На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Простейшие способы обработки опытных данных. Подбор параметров способом средних. Подбор параметров способом наименьших квадратов. Применение простейших способов обработки опытных данных к конкретным процессам.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 08.08.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


7

Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа
Простейшие способы обработки опытных данных.

Выполнила студентка 5курса
математического факультета
О.И. Окуловская
/подпись/

Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Л.В. Ончукова
/подпись/

Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Л.В. Караулова
/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И.Варанкина

/подпись/ << >>

Киров
2003
Оглавление.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1.Простейшие способы обработки опытных данных . . . . . . . . . . . 4
1.1.Подбор параметров способом средних . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.Подбор параметров способом наименьших
квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§2.Применение простейших способов обработки опытных
данных к конкретным процессам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.Применение простейших способов обработки опытных данных к математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Применение простейших способов обработки
опытных данных к физической модели . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Применение простейших способов обработки опытных данных к реальному процессу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Введение.

Данная тема не достаточно широко освещена в математической литературе.В математической статистике при обработке опытных данных чаще всего применяются способ средних и способ наименьших квадратов.
В настоящее время эти способы широко применяются при обработке количественных результатов естественно-научных опытов, технических данных, астрономических и геодезически наблюдений и измерений.
Также возможно применение этих способов при обработке полученных практическим путем данных физических процессов. Например, изучая силу тока в проводниках с постоянным сопротивлением, мы можем зафиксировать значение силы тока при определенном напряжении, то есть не во всех точках, а в небольшом количестве. Применяя способ средних и способ наименьших квадратов, мы имеем возможность с помощью полученных точек подобрать такую функцию, которая бы наиболее близко проходила через эти точки. Это позволяет более полно использовать информацию из наблюдений.
Цели данной работы:
Овладение простейшими способами обработки опытных данных.
С помощью способа средних и способа наименьших квадратов для экспериментально найденных функционально зависимых величин подобрать функцию, которая наиболее точно описывала бы данный процесс.
Применить описанные методы для описания реальных процессов.
§ 1. Простейшие способы обработки опытных данных.
1.1. Подбор параметров способом средних.
Способ средних основывается на допущении, что наи-более подходящей линией служит та, для которой алгебраическая сумма укло-нений равна нулю. Для того чтобы найти этим способом неизвестные постоян-ные в эмпирической формуле, сначала подставляем в эту формулу все пары наблюдавшихся или замеренных значений x и y и получаем столько уклонений, сколько пар значений (x ; y) в таблице (уклонения--вертикальные расстояния от данных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения по группам, составляя столько групп, сколько неизвестных параметров эмпи-рической формулы надо найти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений по каждой группе, получим систему линейных уравнений относительно пара-метров.
a) Частный случай.S = A*tq.
t
t1
t2
t3
t4
. . .
. . .
tn
S
S1
S2
S3
S4
. . .
. . .
Sn
Уклонения имеют вид = A*tq - S. Подставляя значения S и t , взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему урав-нений относительно параметров A и q:
(l<n)
Решение этой системы затруднительно. Поэтому без большей потери в точности, можно приравнять нулю сумму уклонений логарифма S, то есть
' = lg A + q * lg T - lg S.
Тогда система примет вид
(l<n)
Из системы и определяют q и S.
b) Частный случай . S = a0 + a1*t + a2 *t2.
t
t1
t2
t3
t4
. . .
. . .
tn
S
S1
S2
S3
S4
. . .
. . .
Sn
Уклонения имеют вид = a0 + a1 * t + a2 * t2 - S . Подставляя значения S и t , взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему
урав-нений относительно параметров a0, a1, a2 :
(l<m<n)
Из системы и определяют a0, a1, a2.
1.2.Подбор параметров способом наименьших квадратов.
На практике часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функционально связанных величин x и y известны n пар соответствующих значений ,которые могут быть представлены в виде таблицы
x
x1
x2
x3
. . .
xn
y
y1
y2
y3
. . .
yn
Требуется в наперед заданной формуле y = f(x,1, 2, …,m) определить m параметров 1, 2, …,m (m < n) так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы известные n пар значений x и y.
Оценки параметров 1, 2, …,m определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений значений y, вычисленных по формуле, от заданных, то есть
L = [f (xk,1, 2, …,m) - yk ] 2
принимала наименьшее значение. Поэтому сам способ получил название способа наименьших квадратов.
Это условие дает систему m уравнений, из которых определяются 1, 2, …,m:
?L/?1=0,
?L/?2=0 , (1)
. . . . . .
?L/?m=0.
На практике заданную формулу y = f(x,1, 2, …,m) иногда прихо-дится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать (при подборе параметров в формулах y=A*ect и y=A*tq).
a) Частный случай. y = A ect.
Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую x и y, предвари-тельно логарифмируют и заменяют формулой
lg y = lg A + c*lg e*x .
Продифференцировав величину L по A и c и приравняв нулю, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными A и c.
(2)
Система (2) примет следующий вид:
(2')
Для определения коэффициентов (2') удобно составить вспомогательную таблицу:
k
xk
xk2
lg yk
xk*lg yk
1
x1
x12
lg y1
x1*lg y1
2
x2
x22
lg y2
x2*lg y2





