На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Геометрия узоров

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 10.07.2012. Сдан: 2011. Страниц: 10. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


          Содержание. 

    Введение……………………………………………………………....2-3
    Глава І. Геометрия орнамента.
      Что такое орнамент?...........................................................4-6
      Как можно построить орнамент..……………………………..7-8
      Атлас орнаментов…………...................…………………..…9-10
      Виды орнаментов. Как создают орнаменты………………..11-13
Глава ІІ. Паркет из правильных многоугольников.
2.1. Паркет как вид орнамента. ……………………………………….14
2.2. Задача о «замощении» плоскости…………………………….15-16
Заключение……………………………………………………………...17
Библиография…………………………………………………………...18
    Приложение………………………………………………………….19-25    
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

    Введение. 

    Актуальность: Работа касается одного из самых интересных вопросов геометрии - классификации орнаментов.
    Восхищаясь  рукотворной красотой орнаментов, воплощенных в предметах декоративно-прикладного искусства коврах, паркетах, гобеленах, вышивке, - мы не задумывались о роли геометрии в создании этих произведений.
    Между тем сочетание таланта мастера и его геометрических умений занимает важное место в орнаментальном искусстве.
    Орнаменты с давних времен применяются в  декоративном искусстве. Так, на рис.1 воспроизведены древнеегипетский орнамент (а), два мавританских орнамента (б и в), китайская оконная решетка (г), а также орнамент, украшающий окно мечети в Каире (рис. 2). С другой стороны, при исследовании геометрического строения кристаллов выяснилось, что их атомы расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный орнамент.
    Гипотеза: Именно это открытие побудило в конце XIX века физиков и математиков подробнее изучить орнаменты (тогда и было дано точное математическое определение орнамента). Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом, если выполнены следующие условия:
    среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы;
    среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наименьшей длины.
       Исходя из выше сказанного, определяется  цель работы.
    Предмет: Роль геометрии в создании предметов декоративно-прикладного искусства.
    Проблема: Математические закономерности, связанные с орнаментами и паркетами.
    Одна  из разновидностей орнамента - паркет. В математике паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют общую сторону, причем объединение сторон всех многоугольников является плоским орнаментом. Задача о «замощении» плоскости паркетами решалась давно.
    Задачи:
    Определить, что такое орнамент.
    Познакомиться с видами орнаментов.
    Рассмотреть геометрические преобразования, которые лежат в основе создания орнаментов.
    Определить количество видов правильных паркетов.
    Классификацией  паркетов занимался Е. С Федоров, который доказал,  что  существует  17 различных типов паркетов. 
        В работах А. Землякова, А. И. Азевича, И. Ф. Шарыгина, Л. М. Смирновой рассматриваются вопросы, связанные с конструированием орнаментов и узоров с использованием законов симметрии при их построении.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Глава І. Геометрия орнамента. 

