На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Комбинаторика в нашей жизни

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 07.07.2012. Сдан: 2011. Страниц: 17. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


 
  
  
  
  
  
  

КОМБИНАТОРИКА В НАШЕЙ
ЖИЗНИ  
  
  
  

 
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание
Введение……………………………………………………………………….…..3 
1. Понятие  о науке «Комбинаторика» …………………………………………..5 
2. Комбинаторика  в различных областях жизнедеятельности  человека……...8 
2.1. Музыкальная  комбинаторика ………………………………………………8
2.2. Мебельная  комбинаторика ...………………………………………………10
2.3. Математика  на шахматной доске …………………………..……….....…..11
2.4. Пароли и  коды в нашей жизни …………………………………………….13 
3. Выбор нескольких  элементов
3.1. Сочетания  в нашей жизни …........................................................................14
3.2. Примеры решения  задач на нахождение числа  сочетаний .……………..20 
Заключение ……………………………………………………………………..25
Литература……………………………………………………………………….26
Приложения ……………………………………………………………………..27  
                                                      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение                                        
"Число, положение  и комбинация -                                       
три взаимно пересекающиеся, но                                       
различные сферы  мысли, к которым                                        
можно отнести все  математические                                       
идеи".                                                            
 Дж. Сильвестр (1844 г.)     
Человеку  часто приходится иметь дело с  задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число  всех возможных способов осуществления  некоторого действия. Разные пути или  варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные  комбинации. Такие задачи приходиться  рассматривать при определении  наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической системы управления, значит и в  теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными  приложениями. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском  ответов на вопросы: сколько всего  есть комбинаций в том или другом случае.     
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая  комбинации и перестановки предметов, казалось, долгое время лежала вне основного русла развития математики и ее приложений. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным  делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета  дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находят отражение и в школьном курсе математики. [8].     
В нынешнее время комбинаторика имеет  огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому –  химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.      
Объект  исследования: область математики – комбинаторика.     
Цель: исследования: показать, что область комбинаторики широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.      
Гипотеза: комбинаторика имеет широкий спектр практической направленности.     
Задачи  исследования:     
- собрать, изучить и систематизировать  материал о комбинаторике.      
-рассмотреть   использование комбинаторики в  различных сферах жизнедеятельности     
- рассмотреть как элементы комбинаторики,  в частности сочетания, используются  при решении различных жизненных  ситуаций;     
- показать практическую значимость  комбинаторики как области математики.  

