На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Шпаргалка Шпаргалка по "Математике"

Информация:

Тип работы: Шпаргалка. Добавлен: 16.07.2012. Сдан: 2011. Страниц: 16. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    Числовые  ряды.
Пусть дана числовая последовательность . выражение вида
  (1)  называют числовым рядом (рядом).
Числа называют членами ряда, число an с общим номером n называют общим членом ряда.
    Последовательность  частичных сумм. Сумма  ряда. Сходящиеся ряды.
Сумма конечного  числа первых членов ряда:
  называют частными  суммами ряда (1). Т.к.  число членов ряда  бесконечно, то частичные  суммы образуют  последовательность   (2)
Ряд (1) называют сходящимся, если последовательность (2) его частичных сумм сходится к  некоторому числу S . в этом случае число S называют суммой ряда (1). В противном случае ряд- расходящийся.
В случае сходимости записывается
    Свойства  сходящихся рядов
1. Если ряд  сходится, то сходится любой из  его остатков. Наоборот, из сходимости  какого-то остатка вытекает сходимость  всего ряда. Отсюда следует, что  изменение или выбрасывание конечного  числа членов ряда не изменяет  его сходимости или расходимости.
2. Если ряд   сходится, то .
3. Если ряд    сходится, то сходится ряд    и имеет место равенство   =c 
4. Если ряды   и   сходятся, то сходится и ряд     имеет место равенство =  +   
    Необходимое условие сходимости числового ряда.
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0.
( если предел  общего члена не равен нулю  или не существует, то данный  ряд расходится)
Доказательство:
Пусть данный ряд  сходится и его сумма равна  S. Для любого натурального n имеем или (3)
При обе частичные суммы стремятся к пределу S, поэтому из равенства (3) следует, что
.
    Числовые  ряды с неотрицательными членами.
Ряд вида а12+…+аn+…, все члены которых положительны.
    Критерий  сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
Критерий  сходимости
Для того чтобы  ряд с положительными членами  сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных  сумм была ограничена.
Доказательство
Необходимость. Пусть ряд сходится. Тогда существует предел его частичных сумм. Из свойств пределов следует, что последовательность частичных сумм ограничена.
Достаточность.  Поскольку все члены данного  ряда положительны и для любого n , то последовательность его частичных сумм монотонно возрастает. Однако известно, что ограниченная сверху последовательность имеет предел.
    Признаки  сравнения, признак  Даламбера и Коши, интегральный признак  для числовых рядов  с неотрицательными членами.
Первый  признак сравнения.
Пусть даны два  ряда с положительными членами:
 
Причем члены  первого ряда не превосходят соответствующие  члены второго ряда: . Тогда из сходимости ряда (2) («большего») следует сходимость ряда (1) («меньшего»). Эквивалентно- из расходимости меньшего следует расходимость большего.
Второй  признак сравнения
Если  для рядов (1) и (2) с  положительными членами  существует отличный от нуля предел отношения
, (4)
то  ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Признак Даламбера
Если  для ряда с положительными членами a1 + а2+... + аn +... существует такое число q < 1, что при всех n (или начиная с некоторого n) выполняется неравенство
     (6)
то ряд  сходится. Если же > 1 для всех или начиная с некоторого n, то ряд расходится
    Знакопеременные ряды. Абсолютная и  условная сходимость.
Особенно  часто среди знакопеременных  рядов встречаются ряды, члены  которых имеют чередующиеся знаки, т.е. знакочередующиеся ряды.
Условимся считать первый член ряда положительным; тогда знакочередующийся ряд  в общем виде запишется так:
   (1)
где все ап положительны (n = 1,2, ...).
      u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .(1)-знакопеременный ряд
|u1| + |u2| + |u3| + . . . + |un| + . . . (2) –знакопеременный ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
(*)
Ряд 1 называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2, составленный из модулей его членов. Справедливо и обратное утверждение.
Ряд 1 называют условно сходящимся, если ряд 1 сходится, а ряд 2 расходится.
    Признак лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
(теорема  Лейбница). Если члены  знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда п >?, то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.
    Степенные ряды.
Ряд вида a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (1)
Где a0, а1, а2,…,аn,…-некоторая числовая последовательность, называют степенным рядом.
a0, а1, а2,…,аn- коэффициенты степенного ряда
    Теорема Абеля
    Если степенной  ряд 1 сходится при некотором х=х0, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |x|<|x0|;
    Если ряд 1 расходится при некотором х=х1, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |x|>|x1|
    Интервал  и радиус сходимости степенного ряда
Множество U с R называется областью сходимости функционального  ряда , если для каждого значения x0?U сходится числовой ряд , а для x не принадлежащем U числовой ряд расходится.
, где R-радиус сходимости
(x0-R, x0+R)-интервал сходимости. На всем этом интервале ряд сходится.
    Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.
Теорема о почленном диф-ии степенного ряда. Пусть ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд a0+a1x+a2x2+…+anxn+(1)…. Рассмотрим степенной ряд a1+2a2x+a3x2+…+anxn-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда 1. Тогда
    Ряд 2 имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд 1
    На всём интервале (-R;R) ф-я f(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд 2
Теорема о почленном интегрировании степенного ряда. Если  ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд, то она интегрируема на этом интервале, интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.
    Ряды  Тейлора (Маклорена)
Если ф-я бесконечно диф-ма на некотором интервале (x0 ? R, x0 + R) и имеет ограниченные производные |f(n)(x)| < M?R, для всех x ? (x0 ? R, x0 + R) и n ? N, то на этом интервале справедливо равенство:
 