      Что такое орнамент?
    Как написано в Советском энциклопедическом  словаре, орнамент (от лат. ornamentum - украшение) - это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий оружия) и архитектурных сооружжений Связанный с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует, орнамент, как правило, выявляет и подчеркивает своим построением, формой и цветом архитектурные и конструктивные особенности предмета, природную красоту материала.
    В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжать в разные стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена и замкнута.
    В народном творчестве, где орнамент нашел наибольшее распространение, постепенно складывались устойчивые формы  и принципы построения орнамента, во многом определившие национальные, художественные традиции разных народов.
    Каждая  эпоха, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента - мотивы, формы, расположения на украшаемой поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно  определить, к какому времени и  к какой стране относится то или  иное произведение искусства.
    Так, в орнаментах Древнего Египта наибольшее распространение нашли растительные мотивы, и среди них особенно часто встречались листья и цветы лотоса (рис. 3, а).
    Кажется, что египетский орнамент содержит какую-то тайну. Ведь египтяне так любили тайны. Над загадками их архитектуры и науки и сейчас бьются ученые-египтологи. Когда вы держите книгу обычным образом, то на рисунке вам бросаются в глаза нераспустившиеся бутоны. Но поверните книгу «вверх ногами», и тот же самый орнамент предстанет совсем другим: вы увидите лотос во всей красе, он широко раскинул свои великолепные лепестки, как бы вознаграждая нас за догадливость и умение видеть.
    Классическими стали наиболее распространенные древнегреческие орнаменты - меандр и акант (рис. 3, б; 3, в).
    Слово «меандр» происходит от названия очень  извилистой реки в Малой Азии. Ныне она называется Большой Мсндерес. Орнамент меандр как будто повторяет  излучины этой прихотливой реки. Лкант - это род травянистого растения, распространенного в Средиземноморье. У него большие листья, красиво изогнутые стебли. В обоих этих орнаментах греки предстают перед нами прилежными учениками природы, которой они поклонялись. Они умели рассказать словами, вылепить из глины, вытесать из мрамора прекрасную сказку про каждый холм, каждую речку, каждый лист.
    Не  будет преувеличением сказать, что  нигде орнаментальное искусство  не достигло такого расцвета и совершенного воплощения, как на мусульманском  Востоке. Для него характерно сочетание геометрических и растительных мотивов, так как Кораном было запрещено изображение людей и животных.
    Впоследствии, распространившись по Европе, этот вид орнамента получил название «арабеска» (от ит. arabesco - арабский). В исламских странах арабеску представлял узор, как на I рис. 3, г. На первый взгляд мы видим повторения, диктуемые симметрией, но это только самые крупные элементы орнамента. Распознать основной, мельчайший, элемент (фундаментальную область) на глаз чрезвычайно трудно.
    Высокого  развития орнамент достиг в средневековой  Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей, фантастических животных и человеческих фигур. Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и в вышивке. В плоском орнаменте одним из наиболее часто используемых мотивов является так называемая плетенка - различного вида переплетения полосок типа лент, ремней, стеблей цветов (рис. 3, д).
    Русский орнамент противоречив, как русская  душа. В нем I вроде бы все просто, много свободного пространства, как будто на бескрайнем белоснежном поле распустились невиданные цветы. Сначала они кажутся незатейливыми, но если всмотреться, то не хочется и глаз отводить.
    При исследовании геометрического строения кристаллов выяснилось, что их атомы  расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный орнамент.
    По  сути, именно это открытие побудило в конце XIX века физиков и математиков подробнее изучить орнаменты (тогда и было дано точное математическое определение орнамента). Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом, если выполнены следующие условия:
    1) среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы;
    2) среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наименьшей длины.
    О том, как построить плоский орнамент, какие преобразования плоскости используются при их создании, - в следующем параграфе. 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.2. Как можно построить орнамент.