1. Понятие о науке  «Комбинаторика»                                       
"Вперёд поедешь  — голову сложишь,                                       
направо поедешь  — коня потеряешь,                                       
налево поедешь  — меча лишишься"     
Человеку  часто приходится иметь дело с  задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число  всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации.     
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая  комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным  делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета  дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. [8].     
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать  их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение  охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов –  во время работы. По мере усложнения производственных и общественных отношений  все шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании. [3].     
Одним из первых занялся подсчетом числа  различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. [9].     
Со  временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.     
Задача, в которых идет речь о тех или  иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.     
Комбинаторика как наука стала развиваться  в VIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер. [15].     
В 1896 году американский математик Элиаким Гастингс Мур (1862-1932)    ввёл    термин тактическая конфигурация в статье "Tactical memoranda", понимая под этим термином систему n множеств, содержащих, соответственно, a1, a2, … , an элементов. К тактическим конфигурациям Мур относит сочетания, размещения, системы решений задачи Киркмана о 15 школьницах, подгруппы некоторых групп. Он демонстрирует широкий спектр задач из геометрии, теории групп, которые приводят к тактическим разложениям или используют тактические разложения. Мур обогатил список известных комбинаторных конфигураций. (Приложение №1)     
Термин "тактика" ввёл в математику английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897) в 1861 году. Сильвестр определял тактику как раздел математики, изучающий расположение элементов друг относительно друга. В сфере этого раздела находится, по мнению Сильвестра, теория групп, комбинаторный анализ и теория чисел. (Приложение №2) [11].     
В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. Так, с помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием «проблема четырех красок»: удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страны, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет [12].     
2. Комбинаторика в  различных областях  жизнедеятельности  человека     
2.1. Музыкальная комбинаторика                                             
А вот и Моцарт по сотовому.                                             
В сотый раз, но только начало.                                             
Из ожиданий соткана,                                             
Внезапно музыка звучала.                                             
А дальше что-то личное,                                             
Тут даже Моцарт лишний,                                             
Людских страстей излишества                                             
Для пересудов пища…                                               
Минута встреч эфирная,                                             
Итоги эфемерные,                                             
А музыка красивая,                                             
В ней вечности – немерено.                                                          
 Виктор Бабковский      
В знаменитой книге Германа Гессе  «Игра в бисер» есть соображения  о внутренней связи музыки с математикой. В работе Марины Радославовны говорится, что комбинаторика связана с построением музыкальной ткани из мельчайших элементов. Расположение элементов идет по трем координатам – вертикали, горизонтали и диагонали фактуры. Диагональ можно сравнить с глубиной. Движение внутри ансамбля по разным тембрам дает диагональ. В фактуре это надо увидеть, что связано с определенными способностями, подготовкой. [7] 
Марина  Радославовна: «Я одновременно и вижу, и слышу. Любое произведение я переживаю как исполнитель. А в интерпретации могут быть различные способы прочтения, например, можно находить мельчайшие единицы, из которых построена музыкальная ткань, а затем распознавать закономерности в их расположении. Моцарт, изучению музыки которого посвящена моя кандидатская диссертация, – гений музыкальной комбинаторики. Им создана уникальная техника, это «комбинаторика музыкальных мотивов и фигур». Мозг Моцарта можно сравнить с потрясающим компьютером, не знаю, какого поколения, наверное, еще не созданного. Ключевое слово здесь «фигура». Это тот мельчайший элемент, который является строительной единицей музыкальной ткани. Фигурационное письмо связано с совокупностью приемов организации музыкальной ткани, а воплощается в живом звучании.»     
Есть  очень интересные исследования Александра Сергеевича Соколова, который сейчас занимает пост министра культуры. Он высказывал мысль, что мы находимся на излете музыкальной письменности. Это относится, в частности, к серьезной электронной музыке. Увлечение сонорикой, электронными тембрами и возможностями компьютерного представления создает работы совершенно необычные, позволяет находить комбинаторику в музыке, работать со звуком. Звук не то чтобы умножается, а приобретает несколько качеств, возможности конструирования возрастают многократно.     
Мелодии говорят о человеческих чувствах. А уже когда речь идет о явлениях подсознательных, надсознательных, то мелодия должна быть другой. Она не может быть такой естественной, как песня, вылившаяся из души. Открываются такие неизведанные глубины, и эти глубины тоже входят в нашу жизнь и требуют отражения.      
2.2. Мебельная комбинаторика     
Концепция «мебельная комбинаторика» позволяет  по-новому взглянуть на окружающие предметы интерьера. В основу концепции  положены три критерия – эргономичность, функциональность и вариативность. Мы рассмотрели, как можно комбинировать  из нескольких столешниц и оснований  любой стол. [7]. (Приложение №3)     
Стол  кованный сборно-разборный  со стеклянной столешницей. Концепция два стола в одном. Конструкция стола состоит из двух одинаковых частей, из которых можно сделать 2 журнальных стола. Инновационность стола – это полые детали, изготовленные методом ручной горячей ковки в серийном исполнении. При этом стол выглядит массивным и обладает легким весом. Стол является частью программы мебельная комбинаторика. Суть программы заключается в том, что основания столов и столешницы могут комбинироваться между собой. Столы могут комплектоваться столешницами различной формы и материалов: стекло, лайтбрус, натуральное дерево (массив). Фурнитура включает в себя регулируемые опоры, колеса, витражные вставки.     