Если х0=0, то ряд Тейлора можно записать в виде:
 
Он называется рядом Маклорена.
    Достаточное условие разложимости в ряд Маклорена
Пусть ф-я f(x) определена и бесконечно диф-ма на интервале (-r;r). Если сущ-т такая константа М, что во всех точках интервала вып-ся нер-ва
, то в этом интервале  ряд Маклорена  сходится к ф-ии  f(x)/
    Разложение  в ряд Маклорена функций ex, sin x, cos x, 1/(1+x), ln(1+x), (1+x)a
 
 
 
 
 
    Пространство  Rn.
n-мерное векторное  пространство вводится на основе  сопоставления с множеством векторов  на плоскости и в пространстве.
Rn=R*R*R…R-арифметическое пространство элементами которого являются точки хi ? R(i=1…n)
    Расстояния  в Rn. Свойства расстояния.
Пусть х=(х1, х2, …), у=(у1, у2….), тогда ?(х,у)= называется расстоянием между точками х и у в Rn
Св-ва расстояния
    ?(х,у)?0
    ?(х,у)= ?(у,х)
    ?(х,у)+ ?(у,z)? ?(х,z)
    Окрестность точки в Rn
?-окрестностью точки  х? Rn множество точек у из Rn, такие, что ?(х,у)??
обозначение U?(x)
    Внутренние  и граничные точки  множества
Точка х называется граничной точкой множества Х, если для любого ?>0:
 U?(x)
U?(x) , где СХ - дополнение множества Х до Rn(СХ= Rn\Х)
    Открытые  и замкнутые множества
Мн-во называется открытым, если все его точки внутренние.
Если мн-во содержит все свои граничные точки, то оно замкнутое.
    Изолированные и предельные точки  множества
Точка х0?Х называется изолированной для Х, если существует  U?(x): для любого х? х0, х? U?0), х?Х
    Ограниченные  множества
Мн-во Х называется ограниченным, если сущ-т c>0, С?R: для любого х=(х1, х2,…)?Х |xi|<C( i=1…n)
    Сходимость  последовательности точек Rn , ее сходимость покоординатной сходимости
Определение. Пусть {рп} - последовательность точек в Rn. Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке р0, если числовая последовательность {р(р„, р0)} имеет предел 0.
Иначе говоря, последовательность n} сходится к р0, если расстояние {?(рn0)} неограниченно уменьшается с ростом n.
Можно дать и другое определение сходящейся последовательности - не через расстояние между точками, а через координаты точек. Для сокращения записей дадим это определение для п = 2.
Определение. Пусть р1 = (х1, у2) р2 = (х2, у2),... - последовательность точек в R2. Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке р0 = (x0, у0), если числовая последовательность х1, х2, ... сходится к числу x0, а числовая последовательность у1, у2, ... - к числу у0. 