    Рассмотрим  на плоскости фигуру Ф - квадрат с заштрихованной половинкой, как на рис. 4, а, а также два перемещения плоскости: f1RА90° - поворот вокруг вершины квадрата А на 90°, и f1 = Sa - симметрию относительно прямой а - продолжения стороны квадрата (рис. 4, а). Применимы к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений f1 и f2 - в произвольном порядке и в любом числе. В результате мы получим совокупность плоских фигур, конгруэнтных Ф, - так называемый плоский орнамент фундаментальной областью Ф и порождающими перемещениям f1 и f2 ), он изображен на рис. 4, б.
      Сначала мы забываем о заштрихованном треугольнике и применяем наши композиции только к квадрату.
                                       f1 RА90°, f1 х f2= RА180°,
                                      f1 х f1х f1 х = RА270°,
    Повторив  проделанную процедуру (последовательные повороты с последующей симметрией). Ясно, что применение к исходному квадрату всех возможных композиций перемещений f1 и f2 дает сетку квадратов на плоскости. Теперь мы «вспоминаем» о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по уже готовой сетке с помощью отображений f1 и f2 и их композиций (рис. 6, г), получится как раз орнамент, изображенный на рис. 4, б.
    Кроме прямой а, этот орнамент имеет много  других осей симметрии - на рис. 6, а они выделены пунктиром Очевидно, при поворотах вокруг точки А на углы, кратные 90° (то есть на углы 90°, 180°, 270° и 360° или 0е), весь орнамент отображается на себя, поэтому говорят, что 4 - центр симметрии порядка 4 (здесь 4 = 360°/90°). Наш орнамент имеет бесконечно много центров порядка 4 - на рис. 6 это светлые точки. Около каждой из них можно выделить состоящую из четырех треугольников фигуру «порядка 4» - две из них изображены на рис. 6, а; весь орнамент можно представить в виде объединения таких фигур.
    У данного орнамента есть еще и  центры симметрии порядка 2, то есть такие точки, при повороте вокруг которых только на угол 360/2 = 180° орнамент отображается сам на себя, - на рис. б, а они отмечены кружочками. Около этих точек, можно выделить фигуры «порядка 2» - три из них изображены на рисунке. Наконец, рассматриваемый орнамент отображается сам на себя и при бесконечном числе параллельных переносов, три из которых показаны па рис. 6, б стрелками на рис. 6, б изображен как бы «скелет» нашего орнамента - оставлены только сетка осей симметрии и две «решетки» центров симметрии, порядков 4 и 2 (заметим, что центры симметрии порядка 2 - это то же самое, что и обычные центры симметрии). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        Атлас орнаментов.
    Множество всех перемещений плоскости, при  которых орнамент отображается сам на себя, называется группой симметрии орнамента - в нее входят и осевые симметрии, и повороты, и параллельные переносы.
    Такое название согласуется с определением группы, принятым в математике: множество перемещений плоскости, отображающих орнамент на себя, является группой относительно операции композиции перемещений. «Скелет» орнамента можно понимать как схему его группы симметрии (только на скелете не изображены переносы). Заметим, что любую «симметричную» фигуру данного «порядка» можно некоторым перемещением из группы симметрии отобразить на любую другую фигуру того же «порядка». Если вместо треугольника в фундаментальной области,  в квадрате Ф, заштриховать какую-нибудь другую «подфигуру», то наши построения дадут геометрически новый орнамент; например, так получены орнаменты на рис. 8. Однако орнаменты
    и Б) имеют ровно ту же группу симметрии, что и предыдущий, - все эти орнаменты относятся к одному типу. Орнамент
    уже не относится к этому типу: за счет добавочной симметрии заштрихованной подфигуры у этого орнамента появились наклонные оси симметрии, а «половина» центров симметрии порядка 2 превратилась в дополнительную решетку центров симметрии порядка 4.
    На  рис. 9 изображены 15 подфигур Ф, и для  каждой из них указаны некоторые  перемещения f1 и f2 ... Оси симметрии отмечены пунктиром, центры поворотов обведены кружком, а в скобках указаны углы поворотов; стрелками показаны параллельные переносы. Если в каждом случае применить к фигуре Ф всевозможные композиции перемещении f1 и f2 (в любом порядке и количестве), то получится 15 орнаментов. Это будут орнаменты разных типов, их группы симметрии устроены по-разному (имеют разные сетки осей симметрии или разные наборы порядков центров симметрии - разные «скелеты», или же разные множества. Самое замечательное, однако, в том, что если добавить к этим орнаментам еще два, изображенные на рис. 9, то получится полный «атлас» плоских орнаментов! Оказывается, существует только 17 различных типов орнаментов, или ровно 17 различно устроенных групп симметрии плоских орнаментов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Виды  орнаментов. Как создают  орнаменты.
    По  характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (его еще называют бордюром), сетчатым и розеточным.
