На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


доклад Четвертая проблема Гильберта

Информация:

Тип работы: доклад. Добавлен: 13.07.2012. Сдан: 2011. Страниц: 12. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Четвертая проблема Гильберта
В докладе «Математические  проблемы», сделанном на II Международном  Конгрессе
математиков, происходившем  в Париже с 6 по 12 августа 1900 года, Давид  Гильберт
(1862-1943) сформулировал  свои знаменитые 23 математические  проблемы, которые в
значительной  степени определили развитие математики 20-го века. Этот доклад,
охватывающий проблемы математики в целом и является уникальным явлением в истории математики.
4-ая проблема  Гильберта названа им «ПРОБЛЕМОЙ  О ПРЯМОЙ КАК
КРАТЧАЙШЕМ СОЕДИНЕНИИ ДВУХ ТОЧЕК». 4-я проблема Гильберта относится к разряду фундаментальных проблем
геометрии. В  ее формулировке, полученной из оригинала, суть проблемы состоит в
нахождении геометрий, чьи аксиомы наиболее близки к  Евклидовой геометрии, если при
этом сохраняются аксиомы порядка и инцидентности, аксиома конгруэнтности
ослаблена, и  аксиома о параллельных опущена».
Отметим, что  у самого Гильберта в его докладе  априори (или даже явно)
предполагается  возможность замены аксиомы Евклида о параллельных (ибо она опущена)
другими аксиомами. Поэтому Гильберт в качестве геометрий, наиболее близких к
евклидовой геометрии, называет геометрию Лобачевского (гиперболическую  геометрию)
и геометрию  Римана (эллиптическую геометрию). Саму же 4-ю проблему Гильберт
формулирует так: «Более общий вопрос, возникающий  при этом, заключается в
следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить
геометрии, которые  с таким же правом могли бы считаться  ближайшими к
обыкновенной  евклидовой геометрии».
В математической литературе 4-я проблема Гильберта  иногда считается
сформулированной  в весьма расплывчатой форме, что  затрудняет ее окончательное
решение. Как  подчеркивается в [3], «оригинальная  формулировка 4-й проблемы Гильберта
является весьма расплывчатой для получения определенного  ответа». В работе [4]
американский  геометр Герберт Буземан проанализировал весь комплекс вопросов,
связанных с 4-й проблемой Гильберта, и также пришел к заключению, что эти вопросы
являются излишне  широкими. В этой связи следует  отметить также книгу [5],
посвященную частному решению 4-й проблемы Гильберта.
Несмотря на критическое отношение математиков  к 4-й проблеме Гильберта,
необходимо подчеркнуть  ее чрезвычайную важность для развития математики, в
частности, геометрии. Без всякого сомнения, интуиция Гильберта  привела его к выводу,
что геометрии  Лобачевского, Римана и другие неевклидовые геометрии не исчерпывают
все возможные  варианты возможных неевклидовых геометрий. 4-я проблема Гильберта
нацеливает исследователей на поиск новых неевклидовых геометрий, которые являются
ближайшими геометриями  к обыкновенной евклидовой геометрии. 

«Так проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль
одновременно  в основаниях геометрии, в теории кривых на поверхностях, в механике и в
вариационном  исчислении....
Более общий  вопрос, возникающий при этом заключается  в следующем: возможно ли ещё с
других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли  бы
считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии...»
Под ближайшими к евклидовой геометрии Гильберт указал геометрию Лобачевского
(гиперболической  геометрии), геометрию Римана (эллиптическую  геометрию), неархимедовы
геометрии и  геометрию Минковского.
Необходимо отметить, что решением этой проблемы занимались многие математики. История
вопроса о научных  результатах, относящихся к 4-ой проблеме Гильберта на русском языке
подробно изложена как в самом докладе Гильберта, так и в комментариях к этому докладу,
сделанных И.М. Ягломом«К четвёртой проблеме Гильберта» в сборнике «Проблемы Гильберта»
(под редакцией  П.С.Александрова),Москва:Наука,1969, 240 с. (эта книга в дальнейшем была также
переиздана), а также в статье американского геометра Г. Буземана «О четвёртой проблеме
Гильберта»,Успехи математических наук,1966, Т.21, вып.1,(127) с.155-164.
