теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши, Коши-Буняковского и Бернулли.

Информация:

Тип работы: научная работа. Предмет: Математика. Добавлен: 26.09.2014. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


26
Министерство образования и науки Украины
Донецкий государственный институт искусственного интеллекта
Донецкий лицей «Интеллект»
Кафедра математики и информатики
Научная работа
на тему: «Применение неравенств при решении олимпиадных задач».
( электронный учебник )
Выполнила:
ученица 11-Г класса
Борисенкова О.Д.
Научный руководитель:
Степанов Т.Л.
Донецк 2006
СОДЕРЖАНИЕ

Введение
1 Постановка задачи
2 Актуальность
3 Реализация задачи
3.1 Теоретические сведения
3.2 Решение задач с применением данных неравенств
3.3 Сборник задач
3.4 Тесты
4 Инструкция по пользованию
Выводы
Список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ

При решении задач, предлагаемых на вступительных письменных экзаменах и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные абитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе.
Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения абитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского, Бернулли и Йенсена.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Таким образом, целью данной работы является разработка электронного обучающего пособия, в котором будет предложен материал по выбранной теме. Т.е. в учебнике будут предоставлены теоретические сведения по всем неравенствам, примеры применения этих неравенств в решении олимпиадных задач, сборник задач для самостоятельного решения, решения к ним, а также тестовые вопросы, которые позволят оценить себя и проверить уровень полученных знаний.
Для реализации поставленной задачи был выбран язык электронной разметки текста HTML.
2. АКТУАЛЬНОСТЬ

Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить. Т.е. этот учебник будет очень полезным для самостоятельного изучения темы и подготовки к олимпиадам ІІ-ІІІ этапов.
Также очень удобен и прост в применении, для работы с ним не требуется никаких специальных программ или дополнительных приложений, кроме стандартного Internet-браузера.
Важным пунктом является то, что в учебнике собрана информация по теме неравенств, которую в принципе довольно-таки сложно найти, причем так, чтобы она была в одном и том же печатном издании. Большая часть сведений по некоторым неравенствам была найдена только в периодических изданиях, журналах. Здесь же все собрано воедино, информация представлена кратко, но исчерпывающе для того, чтобы разобраться и понять.
3. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

3.1 Теоретические сведения

Неравенство Йенсена
Теорема (неравенство Йенсена):
Пусть - функция, выпуклая на некотором интервале, x1, x 2, …, x n - произвольные числа из этого интервала, а ?1, ?2, …, ?n - произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:
. (1)
Доказательство:
Рассмотрим на графике функции точки А1, А2, …, Аn с абсциссами х1, x2, …, xn. Расположим в этих точках грузы с массами, m2, …, mn. Центр масс этих точек имеет координаты
.
Так как точки А1, А2, …, Аn принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик - выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.
. (2)
рис. 1
Для завершения доказательства остаётся положить m1= ?1, …, mn= ?n.
Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1) (i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция вогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию .
Неравенство Коши-Буняковского
На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво.
Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского , где a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn - произвольные положительные числа.
Доказательство:
Как мы знаем, функция - выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2):
, (mi > 0).
Следовательно, . Положив , получим требуемое неравенство.
Неравенство Коши
При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.
Пусть x1, x 2, …, x n - неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число -
.
Средним геометрическим чисел x1, x 2, …, x n называется число -
.

Теорема 1. Если x1, x 2, …, x n - неотрицательные числа, то имеет место неравенство
. (1)
Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.
Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства
. Действительно, , откуда
. (2)
Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x1=x2.
Пусть x1, x 2, …, x n - положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число -
.
Теорема 2. Если x1, x 2, …, x n - положительные числа, то имеют место неравенства
An ? Gn ? Hn.
Действительно, применяя к числам неравенство Коши, получаем
, (3)
откуда Gn ? Hn.
Пусть x1, x 2, …, x n - произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число -
.
Теорема 3. Если x1, x 2, …, x n - положительные числа, то имеют место неравенства
Kn ? An ? Gn ? Hn , или
. (4)
Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.
Для двух чисел неравенство (4) можно записать как
,
которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,
аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ? An.
Неравенство Бернулли
Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач - это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:
Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место
(1)
причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1.
Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если n<0 или n>1, то
, (2)
если 0<n<1, то
, (3)
где x > -1.
Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0.
Доказательство(I способ):
, где xi - числа одного и того же знака и .
Применяем метод математической индукции.
Проверяем неравенство для n=1: . Неравенство верно.
Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство
.
Умножим его на неотрицательное число 1+xn+1 (оно неотрицательно, т.к. ). Получим:
.
Т.к. xi одного знака, произведения в правой части положительны, и если их отбросить, неравенство только усилится. Получаем:
.
Как мы видим, неравенство верно и для n+1 членов, а значит верно для любых n.
Доказательство(II способ):
Также применяем метод математической индукции.
При n=1 имеем , . Утверждаем, что при n=k неравенство верно: . Тогда при n=k+1 имеем
.
Неравенство доказано.
Весовое (общее) неравенство Коши
Ранее мы рассмотрели так называемое классическое неравенство Коши. Однако очень большое значение имеет также одно важное обобщение неравенства Коши - это общее, или весовое, неравенство Коши.
Теорема. Для любых действительных положительных чисел m1, m2, …, mn и для любых неотрицательных x1, x2, …, xn< и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.