    Рассмотрим  ленточные орнаменты - бордюры. Бордюром называют плоскую геометрическую фигуру, характеризующуюся векторами и п (где п - целое число), при которых эта фигура переходит в себя, но не переходит в себя при параллельных переносах иного вида. Вектор  называют направляющим для бордюра.
    Простейший  бордюр построить очень просто: достаточно нарисовать какую-нибудь геометрическую фигуру и выполнить параллельный перенос на заданный вектор влево  и вправо вдоль полосы. Такая «первоначальная  фигура» называется фундаментальной областью бордюра. Бордюры встречаются в разных местах: в настенных росписях, на лестничных переходах. Их можно увидеть в чугунном литье, которое используется в оградах парков, решетках мостов и набережных.
    Доказано, что существует семь классов симметрии бордюров. Рассмотрим их.
    Первый - бордюры, которые не имеют иных симметрии, кроме параллельных переносов (рис. 10, а).
    Второй  бордюры, у которых фундаментальная  область обладает центром симметрии О (рис. 10, б).
    Третий  и четвертый - бордюры, у которых  фундаментальная область имеет ось симметрии, параллельную вектору а (рис. 10, в) или перпендикулярную вектору а (рис. 10, г).
    Пятый - бордюры, у которых фундаментальная  область имеет одну ось симметрии, перпендикулярную вектору а, а другую - параллельную вектору а (рис. 10, д).
    Шестой  и седьмой - бордюры, имеющие такие  оси симметрии, которых нет у фундаментальных областей. Например, фундаментальная область на рис. 10 имеет кроме тождественного преобразования еще одну симметрию, центральную относительно точки О. Но если бесконечно много раз последовательно переносить эту фигуру на вектор а, то получим бордюр с бесконечно большим числом осей симметрии, перпендикулярных вектору а.
    Фундаментальная область на рис. 10 имеет осевую симметрию. Перенесем эту область на вектор а, а потом выполним симметрию относительно оси. Получим узор, имеющий центр симметрии. Повторяя эту операцию п раз, построим бордюр, имеющий п центральных симметрии. На рис. 10 центры симметрии бордюра выделены светлыми точками.
    Помимо  бордюров художникам-орнаменталистам  известен и другой вид орнамента - сетчатый. Он заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором. Для построения такого орнамента выделяют плоскую решетку, в которой одинаковые части повторяются в определенной геометрической последовательности. Различают пять типов плоских решеток, каждая из которых определяется двумя векторами а и б и углом ? между ними. На рис. 11 показаны разные виды решеток: а) квадратная (а = б, а = 90°), в) прямоугольная (а ? б, а = 90°), в) гексальная = б, а =60°), д) ромбическая (а = б, а? 90°, а ? 60°), г) косая (а ? б,
    а ?90°).
    Вид орнамента определяется не только структурой его решетки, но и числом элементов его симметрии. Зная геометрические закономерности, можно и самим сконструировать интересный орнамент или определить те геометрические преобразования, которые положены в его основу. На рис. 12 показан прямоугольник ABCD, который может служить ячейкой орнамента. Тогда каждую сторону прямоугольника и одну из его средних линий - MN - будем использовать как ось симметрии. (На рис. 12 выполнена осевая симметрия относительно только оси СВ.) Таким образом, орнамент, построение которого начато на рис. 12, будет содержать пять осей симметрии.
    Чем больше элементов симметрии содержит элементарная ячейка, тем интереснее и красивее орнамент. Возьмем, например, квадратную ячейку орнамента на рис. 13, а. Ясно, что каждая прямая, проходящая через сторону квадрата, а также прямая A/.V в ячейке ABCD может стать осью симметрии орнамента. Кроме того, укажем девять точек (А, В, С, D, М, О, N, L, К), вокруг которых можно повернуть ячейку, чтобы образовать новую ячейку или совместить старую ячейку саму с собой. Вокруг указанных точек можно сделать в одном направлении только два желаемых поворота - на угол в 180° и на угол в 360°. Поэтому точки А, В, С, D, М, О, N, L называются центрами поворота осей второго порядка (порядок оси определяется числом поворотов, обеспечивающих совмещение элементов орнамента). Сами оси упомянутых поворотов проходят перпендикулярно плоскости орнамента, поэтому на рис. 13, а они не видны. Но две из них специально показаны на пространственном чертеже (рис. 13, б). Например, если повернуть ячейку ABCD вокруг точки С на 180°, то получим ячейку ABCD. Но если ту же ячейку повернуть на 180° вокруг точки К, то получим ячейку В B'DC. При поворотах на 360° вокруг точек С, К и других квадрат ABCD совмещается сам с собой.
    Помимо  описанных видов орнамента в  произведениях искусства встречается еще один. Такой орнамент замкнут и ограничен определенной геометрической формой (квадратом, ромбом, треугольником, кругом и др.). Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник, называется розеткой. 
 