 


Дайте определение  числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из
определения, сумму  ряда ?? qn при q <1.

25. Функция нескольких  переменных

 Функции нескольких переменных
У = f (х1,х2,... ,хп) используются для описания тех встречающихся в практических задачах ситуаций, когда значение одной величины у однозначно определяется значениями набора величин х1, х2,...,хп. Иногда вместо y = f(xl,x2,...,xn) пишут у = f(А), где A = (x1,x2,...,xn) ? Rn.
Величины х1, х2,...,хп называются аргументами функции; множество допустимых значений аргументов А = ( х1, х2,..., хп) называется областью определения функции и обозначается D(f). Множество значений у= f(A), получающихся при всех А из области определения, называется областью значений функции.

26. Поверхности (линии)  уровня функции  нескольких переменных

    линии (поверхности) уровня. Для непрерывной функции двух переменных у = f(x1, х2) линии уровня - это линии на плоскости с координатами (х1, х2), задаваемые уравнениями f{x1, x2)=ck для некоторого набора значений функции с1,с2, ...,ст. Например, горизонтали на топографической карте являются пиниями уровня для функции высоты над уровнем моря. При п > 2 говорят о поверхностях уровня.
     Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхности уровня (также называемой изоповерхностью). Поверхностью уровня скалярного поля u = u(x,y,z) называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением u(x,y,z) = c.
     Для плоского поля вместо поверхности получаются линии уровня. Примеры: изобата, изотерма и прочие изолинии.

27-28. Предел и непрерывность  функции нескольких  переменных

    Пусть дана функция у = f(А), и пусть D(f) - область ее определения. Предположим, что точка А0 является предельной точкой множества D(f). Рассмотрим все сходящиеся к А0 последовательности точек множества D(f), ни один из элементов которых не совпадает с точкой А0. Для каждой такой последовательности к} построим последовательность значений {fk}: fk= f(Ak). Если окажется, что все построенные так последовательности значений функции сходятся к одному, общему для них всех, числу а, то это число называется пределом функции y = f(A) в точке A0 и обозначается .
    Функция у = f(A) называется непрерывной в точке А? D(f) , если предел существует и равен f(А0). Функция у = f(А) называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
 


29. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значения.

1) Если–  непрерывна на замкнутом и  ограниченном множестве, то она  ограничена на этом множестве  и принимает на этом множестве  своё наибольшее и наименьшее  значение. 2) Если z=f (x1, x2,.., xn) непрерывна в некотором множестве Х и в некоторых его точках принимает значение в точках А и В, А<В, то для любой точки С: А<С<В найдется Х – точка с коэффициентом = (x1, x2,.., xn) € Х такая что : f(x)=C.
3) Если  f(x) и g(x) непрерывна в точке х=х0, то f(x) ± g(x), f(x) * g(x), f(x) ? g(x), где g(x) ? 0 непрерывна в точке х=х0.
4) Если  f(x) непрерывна в точке х0, а ?(t)- это функция одной переменной определена и непрерывна в т. t0 = f(x0) => ? (f(x)) непрерывна в точке t0 = f(x0) => а значит в точке х0.
 (об  ограниченности и существовании  экстремумов)   Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области , то:
 1) функция  ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех ;
 2) функция  принимает в области наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки и , что при всех выполняются неравенства и .
 (В  этом случае точка  называется точкой минимума, а точка  - точкой максимума функции в области .)

30.Частные  производные функции  нескольких переменных.

