На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Решение систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 17.07.2012. Сдан: 2011. Страниц: 10. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ……………………………………………….….5
§2. РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ………………………..6
§3. РЕЗУЛЬТАНТ………………………………………………………………12
§4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИСКЛЮЧЕНИЯ………………………………15
§5. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ…………………………..21
      Системы, содержащие линейное уравнение. ………………………….21
      Системы, в которых одно уравнение однородное……………………..22
      Симметрические системы……………………………………………….24
      Однородные системы……………………………………………………27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...32
СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………...33 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ВВЕДЕНИЕ
    Многие  теоретические и практические вопросы  приводят не к одному уравнению, а  к целой системе уравнений  с несколькими неизвестными. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями  которых можно пренебречь, так  что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к  линейным. Не менее важно, что решение  систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном  решении разнообразных прикладных задач. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих  общие понятия и методы для  всей математики. Для современной  алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Способы решения  систем линейных уравнений – очень  интересная и важная тема. Системы  уравнений и методы их решения  рассматриваются в школьном курсе  математики.
      Необходимость в решении систем  нелинейных уравнений возникает  как самостоятельная задача при  моделировании нелинейных объектов, а также как промежуточный  этап при решении ряда других  задач, например, при решении систем  обыкновенных дифференциальных  уравнений неявными методами  или при решении нелинейных  краевых задач.
    В общем виде задача решения системы  нелинейных уравнений ставится так: найти вектор, превращающий систему уравнений
    
    где - нелинейные функции от, в тождество.
    Все численные методы решения нелинейного  уравнения исходят из того, что  решение либо единственно во всей области, либо требуемое решение  лежит в известной области. При  решении практических задач такая  информация обычно поступает от постановщика задачи, который может примерно характеризовать  область предполагаемого решения.
      Цель моей работы заключается  в том, чтобы систематизировать  знания о решении систем нелинейных  уравнений. 
    Для достижения цели необходимо выполнить  следующие исследовательские задачи: изучить учебную, методическую, научную литературу; классифицировать системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными; изучить методы решения и проиллюстрировать их применение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    §1  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
    Определение. Уравнением называется равенство 

выражающее следующее суждение: значение функции равно значению функции
    Определение. Система чисел (a, b, …,c) называется решением уравнения , если значения функций и при x=a, y=b,…, z=c равны
    Определение. Системой k уравнений с неизвестными называется множество k равенств 

выражающих следующие  суждение: при данной системе значений неизвестных удовлетворяется каждое из заданных уравнений.
    Определение. Системы
           (F)
                (Ф)
с одними и теми же неизвестными х, у называются равносильными над некоторым числовым полем, если множество всех решений в данном числовом поле первой системы и множество всех решений второй системы в том же числовом поле одинаковы. 
 
 
 
 

§2  РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
    Несколько уравнений с переменными x,y образуют систему, если ставится вопрос об отыскании такой совокупности (x,y), которая удовлетворяет каждому из заданных уравнений. Каждая такая совокупность называется решением системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения. Множество решений системы может быть пустым – в этом случае говорят, что система не имеет решений или что эта система несовместна.
    Процесс решения системы уравнений состоит, как правило, в последовательном переходе с помощью некоторых  преобразований от данной системы к  другой, более простой.
    Если  в результате некоторых преобразований системы 

мы перешли  к системе 

и если при этом каждое решение системы (1) является в то же время решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1).
    Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадает. Ясно, что две системы равносильны  тогда и только тогда, когда вторая является следствием первой и первая является следствием второй.
    Пусть дана система n уравнений 

с неизвестными х,у.  Рассмотрим систему, которую образуют некоторые k (где k < n) уравнений, выбранные из системы (Fn). Для определенности рассмотрим систему, образованную k первыми уравнениями данной системы (Fn):
                                                           
рассмотрим  также вторую систему, образованную оставшимися уравнениями:
                                       
    Теорема 1.  Если система уравнений
                                                               
равносильна системе (Fk), то система уравнений
                                                    (Ф,F)
равносильна системе (Fn). 