Мебельная комбинаторика позволяет рассматривать различные варианты комплектации предметов мебели и выбирать из них наилучшее, комфортнее и практичнее.     
2.3. Математика на  шахматной доске     
Профессиональный  интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был  связан с двумя направлениями: математической логикой и комбинаторикой. Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил. Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге. Сошлемся на посвященные этим вопросам книги Л.Я. Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске» (1935) [12] и Е.Я. Гика «Математика на шахматной доске» (1976) [6]. Нужно упомянуть еще работы Мартина Гарднера, вышедшие под общим названием «Математические развлечения». В них содержатся материалы, посвященные шахматным задачам. Вот несколько примеров. Определение размера награды создателю шахматной игры потребовало от «администрации» легендарного индийского царя вычисления количества пшеничных зерен, равного числу с 20 значащими цифрами. [1].     
Задачи  о шахматной доске, на которой  не все поля принимаются во внимание, представляют собой алгоритмический  интерес в игре, поскольку они  определяют, в частности, поля внимания играющего при принятии решения о ходе, который он намерен сделать. Кроме того, вследствие изменения количества полей и формы шахматной доски появляются новые разновидности игры, например шахматы, предложенные Робертом Фишером.     
Исследование  геометрии шахматной доски приводит к разработке алгоритмов для известных и широко применяемых на практике интуитивных правил «квадрата», «треугольника» или «линии Троицкого», позволяющих оценить качество позиции не только на много ходов вперед, но и окончательно, как в приведенных случаях. Более того, при геометрическом анализе позиции в шахматной партии могут возникать и так называемые экстремальные задачи. Их решение помогает отыскивать мат за наименьшее количество ходов.     
Если  теперь обратить внимание на шахматную доску с расположенными на ней фигурами, то возникающие задачи уже будут носить явно выраженный игровой характер. Особенно тогда, когда это задачи с достаточно интересным набором фигур. К ним относятся не только случаи вроде такого, как обойти конем все поля шахматной доски, занимая каждое поле лишь один раз, но и знаменитые коллекции многофигурных эндшпилей. Значительная часть комбинаторных задач связана с определением числа возможных расстановок фигур на доске, что очень важно при поиске однотипных позиций, приводящих к одинаковому результату в дальнейшем течении партии.     
Как известно, основной способ поиска наилучшего хода заключается в переборе возможных  ходов, рассмотрении движения по дереву последовательных позиций и оценке возникающих в результате них состояний игры. Но это весьма дорогостоящий путь в том смысле, что при его прохождении играющему предъявляются непомерные требования по времени даже в случае использования компьютера. Поэтому при поиске наиболее эффективных алгоритмов в компьютерных шахматах принято учитывать как можно больше ограничений (условий), упорядочивающих перебор, т.е. позволяющих отбрасывать те позиции, которые при выборе хода рассматривать не нужно. Эти задачи представляют, как правило, трудности и для математиков, из-за чего получили распространение так называемые эвристические методы их решения. В разработку эффективных методов перебора внесли большой вклад советские математики А. Брудно и В. Арлазаров, предложившие альфа-бета процедуру и форсированный вариант, реализованные еще в шахматной программе «Каисса». [13].     
Так как борьба за уменьшение времени  на «обдумывание» хода всей программой является принципиальным фактором, то математики затрачивают массу усилий на создание входящих в нее приложений (задач, решаемых при поиске нужного хода), работающих наиболее быстро, а также требующих по минимуму оперативной памяти. Так, в свое время один из авторов «Каиссы» придумал изящную реализацию нахождения сочетаний для m фигур и n мест, которые они могут занимать, что весьма важно для эффективной работы подобной программы.     
Клод  Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.     
По  существу компьютерные шахматы —  едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.     
2.4. Пароли и коды  в нашей жизни.     
Вся наша жизнь состоит из множества  разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.     
В качестве кода в зависимости от рода программы могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так  далее...     
Одна  и та же программа, в зависимости от того какой пароль будет предложен, будет выполняться по-разному, в соответствии с предложенным паролем. [6].     
Рассмотрим  на следующем примере – завязывание  отношений между двумя людьми. Допустим знакомится парень с девушкой, возникает программа взаимоотношения. В зависимости от того, что сделает или будет говорить один из них, отношения, а вернее программа отношений будет принимать тот, или иной характер. Если, кто то из них вводит пароль дружбы, вражды, романтики или любой другой, путем каких-то слов или действий будет один результат, другой пароль – другой результат.     
Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к  нам приходит жизненный опыт, он то как раз и есть ничто иное как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек  всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому – что он располагает большей комбинацией паролей.     
Мир вокруг нас постоянно меняется, однако все происходящие изменения вовсе  не хаотичны, как может показаться на первый взгляд. Любые трансформации  внутри Вселенной могут быть классифицированы, их структура отражена в восьми триграммах, их шестидесяти четырех комбинациях (гексаграммах). [14].     
3. Сочетания в нашей  жизни     
В зависимости от правил составления  комбинаций можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. [10].     
Изучив  подробнее один тип комбинаций –  это сочетания, мы решили выполнить  несколько задач и проанализировать полученные результаты.     
Рассмотрим  случай выбора двух элементов.     
Пример 1.В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?     
Решение. Рассмотрим таблицу результатов  встреч размером 7 х 7.
  1-я 2-я 3-я 4-я 5-я 6-я 7-я
1-я  команда              
2-я  команда           0:3  
3-я  команда              
4-я  команда             4:3
5-я  команда              
6-я  команда   4:0 2:2        
7-я  команда   2:3   1:1      
    