 
 
 
 
 

Глава ІІ. Паркет из правильных многоугольников. 

    2.1. Паркет как вид  орнамента
    В строительном деле паркет - это настил пола из твердых пород дерева, обработанного  в виде тонких дощечек разных форм. Наличие паркета в жилище обеспечивает его гигиену, малую теплопроводность и хорошую звукоизоляцию. Паркет это не только удобство, но и красота помещения, поскольку он своеобразный орнамент. Над созданием все новых и новых паркетов-орнаментов трудились многие поколения мастеров.
    В математике паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют общую сторону, причем объединение сторон всех многоугольников является плоским орнаментом. Паркет называется правильным, если все многоугольники разбиения правильные (возможно, с различным числом сторон) и любую вершину паркета можно перевести в любую другую его вершину некоторым перемещением, отображающим весь паркет на себя. Изображенные на рис. 14 разбиения А) и Б) вообще не являются паркетом в определенном выше смысле; разбиения В) и Г) - паркет, но неправильный, и, наконец, разбиения Д) и Е) являются правильным паркетом. 
 
 
 
 
 
 
 

    2.2. Задача о «замощении»  плоскости
    В математике паркетом называют «замощение»  плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий.
    Еще пифагорейцы установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных треугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных шестиугольника (рис. 14). Поскольку это утверждение  касается каждой точки плоскости» процесс «замощения» плоскости, начатый от точки О, может быть продолжен от точки О1 и т. д. Таким образом, получается, что простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.
    Более сложный паркет-орнамент можно сконструировать, если построить на сторонах квадрата правильные треугольники, а на сторонах этих треугольников, не примыкающих  к исходному квадрату, - опять те же самые квадраты.
    Такая конструкция, содержащая только квадраты и равносторонние треугольники, способна заполнить всю плоскость (рис. 15).
    Мозаика поливных плиток на сооружениях мемориального  ансамбля Шах-и-Зинда в Самарканде дает пример построения орнаментов, в  которых используются квадратные решетки. Рассмотрим орнамент, в котором элементарной ячейкой является часть неправильного  шестиугольника (рис. 17). Приняв сторону квадратной ячейки за единицу, подсчитаем стороны шестиугольника SJHPNM. Очевидно, что JH = NM = 2, тогда JS = HP = PN = = . Такое соотношение сторон дает возможность вписать в неправильный выпуклый шестиугольник звездчатый шестиугольник со сторонами, равными 1 и /2.
    В восточных орнаментах встречаются  правильные восьмиугольники и квадраты. Заметим, что заполнение плоскости паркетом, составленным из правильных восьмиугольников и квадратов, возможно только так, как показано на рис. 17, 18, 19. 

    Заключение.
    Решение задач, связанных с архитектурными орнаментами Средней Азии, убеждает в том, что геометрия занимала важное место в практической деятельности древних зодчих и мастеров орнаменталистов. Они хорошо владели построениями, измерениями и геометрическими доказательствами. В средние века на мусульманском Востоке было распространено мнение, что геометрия очищает и совершенствует человеческий ум. Не может совершить ошибку человек, постоянно занимающийся геометрией. Эта мысль прививалась с самого раннего детства. Перекидывая мост к греческой античности, восточные мыслители твердили слова, приписываемые Платону: «Тот, кто не знает геометрии, не может входить в наш дом».
     Вывод: Начав работу с описания архитектурных орнаментов, мы погрузились в мир геометрических построений, познакомились более подробно со способами геометрических преобразований и увидели, как геометрия служит созданию красоты и удобства, то есть того, что объединяют одним словом - гармония. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Библиография. 

    Азевич, А. И. 20 уроков гармонии. М., 1998 (Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 7.
    . Александров, С. Измельчающиеся узоры. Квант.-1980.-№4.
      Земляков, А. Орнаменты. Квант. - 1977. № 3.
      Михайлов, О. Одиннадцать правильных паркетов [Текст] / О. Михайлов . Квант. - 1979. - № 2, с. 9-14.
    Таболников С. Вариации на тему. Квант. 1990.-№12.
    Фёдоров Е. С. Симметрия на плоскости. СПб., 1981.
    Цукарь, А. Бордюры. 1998. № 13.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Приложение. 

   а) Древнеегипетский орнамент  
 
 
 
 

    б, в) два мавританских орнамента 
 
 
 
 
 
 
 

  г) китайская оконная решетка 
 
 
 
 
 

   Рис. 1 
 
 

 
 
 
 
 
 

     Окно  мечети в Каире. 
 

     Рис. 2 
 
 
 
 

     Рис. 3 

 
 
 
 

а) Орнамент Древнего Египта – листья и цветы лотоса

 
 
 

б, в) Древнегреческий  орнамент – меандр и акант
  

 
 
 
 

г) Узор в исламских  странах арабеску д) Русский орнамент –
                                                                                      плетёнка.                     
 
 

 Рис. 4

Плоский орнамент 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 6
Сетка орнамента
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.