n
xn
xn2
lg yn
xn*lg yn
Из системы (2') определяют c и A .
б) Частный случай. y=A*xq.
Эту формулу также предварительно логарифмируют и заменяют следующей:
lg y = lg A + q * lg x.
Система (1) теперь примет вид
(4)
Вспомогательная таблица имеет вид
k
lg xk
lg2 xk
lg yk
lg xk * lg yk
1
lg x1
lg2 x1
lg y1
lg x1 * lg y1
2
lg x2
lg2 x2
lg y2
lg x2 * lg y2





n
lg xn
lg2 xn
lg yn
lg xn * lg yn
?
Из системы (3) определяют A и q.
22
§2. Применение простейших способов обработки опытных данных к конкретным процессам.
2.1.Применение простейших способов обработки опытных данных к математической модели .

Задача 1. На рисунке 1 изображена индикаторная диаграмма (упрощенная) паровой машины
S
A
10 B
C
70 t
рис.1
Точки кривой ВС соответствуют значениям из таблицы 1:
T
35
40
45
50
55
60
65
70
S
10
8,41
7,21
6,29
5,56
4,96
4,47
4,06
Нужно, используя способ средних и способ наименьших квадратов, найти
такую функцию, график которой наиболее приближен к данным точкам.
Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую
таблице 1. Уклонения имеют вид д`= lg A + q*lg t - lg S.Подставив
онкретные значения S и t, получим:
д`1= lg A + 1,5441*q - 1,0000 ,
д`2= lg A + 1,6021*q - 0,9248 ,
д`3= lg A + 1,6532*q - 0,8579 ,
д`4= lg A + 1,6990*q - 0,7987 ,
д`5= lg A + 1,7404*q - 0,7451 ,
д`6= lg A + 1,7782*q - 0,6955 ,
д`7= lg A + 1,8129*q - 0,6503 ,
д`8= lg A + 1,8451*q - 0,6085 .
Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получаем систему уравнений для определения параметров А и q:
4*lgA + 6,4984*q = 3,5814 ,
4*lgA + 7,1766*q = 2,6994 .
Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017,02 . Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 1017,02 * t -1,3 .
t
35
40
45
50
55
60
65
70
S
10
8,41
7,22
6,29
5,56
4,97
4,47
4,06
Ошибка составляет: У (Д Si)2 = 0,012 + 0,012 = 0,0002 .
Способом наименьших квадратов подберем степенную функцию
вида S = A*tq , отвечающую таблице 1.
Составим вспомогательную таблицу:
K
xk = lg Sk
xk2
yk = lg Sk
xk * yk
1
1,5441
2,3842
1,0000
1,5441
2
1,6021
2,5667
0,9248
1,4816
3
1,6532
2,7331
0,8579
1,4183
4
1,6990
2,8866
0,7987
1,3570
5
1,7404
3,0290
0,7451
1,2968
6
1,7782
3,1620
0,6955
1,2367
7
1,8129
3,2866
0,6503
1,1789
8
1,8451
3,4133
0,6085
1,1227
?
13,6748
23,4516
6,2808
10,6362
Получаем систему уравнений:
13,6748*q + 8*lgA = 6,2808 ,
23,4516*q + 13,6748*lgA = 10,6362 .
Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 1017*t -1,3 .
T
35
40
45
50
55
60
65
70
S
10
8,42
7,22
6,29
5,56
4,96
4,48
4,06
Ошибка составляет: У (Д Si)2 = 0,012 + 0,012 +0,012= 0,0003 .
Способом наименьших квадратов подберем показательную
функцию S = A*ect, отвечающую таблице 1.
Составим вспомогательную таблицу:
K
T
t2
y=lgSk
T*y
1
35
1225
1,0000
35,0000
2
40
1600
0,9248
36,9920
3
45
2025
0,8379
38,6055
4
50
2500
0,7987
39,9350
5
55
3025
0,7451
40,9805
6
60
3600
0,6955
41,7300
7
65
4225
0,6503
42,2695
8
70
4900
0,6085
42,5950
?
420
23100
6,2808
318,1075
Получаем систему уравнений:
420*c*lg e + 8*lg A = 6,2808 ,
23100*c*lg e + 420*lg A = 318,1063 .
Решение этой системы c = - 0,026 , A = 23,27 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 23,27 * e - 0,026*t .
T
35
40
45
50
55
60
65
70
S
9,39
8,25
7,25
6,37
5,59
4,91
4,32
3,79
Ошибка составляет:
У (Д Si)2 = 0,3721 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0064 + 0,0009 + 0,0025 +
+ 0,0729 = 0,5045.
Таким образом, кривую ВС для заданных значений t и S
(таблица 1) наиболее точно описывает степенная функция вида
S = A*tq , найденная с помощью способа средних.
2.2.Применение простейших способов обработки опытных данных
к физической модели .