В частности, Г.Буземан считает, что «даже постановка четвёртой проблемы Гильберта
является неоправданно широкой, достаточный простор остаётся здесь ещё и при наложении  на
рассматриваемую геометрию тех или иных дополнительных условий». В то же время, как отмечает
Г.Буземан, «Гильберт рассматривает анализ понятия расстояния как часть проблемы»
Первым вкладом  в решение этой проблемы является диссертация немецкого математика
Гамеля, защищённая в 1901 г. под руководством Гильберта (на русском языке результаты Гамеля и
комментарии к  нему читатель может найти в вышеуказанных  статьях Г.Буземана и И.М. Яглома).
Как указано  в этих статьях, «работа Гамеля, разумеется не исчерпала всего, что можно сказать о
четвёртой проблеме Гильберта, другие подходы к которой  неоднакратно предлагались и позже».
Остановимся более  подробно на важном вкладе в решение  этой проблемы, сделанным
выдающимся советским  математиком А.В. Погореловым, автором  книги «Четвертая проблема
Гильберта», Москва:Наука, 1974, 80 с.
По мнению американского  геометра Г. Буземана, «А.В. Погорелов получил исключительно
изящный результат, позволяющий находить все такие  двумерные пространства с симметричной
метрикой посредством  некоторой единой конструкции, восходящей к интегральной геометрии».
Аннотация к  этой книге гласит следующее:
«Книга содержит решение известной проблемы Гильберта  об определении всех с точностью
до изоморфизма  реализаций систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского,
эллиптической), если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и
пополнить эти  системы аксиомой «неравенство треугольника».Книга рассчитана на студентов-
геометров старших  курсов, аспирантов и научных работников».
Почему же в  таком случае в упомянутой выше таблице  «Проблемы Гильберта» в Википедии
(сентябрь 2009 года) отсутствует указание на решение  этой проблемы А.В. Погореловым,  а также в
украинской газете «Техническая украинская газета» (Киев, март 2009 года) в специальной статье,
посвящённой 90-летию  А.В.. Погорелова, относительно 4-ой проблемы Гильберта, решённой А.В.
Погореловым, сказано, что «она сформулирована слишком  расплывчато, чтобы понять, решена она
или нет».
С нашей точки  зрения, ответ на этот далеко не простой  вопрос состоит в следующем. Как
следует из книги  А.В. Погорелова «Четвёртая проблема Гильберта», у него подход к построению
геометрий Eвклида, Лобачевского и Римана аксиоматический, как, впрочем, и у Eвклида,
Лобачевского  и Римана.
А именно, Погорелов  выполняет следующие операции.
4
1.Он берёт  для каждой из этих геометрий  соответствующую ранее этим геометриям известную
систему аксиом, удовлетворяющую условиям независимости, непротиворечивости и полноты, что
уже сделано  до него усилиями Евклида (геометрия  Евклида), Пуанкаре, Бельтрами, Лобачевского
(геометрия Лобачевского), Римана (геометрия Римана) и других  авторов. Реализация этих геометрий
с этим набором  аксиом уже давно была известна до Погорелова. Таких реализаций было известно
конечное число.
2.Среди этих  аксиом для каждой из этих  трёх геометрий встречаются две  аксиомы
конгруэнтности (в смысле равенства)
Аксиома конгруэнтности отрезков
Если два отрезка  конгруэнты (равны) третьему отрезку, то они конгруэнты между собой
Аксиома конгруэнтности углов
Если два угла конгруэнтны (равны) третьему, то они  конгруэнтны между собой.
3.Погорелов выбрасывает  аксиому конгуэнтности углов, заменяя её аксиомой неравенства
треугольника: «длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его
других сторон».