Пусть дана ф-я Z=f(x;y), функция двух переменных, которая определена в некоторой ? окрестности точки (х0; у0)
^х=х-х0, ^у= у-у0 => для ? (х;у) € U?0; у0), (х;у)=( х0 +^х; у0 + ^у)
Рассмотрим  ^хZ = f (х0 + ^х; у0)- f (х00) (частное приращение ф-ии Z по Х)
^уZ = f (х00+^у) - f (х00) (частное приращение ф-ии Z по У)
Частной производной ф-ии Z=f(x;y) попеременной х в т. (х0; у0) наз-ся , а по переменной у0; у0) называется
Обозначение  

 


31. Дифференцируемость  ф-и нескольких переменных

    Определение. Функция f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) (или сокращенно ), если справедливо равенство:
    f(x, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + где - некоторые константы, а
Зафиксируем одну из переменных, например: y=y0. Тогда f(x0, y0) будет функцией от x и равенство (1) примет вид: f(x0, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + o(x - x0). Следовательно, число A есть производная функции f(x0, y) в точке x=x0. Эта производная обозначается так: и называется частной производной f(x, y) по x в точке (x0, y0). Аналогично: Таким образом условие дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x0, y0) можно представить в виде:
f(x, y)=f(x0, y0) ++ +
Функция может быть дифференцируема по каждой из переменных в отдельности и  при этом не быть дифференцируемой по совокупности переменных.

32. Дифференциал функции  нескольких переменных.

Главная линейная относительно ?x и ?y  часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом,
dz = Z!xdx + Z!Ydу полный дифференциал
 


33. Достаточное условие  дифференцируемости  ф-ии нескольких переменных.

Теорема :Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и f(x, y), Тогда
34. Непрерывность дифференцируемой  функции.
Если  дифференцируема в точке (х0; у0) то Z= f(x) непрерывна в т. (х0; у0).

35.Однородные  функции.

    Функция у = f(Xl,x1,...,xn) называется однородной степени а, если для любой точки (х1,х2, …xn) из области определения D(f) и для любого положительного числа t точка (txl, tx2,...,txn) тоже принадлежит D(f), и справедливо равенство
f(txl,tx2,...,txn) = ta*f(xl,x2,...,xn).

36. Формула Эйлера  для однородной  функции.

f 'x (х, у)х+ f 'y (х, у)y = a f (х, у)

37. Производная сложной  функции.


где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

 


38. Производная по  направлению.

Рассмотрим  функцию  от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение  этого выражения показывает, как  быстро меняется значение функции при  сдвиге аргумента в направлении  вектора  .

Данная  формула показывает, что производная  сложной функции равна произведению производной внешней функции  на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке  x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!
 


39. Градиент. Свойства  градиента.

Градиентом  ф-ии Z=f(x;y), в точке М (x0, y0), называется вектор координаты которого = соответствующим частным производным функции f в т. М
Grad f (M) = (f !x(M); f !y(M))
Следствие:
Своиства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.
1.)Производная  в направлении ? градиенту равно 0.
2.)Градиент ? линиям уровня
3.)Свойства градиента

 


40.Частные производные высших порядков.

Рассматривая 41.я частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
,    
называют  частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения
,    
смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.

41. Теорема о равенстве  смешанных производных.

Если  смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.
 


42. Формула Тейлора  для функции нескольких  переменных с остаточным  членом в формуле  Лагранжа.

 

43. Локальные экстремумы  функций нескольких  переменных.

    Точка М называется точкой локального минимума функции у= f(X), если существует такая окрестность М, что в любой точке Xэтой окрестности выполняется неравенство f(М) ? f(X).
    Аналогично точка М называется точкой локального максимума функции y = f(X), если существует такая окрестность М, что в любой точке X этой окрестности выполняется неравенство f(M) ? f(X).
Точки локальных минимумов и максимумов функции у = f(X) называются точками локальных экстремумов данной функции (рис. 18).
 


44. Необходимое условие  локального экстремума  функций нескольких  переменных.

Для того чтобы дифференцируемая функция  имела локальный экстремум в  точке  необходимо чтобы все производные 1-го порядка в точке () = 0, т.е. , ()

45. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Если и то - точка максимума.
Если и то - точка минимума.
     Тогда: 1. если ? > 0, то функция  f(x;y) в точке (x0;y0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
   2. если ? < 0, то функция f(x;y) в точке (x0;y0) экстремума не имеет.
   В случае ? = 0 экстремум в точке  (x0;y0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

46. Условный экстремум.

Пусть Z=f() определена в области D с Rn
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.