Задача 2. На рисунке 2 представлена индикаторная диаграмма
дизельного двигателя
Рис.2
Адиабата ВС соответствует значениям таблицы 2:
T
4
6
8
10
12
14
16
18
20
S
35
20,66
14,21
10,64
8,39
6,87
5,77
4,95
4,32
Адиабата AD соответствует значениям таблицы 3:
T
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
S
35
13,73
7,94
5,39
3,99
3,12
2,53
2,11
1,8
1,56
Требуется с помощью способа средних и способа наименьших
квадратов для адиабат AD и BC найти такие функции, графики которых
наиболее приближены к данным точкам.
Рассмотрим адиабату ВС.
Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую
таблице 2. Уклонения имеют вид д`= lg A + q*lg t - lg S.Подставив
конкретные значения S и t, получим:
д`1= lg A + 0,6021*q - 1,5441 ,
д`2= lg A + 0,7782*q - 1,3151 ,
д`3= lg A + 1,9031*q - 1,1526 ,
д`4= lg A + 1,0000*q - 1,0269 ,
д`5= lg A + 1,0792*q - 0,9238 ,
д`6= lg A + 1,1461*q - 0,8370 ,
д`7= lg A + 1,2041*q - 0,7612 ,
д`8= lg A + 1,2553*q - 0,6946 ,
д`9= lg A + 1,3010*q - 0,6355 .
Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим
систему уравнений для определения параметров А и q:
5*lg A + 4,3626*q = 5,9625 ,
4*lg A + 4,9065*q = 2,9283 .
Решение этой системы q = -1.3 , A = 212.22 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 212.22*t - 1,3 .
T
4
6
8
10
12
14
16
18
20
S
35
20,66
14,22
10,64
8,39
6,87
5,77
4,95
4,32
Ошибка составляет: У (Д Si)2 = 0,012 = 0,0001 .
Способом наименьших квадратов подберем функцию вида S = A*tq , которая отвечает таблице 2.
Составим вспомогательную таблицу:
K
xk = lg tk
xk2
yk = lg Sk
xk*yk
1
0,6021
0,3625
1,5441
0,9297
2
0,7782
0,6056
1,3151
1,0234
3
0,9031
0,7028
1,1526
1,0412
4
1,0000
1,0000
1,0269
1,0269
5
1,0792
1,1647
0,9238
0,9970
6
1,1461
1,3135
0,8370
0,9593
7
1,2041
1,4499
0,7612
0,9166
8
1,2553
1,5758
0,6946
0,8710
9
1,3010
1,6926
0,6355
0,8268
?
9,2690
9,9802
8,8907
8,5928
Получаем систему уравнений:
9,2690*q + 9*lgA=8,8907 ,
9,9802*q + 9,2690*lgA=8,5928 .
Решение этой системы q = -1,3 , A = 212,21 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 212,21*t -1,3 .
T
4
6
8
10
12
14
16
18
20
S
35