В случае такой  замены для каждой из этих геометрий  аксиома конгруэнтности углов
становится ТЕОРЕМОЙ, если реализовывать геометрии Евклида, Лобачевского или Римана. В
противном случае, система аксиом Погорелова не может удовлетворять трём условиям:
независимости, непротиворечивости и полноты.
После фактического доказательства этой теоремы, каким  бы изящным методом она не
получена, состоящей в реализации этих аксиом, автоматически восстанавливаются все прежние
системы аксиом для геометрий Eвклида, Лобачевского и Римана.
В этом, как нам  кажется, и состоит вклад Погорелова в четвёртую проблему Гильберта, и,
следовательно, то что он сделал, не есть полное решение четвёртой проблемы Гильберта.
4. Вот когда Н.И.Лобачевский вместо аксиомы Евклида (пятый постулат Евклида) (Аксиома
параллельных  прямых. «Через любую точку, лежащую  вне прямой, можно провести другую прямую,
параллельную  данной, и притом только одну» предложил  свою аксиому «Через точку, не лежащую
на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной
плоскости и  не пересекающие её», сохранив при этом все остальные аксиомы, то это  действительно
была революция  в геометрии.
В геометрии  Римана (эллиптическая геометрия) аксиома  о параллельных звучит так.«Каждая
прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома
противоречит  системе аксиом евклидовой геометрии , если не исключить аксиому о параллельных
Евклида..
5. Ведь вместо  аксиомы параллельных прямых мы могли бы использовать в качестве аксиомы
свойство углов  треугольника («сумма углов треугольника равна 180? для геометрии Евклида, меньше
180? для геометрии  Лобачевского и больше 180? для  геометрии Римана»). Но тогда необходимо
доказывать аксиому  о параллельных прямых в ситуации для Евклида, Лобачевского и Римана,
которая в этом случае становится ТЕОРЕМОЙ.
Эта теорема  доказывалась у нас в университете для студентов, когда нам читался  курс
«Основания геометрии». Но никто же никогда не говорил  тогда да и теперь, что это есть решение
четвёртой проблемы Гильберта.
6. Именно поэтому  в Википедии, последнее обновление  которой было 21 сентября 2009 года,
для четвёртой  проблемы Гильберта говорится, что  «она слишком расплывчатая» (чтобы  говорить о
её полном решении). И при этом не упоминаются ни фамилии Гамеля, ни фамилии Погорелова. Те
же слова о  «расплывчатости четвёртой проблемы Гильберта» (чтобы говорить о её окончательном
5
решении) приводятся и в недавней украинской газете «Техническая украинская газета» (Киев, март
2009 года) в статье, посвящённой 90-летию со дня  рождения А.В. Погорелова.
7. В заключениe к части I мне хочется также привести некоторые интересные мысли об
аксиоматическом подходе и проблемах Гильберта, прочитанной лауреатом Государственной
премии СССР академиком РАН Д.В. Аносовым 5 декабря 1999 г. для участников
III Международного  математического турнира старшеклассников "Кубок памяти А.Н. Колмогорова" -
школьников 8-11 классов.
Текст данной брошюры, вышедшей в серии "Библиотека "Математическое просвещение",
представляет  собой обработку записи этой лекции.
Д. В. Аносов. Взгляд на математику и нечто из нее
О дедуктивном  построении математики
Спустя две  тысячи лет один молодой человек, скорее даже юноша, читал "Начала" Евклида.
Он читал формулировку теоремы, на секунду задумывался, представляя  себе, о чем идет речь, ему
становилось ясно, что она верна, и он, не читая  доказательства, переходил к следующему
утверждению. Паренек  не понимал сути дедуктивного построения геометрии и зачем оно
нужно. Что ж, он был не первым и не последним  в этом отношении. Только это был  Ньютон.
Так как это  был Ньютон, то впоследствии он это  понял. Для своего времени он как  раз в
наибольшей степени  следовал нормам дедуктивного построения научной теории.
