На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Нормальные подгруппы конечных-обособленных груп. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов. Произведения 2-разложимых групп специальных видов.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 26.09.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


30
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
Разрешимость конечных групп
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31 Таратын В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.
Гомель 2005
Содержание
    Введение
      1. Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями k несверхразрешимым подгруппам
      2. О нормальных подгруппах конечных -обособленных групп
      3. К двум теоремам ведерникова
      4. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов
      Заключение
      Литература

Введение

В данной работе рассмотрены различные факты, касающиеся теории конечных групп. В 1 описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам (понятие добавления введено Л.А. Шеметковым). В 2 приведены некоторые факты о нормальных подгруппах конечных -обособленных групп. В 3 приведены обобщение и дополнение теорем В.А. Ведерникова о разрешимости конечных групп представимых в виде произведения подгрупп. В 4 установлена разрешимость конечной группы, являющейся произведением разрешимой и сверхразрешимой подгрупп нечетного индекса и показано что среди простых знакопеременных и спорадических групп лишь и являются произведением разрешимых подгрупп.

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Теорема 2.1 Если - -подгруппа, субнормальная в некоторой -холловской подгруппе конечной -обособленной группы , то .

Теорема 2.2 Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы , то для любого подмножества из .

Теорема 2.3 Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы и , то .

Теорема 3.1 Если группа , где подгруппы и 2-разложимы с модулярными силовскими 2-подгруппами, то разрешима.

Теорема 3.2 Если группа , где - нильпотентная -подгруппа с модулярными силовскими, а - -разложимая подгруппа и , то разрешима.

Теорема 3.3 Если , где - холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими, а - 2-разложимая подгруппа, то разрешима.

Теорема 4.1 (1) Среди знакопеременных и симметрических групп степени лишь группы и являются, -факторизуемыми: .

(2) Среди (двадцати шести) простых спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь группа Матьл является -факторизуемой: .

Теорема 4.2 Пусть с разрешимыми подгруппами и . Если или , или , где и - простые числа, то разрешима.

Теорема 4.3 Пусть группа , где и - подгруппы нечетных индексов. Если разрешима, а коммутант подгруппы 2-замкнут, то разрешима и .

1. Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями k несверхразрешимым подгруппам

В работе Л.А. Шеметков ввел понятие добавления (см. также , с.132). Добавлением к подгруппе конечной группы называется такая подгруппа из , что , но для любой собственной подгруппы из . Если, кроме того, , то называется дополнением к подгруппе .

Ф. Холл установил строение конечной группы, у которой все подгруппы дополняемы (, , с.291). Поскольку в каждой конечной группе любая подгруппа обладает добавлением, то аналогичная задача относительно добавлений охватывает класс всех конечных групп. Однако при дополнительных ограничениях, на добавления или на добавляемые подгруппы можно выделять разнообразные классы групп.

В настоящей заметке описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентным и добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых подгрупп. Доказывается

Теорема 1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все, подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна или , где - 5-группа, либо , где - 3-группа.

Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С.С. Левищенко . Среди них нет неразрешимых групп.

Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в , .

Нам потребуется следующая

Лемма 1. Пусть в конечной группе каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.

Доказательство. Пусть - произвольная подгруппа конечной группы , и пусть - несверхразрешимая подгруппа из . В группе существует нильпотентное добавление к подгруппе . Поэтому , а . Теперь - нильпотентна, и к можно взять нильпотентное добавление в подгруппе .

Пусть - нормальная в подгруппа, и - несверхразрешимая в подгруппа. Тогда несверхразрешима, и существует нильпотентная подгруппа такая, что . Теперь нильпотентна и , т.е. к подгруппе можно найти в нильпотентное добавление.

Доказательство теоремы 1. Пусть - конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Так как не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская 2-подгруппа, подгруппа - циклическая (, с.434). Поскольку не является сверхразрешимой, то существует нильпотентная подгруппа такая, что . С учетом четности порядка из теоремы 2.8 заключаем, что фактор-группа изоморфна или , где - некоторое простое число, а - наибольшая разрешимая нормальная в подгруппа. Кроме того, , a . Здесь и - элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка . Из теоремы 2.10 получаем, что - простое число.

В случае, когда и - простые числа в простой группе , каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе . Последняя подгруппа имеет в циклическое дополнение . Поэтому группа в случае, когда и - простые числа, удовлетворяет условию теоремы.

Проверим, что группа не удовлетворяет условию теоремы. Пусть . Известно, что - нормальная в подгруппа, a - циклическая группа порядка . Для силовской 2-подгруппы из имеем . Теперь . Поскольку и - простые числа, то в существует подгруппа порядка . Для подгруппа 2-замкнута, и внешний автоморфизм не централизует силовскую 2-подгруппу, поэтому несверхразрешима. Так как в нет нильпотентной подгруппы порядка , то не удовлетворяет условию теоремы при . Если , то в для подгруппы Шмидта, изоморфнойт знакопеременной группе степени 4, должна найтись нильпотентная подгруппа порядка, делящегося на 10. Но такой нильпотентной подгруппы в нет.