20,66
14,22
10,65
8,39
6,87
5,77
4,95
4,31
Ошибка составляет: У (Д Si)2 = 0,012 + 0,012 = 0,0002 .
Способом наименьших квадратов подберем функцию вида
S = A*ect, отвечающую таблице 2.
Составим вспомогательную таблицу:
K
t
t2
y = lg Sk
T * y
1
4
16
1,5441
6,1764
2
6
36
1,3151
7,8906
3
8
64
1,1526
9,2232
4
10
100
1,0269
10,2690
5
12
144
0,9238
11,0856
6
14
196
0,8370
11,7180
7
16
256
0,7612
12,1792
8
18
324
0,6946
12,5028
9
20
400
0,6355
12,7100
?
108
1536
8,8907
93,7548
Получаем систему уравнений:
108*c*lg e + 98*lg A=8,8907 ,
1536*c*lg e + 108*lg A=93,7548 .
Решение этой системы c = - 0,124 , A = 41,05 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 41,05*e - 0,124*t .
T
4
6
8
10
12
14
16
18
20
S
25,39
19,97
15,71
12,36
9,72
7,64
6,01
4,73
3,72
Ошибка составляет:
У(Д Si)2 = 9,612 + 0,692 + 1,52 + 1,722 + 1,332 + 0,782 + 0,332 + 0,022 +
+ 0,262 + 0,432 = 10,6719 .
Рассмотрим адиабату AD.
Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую
таблице 3. Уклонения имеют вид д`= lg A + q*lg t - lg S.Подставив
конкретные значения S и t, получим:
д`1 = lg A + 0,3010*q - 1,5441 ,
д`2 = lg A + 0,6021*q - 1,1377 ,
д`3 = lg A + 0,7782*q - 0,8998 ,
д`4 = lg A + 0,9031*q - 0,7316 ,
д`5 = lg A + 1,0000*q - 0,6010 ,
д`6 = lg A + 1,0792*q - 0,4942 ,
д`7 = lg A + 1,1461*q - 0,4031 ,
д`8 = lg A + 1,2041*q - 0,3243 ,
д`9 = lg A + 1,2553*q - 0,2553 ,
д`10 = lg A + 1,3010*q - 0,1931 .
Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим
систему уравнений для определения параметров А и q:
5*lgA + 3,5844*q = 4,9142 ,
5*lgA + 5,9867*q = 1,6700 .
Решение этой системы q = -1,35, A = 89,125 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 89,125*t - 1,35 .
T
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
S
34,.96
13,72
7.94
5.38
3.98
3.11
2.53
2.11
1.8
1.56
Ошибка составляет:
У(Д Si)2 = 0,042 + 0,012 + 0,012 + 0,012 + 0,012 = 0,002.
Способом наименьших квадратов подберем функцию вида
S = A*tq , которая отвечает таблице 3.
Составим вспомогательную таблицу:
и т.д.................


K
xk = lg tk

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.