В школе обычно нет возможности полностью развернуть дедуктивное построение
геометрии. И не потому, что это сложно (вспомните, Ньютону первые предложения Евклида
вообще казались очевидными), а потому, что это  скучно и непонятно, зачем это  нужно
(вспомните о  нем же), и требует времени.
И надо следить, как бы ненароком не использовать что-нибудь совершенно нам ясное, но чего
мы пока что  еще не доказали. Предпринимались героические усилия, чтобы разработать
сравнительно  простую, легко обозримую аксиоматику  и чтобы строго логическое построение
геометрии на ее основе было по возможности коротким и прозрачным…
Внутренние математические проблемы
Вы, вероятно, знаете, что уже 100 лет регулярно проводятся Международные
математические  конгрессы. Так вот, при самом  их начале, на первом и втором конгрессах,
состоялись доклады  крупнейших математиков того времени  –
А. Пуанкаре и  Д. Гильберта, - посвященные двум первым компонентам развития
математики - вопросам, связанным с физикой (в то время  значение других приложений для развития
самой математики было значительно меньше, чем значение физики, да и сейчас она в этом
отношении лидирует, хотя и не в такой степени), и проблемам, возникающим в самой
математике….
Несколько слов в связи с докладом Гильберта. Сперва исторический нюанс: он был как бы
спровоцирован докладом Пуанкаре: Гильберт захотел  показать, что важнейшие стимулы  для
развития математики имеются внутри ее самой.
Доклад Гильберта  содержит сравнительно небольшую первую часть, где Гильберт в общих
чертах говорил  о значении конкретных проблем для  развития математики, и наиболее знаменитую
вторую часть, где он привел ряд таких проблем  с небольшими комментариями.
Переходя к  формулировке конкретных проблем, Гильберт сказал: "Разрешите мне в
дальнейшем, как  бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных
математических  дисциплин, проблем, исследование которых  может значительно стимулировать
дальнейшее развитие науки".
6
А заканчивая, он сказал, что "названные проблемы - это только образцы проблем"…  Они
оказали большое  стимулирующее влияние на развитие математики в XX веке.
Надо оговориться, что некоторые из проблем Гильберта  относились скорее к разработке
систематических теорий, они звучали примерно так: "Исследовать такие-то вопросы  с такой-то
точки зрения". Но большинство проблем - это были вполне конкретные вопросы, на которые
требовалось ответить "да" или "нет"…Почти все  задачи Гильберта теперь решены, правда,
некоторые - не полностью.
Особенно мало я сказал о приложениях. Что вы, вероятно, знаете хуже - это как и в какой
степени приложения, причем они бывают очень различными, поныне стимулируют развитие
самой математики.
Но раз уж я начал с цитаты из литературного  классика, цитатой и кончу:
"Никто необъятного  объять не может".
Часть 2. Решение 4-й проблемы Гильберта, основанное на «золотой» фибоначчивой
гониометрии
1
Давайте еще  раз проанализируем цитату из статьи о кафедре геометрии Харьковского
университета, в  которой утверждается: "В 1974 году в книге «Четвертая проблема Гильберта»
Алексей Васильевич решил эту проблему в следующем  смысле: он определил с точностью  до
изоморфизма все  реализации тех систем классических геометрий (Евклида, Лобачевского и
эллиптической), в которых опущены аксиомы конгруэнтности, содержащее понятие угла, и
которые дополнены аксиомой «неравенство треугольника».
Таким образом, здесь утверждается, что Погорелов  решил проблему в "определенном
смысле".То есть, если даже согласиться, что Погорелов решил 4-ую проблему Гильберта, то речь
идет лишь о  решении не в полном , а в "определенном смысле", то есть, частном решении этой
проблемы, откуда вытекает, что вполне возможны решения 4-й проблемы Гильберта и в
"других смыслах", поскольку сама проблема считается  "весьма расплывчатой", то есть 4-я
проблема Гильберта  является, несомненно, одной из самых  сложных.