Итак, если , то изоморфна , где и - простые числа.

Пусть теперь . Предположим, что не является минимальной нормальной в подгруппой, и пусть - минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в . По индукции, , где - нильпотентна, a изоморфна или . Так как , то - собственная в подгруппа, и для ее прообраза в группе по индукции получаем, что , где или . Подгруппа характеристична в , a нормальна в , поэтому нормальна в . Так как и , то и . Поскольку для несверхразрешимой подгруппы из существует нильпотентная подгруппа такая, что , то будет нильпотентной подгруппой.

Теперь рассмотрим случай, когда - минимальная нормальная в подгруппа. Предположим, что коммутант - собственная в подгруппа. Так как , то . Из минимальности получаем, что и . Так как , где и - простые числа, то в этом случае теорема доказана.

Итак, пусть . Если - собственная подгруппа в своем централизаторе, то из простоты следует, что содержится в центре . Теперь группу изоморфна или по теореме VI.25.7 .

Пусть самоцентрализуема. Поскольку разрешима, то - -группа для некоторого простого . Допустим, что существует простое , делящее порядок , и пусть - силовская -подгруппа из . Если подгруппа сверхразрешима, то нильпотентна и не самоцентрализуема. Если не сверхразрешима, то по условию теоремы существует нильпотентная подгруппа такая, что . Но теперь будет разрешимой как произведение двух нильпотентных - подгрупп, противоречие. Итак, - наибольшее простое число, делящее порядок .

Допустим, что не содержится в . Тогда - собственная в подгруппа и . Так как и - -группа, то - группа, нечетного порядка. Подгруппа имеет порядок и - простое число. Поэтому и теперь , а фактор-группа будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.

Следовательно, содержится в и из самоцентрализуемости и нильпотентности получаем, что - -группа для наибольшего простого , делящего порядок . Из теоремы 2.1 получаем, что , a . Но теперь - подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как ее порядок равен , то нильпотентна, и опять не самоцентрализуема. Противоречие. Теорема доказана полностью.

Доказательство следствия. Пусть - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если - несверхразрешимая в подгруппа, то , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из , т.е. группа удовлетворяет условию теоремы. Поэтому или , где - нильпотентная группа. Если , то в имеется несверхразрешимая подгруппа индекса . Так как этот индекс должен быть примарен, то или , поэтому или , а - либо -группа, либо -группа. Если . то в имеется несверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка 24, а ее индекс равен и должен быть примарным, т.е. должна быть -группой. Следствие доказано.

2. О нормальных подгруппах конечных -обособленных групп

Пусть - некоторое множество простых чисел, а - дополнение к во множестве всех простых чисел. Конечная группа называется -обособленной или -разрешимой , если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо -группой. В силу теоремы Фейта-Томпсона о разрешимости групп нечетного порядка каждая конечная -обособленная группа либо -разрешима, либо -разрешнма. Поэтому для -обособленной группы справедливы - и -силовские теоремы . Отметим только, что -обособленная группа не обязана быть -обособленной, где . Через обозначается наибольшая нормальная -подгруппа конечной группы , а через - совокупность всех простых делителей порядка .

Теорема 1. Если - -подгруппа, субнормальная в некоторой -холловской подгруппе конечной -обособленной группы , то .

Следствие. Если - конечная -обособленная группа с нильпотентной -холловской подгруппой, то для любой -подгруппы .

Пример группы , где - автоморфизм порядка 5, указывает на то, что субнормальность подгруппы в теореме 1 отбросить нельзя.

Отметим, что следствие теоремы 1 в случае известно (см., например, , с.22).

Теорема 2. Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы , то для любого подмножества из .

Результат теоремы 2 является новым и в случае, когда множество одноэлементно.

Лемма 1. Если - минимальная нормальная подгруппа конечной группы , а - нормальная в неединичная подгруппа, то .

Доказательство. Достаточно вспомнить, что - прямое произведение изоморфных простых групп.

Лемма 2. Если - нормальная -подгруппа конечной группы , то для каждой -подгруппы из .

Доказательство. Ясно, что выполняется включение . Проверим обратное включение.

Если , то . Так как и - -холловские подгруппы -обособленной группы , то для некоторого . Поэтому и , т.е. равенство доказано.

Лемма 3. Если - конечная -обособленная группа и , то .

Доказательство. Пусть - формация -замкнутых групп. Тогда -радикал группы совпадает с . По теореме Л.А. Шеметкова фактор-группа имеет единичный -радикал. Из -обособленности теперь следует, что , т.е. .

Лемма 4. Пусть - -автоморфизм конечной -группы . Если - субнормальная в подгруппа и , то .

Доказательство. См. , с. 19, лемма 2.2

Доказательство теоремы 1. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Проверим, что .