     

Так как никакая команда не играет сама с собой, то клетки по диагонали  надо закрасить. Тогда в подсчёте числа встреч будет участвовать  ровно 7*7-7=7(7-1) = 42 клетки. В результате закрашивания таблица разделилась на две половинки, в них результаты встреч дублируются. Поэтому если мы разделим оставшиеся 42 клетки на две равны половины, то получим число всех проведённых игр.      
Коротко решение задачи выглядит так:     
(7(7-1))/2 = 21.         
    Ответ: 21.     
Около 2500 лет тому назад древнегреческие  математики находили сумму 1+2+3+…+(п - 1)+ п  с помощью примерно таких  же рассуждений. Сначала они рисовали клетчатую лесенку, в основании  которой - полоса из п клеток, над  ней полоса, в которой (п-1) клетка, затем полоса с (п-2) клетками, и т.д.; в предпоследней строке стояли две клетки, а наверху – одна клетка. Правее они рисовали ту же лесенку, но в перевёрнутом виде: внизу – одна клетка, над ней – две, затем – три клетки,…, а последняя строка состоит из п клеток.     
Затем, сдвинув эти лесенки вместе, получали прямоугольник из п строк и (п+1) столбца.     
Число клеток в этом прямоугольнике равно  п(п+1). Значит, в каждой из двух равных между собой лесенок находится  ровно (п(п+1))/2 клеток.     
Получилась  замечательная формула для суммы первых п натуральных чисел:     
(1 + 2 +…+ ( п -1) + п = п(п +1))/2  [10].      
 Вернёмся к примеру 1. Состав  участников игры определён, как  только мы выбрали две команды.  Значит, количество всех игр в  турнире из п команд – это  в точности количество всех выборок двух элементов из п данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т.е если выбраны две команды, то какая из них первая, а какая вторая – не важно.     
Пример 2. Встретились 6 друзей и каждый пожал  руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?      
Решение.      
Первый  способ. Можно, как и в примере 1, составить таблицу рукопожатий 6 друзей. Затем, рассуждая аналогично, получим, что общее число рукопожатий равно (6(6-1))/2 = 15.     
Второй  способ. Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего 5 рукопожатий Для второго  неучтёнными остались рукопожатия с третьим, четвёртым, пятым, шестым. Всего 4 рукопожатия, и т.д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15. 
Подведём промежуточный итог, оформим его в виде теоремы.     
Теорема 1 (о выборах 2-х элементов). Если множество  состоит из п элементов, то у него имеется( п(п-1))/2 подмножеств состоящих  из 2-х элементов.      
Пример 3. В классе 27 учеников. К доске  нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски?     
Решение. Для стирания с доски порядок  вызова учеников не важен, т. е., к примеру, вызов Коли и затем Кати ничем не отличается от вызова Кати затем Коли. А вот в первом случае порядок существенен (по крайней мере, для Кати и Коли). Тут применимо правило умножения. Учитель сначала вызывает решать алгебраическую задачу одного из 27 учеников, а затем независимым образом вызывает одного из оставшихся 26 учеников решать задачу по геометрии. Получается 27*26 = 702 способа вызова.     
Если  во втором случае начать считать, как  в первом, то любую пару учеников мы посчитаем дважды. Значит, количество вызовов без учета порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество вызовов с учетом порядка.     
Ответ: а) 702;  б) 351.      
Это рассуждение верно и в общем  случае выбора двух элементов из п  данных. Оказывается, что всегда количество выборок  двух элементов без учета  порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество выборок с учётом порядка. На рисунке     
В следующем примере поговорим  о выборе трёх элементов из данного  множества.      
Пример 4. В классе 27 учеников, из которых  нужно выбрать троих. Сколькими  способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором?      
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.