Именно поэтому  решение проблемы, изложенное в следующих  статьях:
1). Стахов А.П., Арансон С.Х. Золотая фибоначчиевая гониометрия, преобразования
Фибоначчи-Лоренца  и четвертая проблема Гильберта // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-
6567, публ.14816, 04.06.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321087.htm
2). Stakhov, A.P. Aranson, S.Kh. "Golden" Fibonacci Goniometry, Fibonacci-Lorentz
Transformations, and Hilbert’s Fourth Problem. Congressus Numerantium, 193 (2008), 119-156,
является нашим  оригинальным решением 4-й проблемы Гильберта, которое радикальным
образом отличается от решения, изложенного в книге  Погорелова.
Мы же нигде  не говорим о том, что у нас  получено абсолютно полное и законченное
решение этой проблемы, хотя эти слова в разных вариациях  иногда приписывают А.В. Погорелову
его доброжелатели, но сам Алексей Васильевич, который  в жизни был чрезвычайно скромным
человеком, нигде  это не утверждает.
В основе нашего решения лежит так называемая «золотая» фибоначчиевая гониометрия,
изложенная в статье Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи
1 Гониометрия  - часть тригонометрии, определяющая  тригонометрические функции и  соотношения между ними (см. стб.
1076 ) в «Математической энциклопедии» (под редакцией И.М. Виноградова), Москва: Советская энциклопедия, 1977 ,
Том 1. А-Г, 1152 стб. , а не только часть геометрии, в которой рассматриваются лишь способы измерения углов.
7
и Люка и усовершенствованный  метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М.,
Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006.
Эта гониометрия  основана на так называемых «металлических пропорциях», введенных Верой
Шпинадель.
Развивая идею метрической формы плоскости  Лобачевского, задаваемой выражением
( ds)2 = (du)2 + sh2 (u)(dv)2 (1)
в упомянутых выше работах Стахова и Арансона предложено бесконечное множество
метрических форм плоскости Лобачевского, основанных на гиперболических l -функциях
Фибоначчи
2 2
( ) , ( )
4 4
x x x x
sF x cF x
- -
l l l l
l l
F -F F +F
= =
+ l + l
, (2)
где
4 2
l 2
F = l + + l (3)
«металлические  пропорции», задаваемые для любого действительного числа l > 0.
Новые метрические  формы Лобаческого задаются в координатах (u,v),0 < u < +?, -? < v < +? ,
имеют при любых  вещественных l > 0 гауссову кривизну K = -1 и представляются в виде
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 4 2 2
ln
4
ds l du sFl u dv
+ l = F + ?? ?? , (4)
где
4 2
l 2
F = l + + l - металлическая  пропорция и sFl (u) - гиперболический l -синус
Фибоначчи. Формы (4) названы метрическими l -формами  плоскости Лобачевского.
Отметим, что  вопрос нахождения метрических квадратичных форм
ds2=Е(u,v)du2+2· F(u,v ) dudv+G(u,v)dv2,
при заданной гауссовой  кривизне К ( в нашем случае К=-1 при любом l >0) сводится к решению
уравнения в  частных производных
К= { },
1
4
1
4 W u W v W
G
F
E
F G F E
G G
F F
E E
w
v u u v
u v
u v
u v -

+ ¶
-

- + ¶
где
W2=EG-F2.
Существуют и  другие формы записи вышеуказанного уравнения в частных производных  для
нахождения коэффициентов  метрических форм .
Рассмотрим частные  случаи метрических l -форм плоскости  Лобачевского, задаваемых (4).
1) «Золотая»  метрическая форма плоскости  Лобачевского
Для случая l = 1 мы имеем 1
1 5
1.61803
2
F = + » – золотая  пропорция, и, следовательно,
метрическая форма (4) сводится к следующему:
8
( )2 2 ( )( )2 5 ( ) 2 ( )2
ln
4
ds 1 du sFs u dv = F + ?? ?? , (5)
где 2 ( ) 2
1
1 5
ln ln 0.231565
2
? + ? F = ? ?  »
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.