Пусть . Тогда для фактор-группы и ее -подгруппы , субнормальной в -холловской подгруппе , где - -холловская подгруппа в , теорема верна. Поэтому . Поскольку , то

Отметим, что последнее равенство справедливо по лемме 2. Следовательно, .

Итак, . Пусть , a . Ясно, что есть -подгруппа, в которой субнормальна. На действует -группа , причем и . По лемме 4 получаем, что , т.е. . Теперь по лемме 3. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Пусть . Ясно, что , поэтому и . Если , то для фактор-группы теорема верна, а поэтому . Поскольку , то .

Пусть теперь , а . Обозначим через минимальную нормальную в подгруппу. Поскольку - либо -группа, либо -группа, а , то - -группа и . Поэтому - нормальная в -группа. Если , то - -группа по лемме 1, что противоречит тому, что . Следовательно, и .

Предположим, что - собственная в подгруппа. Тогда - -обособленная группа с -холловской подгруппой и . По индукции , а так как нормальна в , то . Таким образом, , что противоречит .

Следовательно, , т.е. содержится в центре . Но тогда и . Для фактор-группы теорема верна, поэтому . Поскольку - центральная подгруппа и не принадлежит , то и . Значит, , что и требовалось доказать.

Напомним, что -нильпотентной называют конечную группу, обладающую нормальной -холловской подгруппой, фактор-группа по которой нильпотентна. Через обозначается наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа конечной группы , а через - подгруппа Фиттинга группы .

Теорема 3. Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы и , то .

Доказательство. Ясно, что , а, значит, . Обратное включение проверим индукцией по порядку группы.

Предположим, что , т.е. , а . Минимальная нормальная в подгруппа содержится в . Далее, - нормальная в -группа. Так как не может быть -группой, то по лемме 1 и . Подгруппа нормальна в , поэтому - -холловская подгруппа -обособленной группы и . Подгруппа характеристична в , поэтому она нормальна в и .

Если - собственная в подгруппа, то по индукции , т.е. , а значит, и . Противоречие.

Следовательно, и содержится в центре . Теперь , где . Если , то , где - -подгруппа. Поэтому нормальна в , что невозможно. Итак, и для фактор-группы теорема верна. Значит, и , где - силовская -подгруппа из . Так как нормальна в , то нормальна в и . Теорема доказана.

Следствие.1. Если - нильпотентная -холловская подгруппа -обособленной группы и , то .

Следствие.2. Если - -холловская подгруппа -обособленной группы , то .

3. К двум теоремам ведерникова

В двух теоремах работы В.А. Ведерникова (см. также ) рассматриваются произведения 2-разложимых групп специальных видов. Первая теорема утверждает, что группа разрешима, если подгруппы и 2-разложимы с дедекиндовыми силовскими 2-подгруппами. Позже этот результат В.А. Ведерникова повторили Скотт и Гросс . Вторая теорема устанавливает разрешимость группы , если дедекиндова, а 2-разложима.

Результаты настоящей заметки обобщают первую теорему и дополняют вторую. Оказалось, что в первой теореме требование дедекиндовости силовских 2-подгрупп можно ослабить до модулярности. Во второй теореме требование дедекиндовости подгруппы можно заменить следующим: - холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими.

В дальнейшем используются следующие обозначения и определения: всегда конечная группа порядка ; если - подгруппа группы , то - некоторая силовская -подгруппа из , , - подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами из ; - некоторое множество простых чисел.

Группа называется -разложимой, если она разлагается в прямое произведение своих силовской -подгруппы и силовского -дополнения .

Группа называется -разложимой, если она -разложима для каждого .

-специальной группой называется группа, силовская -подгруппа которой инвариантна .

Понятие модулярной группы можно найти в . Там же доказано, что -группа модулярна тогда и только тогда, когда любые ее две подгруппы перестановочны. Поэтому свойство модулярности -группы наследуется не только ее подгруппами, но и фактор-группами. Очевидно, что дедекиндова группа, т.е. группа, у которой все подгруппы инвариантны, является модулярной.

Лемма 1. Если группа , где и - -специальные подгруппы и , то есть -группа.

Доказательство. Так как (, стр.676), то для каждого , где , , имеем:

Выберем наибольшую -подгруппу из группы , содержащую и перестановочную с для любого . Но , поэтому и . Покажем, что инвариантна в . Допустим противное, т.е. что существует такой элемент , что . Очевидно, мы можем считать принадлежащим для некоторого из . Если - произвольный элемент из группы , то и поэтому , т.е. перестановочна со всеми подгруппами, которые сопряжены с в группе . Значит, и группа , порожденная подгруппами и , перестановочна с для каждого . Теперь есть -группа. Подгруппа есть собственная подгруппа группы и . Получили противоречие с выбором . Следовательно, инвариантна в . Так как , то есть -группа. , поэтому . Но и , значит, есть -группа. Лемма доказана.

Из доказанной леммы вытекает лемма 1 А.В. Роман и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.