На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Контрольная Пределы последовательностей и функций. Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений

Информация:

Тип работы: Контрольная. Предмет: Математика. Добавлен: 11.06.2003. Сдан: 2003. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


14
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по высшей математике Содержание:
    1. Пределы последовательностей и функций 2
    2. Производная и дифференциал 3
    3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4
    4. Неопределенный интеграл 7
    5. Определенный интеграл 9
    6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений 11
    Литература 12
1. Пределы последовательностей и функций
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .
В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такой номер , зависящий от выбранного , начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на , т. е.
при .
Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.
.
Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа можно указать другое положительное число (зависящее от выбора ) такое, что абсолютная величина разности будет меньше , когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля
, если при .
Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке ».
Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что при всех справедливо неравенство : .
Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
2. Производная и дифференциал
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Производной функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается
.
Например, выражение следует понимать как производную функции в точке .
Определение производной можно записать в виде формулы
. (4.1)
Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.
В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что - это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.
Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы
.
Если функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная функция дифференцируема в точке и или .
Если функция дифференцируема в точке и , то сложная функция также дифференцируема в и верна следующая формула
или .
Пример.
Найти производную функции
Решение:
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)
Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,
если то при
- возрастающая, - убывающая.
Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).
Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) (рис. 1).
у max у

min
f(х0) f(х0)
О х0- х0 х0+ х О х0- х0 х0+ х
точка максимума
точка минимума
Рис. 1
Из определений точек экстремума следует, что вне -окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.
Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.
Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.
2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения и .
3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.
4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.
5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.
6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.
Пример. Провести полное исследование функции
Решение:
Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:
1. найти область определения функции;
2. исследовать на четность и нечетность функцию;
3. найти точки разрыва функции;
4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;
5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;
7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.
Областью определения функции является множество .
Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция претерпевает разрыв в точке .
Найдем асимптоты графиков функции:
а). Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.
,
б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,
где ;
Таким образом, прямая является единственной наклонной асимптотой и на , и на .
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
а) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - .
б) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - .
6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.
Из получаем , откуда , .
+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.
Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").
7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.
Очевидно, что в интервале вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).
Несмотря на то, что при переходе через точку вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.
Из получаем , откуда , .
+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.