    Иными словами, любое множество уравнений, входящих в состав системы, можно  заменить другими уравнениями при  условии, что заменяемые и заменяющие уравнения образуют эквивалентные системы.
    Доказательство. Всякое решение системы (), будучи решением каждого из уравнений есть решение как системы (Fk), так и системы . Обратно, всякое решение, общее системам (Fk) и , есть решение, общее для всех уравнений, входящих в систему (), а потому является решением этой последней системы. Иными словами, множество всех решений системы () есть общая часть множеств всех решений системы (Fk) и системы . При замене уравнений (Fk) уравнениями () решения системы (Fk) остаются неизменными, в силу равносильности систем (Fk) и (). Следовательно, системы () и (Ф,F) имеют одно и то же множество решений, ч.т.д.
     В частности, всякое уравнение, входящее в состав системы уравнений, можно заменить равносильным уравнением. 

    Пример. Так как система уравнений   равносильна системе ;
    то  система  равносильна системе . 

    Теорема 2. Если какое-либо из уравнений, содержащихся в системе, есть следствие прочих уравнений (той же системы), то это уравнение может быть отброшено.
    Доказательство. Пусть, например, последнее уравнение системы 

есть  следствие предыдущих (или некоторых  из предыдущих); требуется доказать, что система (Fn) эквивалентна системе 

    В самом деле, всякое решение системы (Fn-1) есть решение системы (Fn), так как уравнение Fn= F'n будучи следствием уравнений (Fn-1), удовлетворяется произвольным решением системы уравнений (Fn-1). Обратно, всякое решение системы (Fn) есть решение системы (Fn-1), так как всякое решение системы (Fn) есть решение общее для всех уравнений (Fn-1), ч.т.д.
                                                 
   Пример. Система   равносильна системе , так как уравнение есть следствие уравнения . 

    Теорема 3. Всякое уравнение системы, удовлетворяющееся тождественно, может быть отброшено.
    Доказательство. Пусть, например, , требуется доказать, что системы (Fk) и равносильны. В самом деле, всякое решение системы есть решение системы (), так как уравнение удовлетворяется тождественно. Обратно, всякое решение системы () есть решение системы , содержащей меньшее число уравнений, ч.т.д. 

    Пример. Система ;
равносильна системе ;
так как  . 

    Теорема 4. Если уравнение является следствием уравнений , то системы
      и  
являются  следствиями системы    (*)
и система , равносильна .
В частности  следствием системы (*) будут следующие  системы: 
 
 
 

                       ;                   ; 

    Теорема 5. Система уравнений и  

равносильны, если каждый из «диагональных» множителей отличен от нуля.
    Множители могут быть числами, либо функциями от неизвестных, в последнем случае условие теоремы требует, чтобы каждый из множителей был отличен от нуля при всех допустимых значениях неизвестных.
    Доказательство. Всякое решение системы есть решение системы , так как при всяких значениях неизвестных, при которых функции , обращаются в нуль (каждая), обращаются в нуль и левые части всех уравнений системы .
    Обратно, всякое решение системы  есть решение системы . В самом деле, пусть при некоторых значениях неизвестных обращаются в нуль и левые части . Если то второе равенство системы принимает вид но так как , то Далее, из равенства и из третьего равенства следует, что , откуда и т.д. и из равенств вытекает , откуда . Итак, всякое решение системы есть решение системы . Следовательно система равносильна системе , ч.т.д.
    В частности ;     и     равносильны.
    Системы ;     
равносильны системе  

    Пример. Системы   
    равносильны, так как 1?0, 4?0, 1?0.
    Теорема 6. Система равносильна совокупности систем . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    §3  РЕЗУЛЬТАНТ
    Определение. Результантом многочленов 

                                                                                                  , )
                                 (1)
называется  выражение 

где a1, a2, ..., an –корни многочлена.  

Свойства  результанта:
    где корни многочлена g(x).
                                               (3)
    Поскольку (x)=bm(x-?1) (x-?2)… (x-?m),
то ;
поэтому           
                                                                   (4)
     Применяя  формулу (3) к результанту , т.е. меняя роли и , получаем:
     .
     Изменим знаки в скобках на противоположные, т.е. вынесем в каждом множителе  за скобки число -1. Учитывая, что число  множителей равно mn, получим:
     .
    Теорема. Для того чтобы многочлены f(x) и g(x) имели общий корень, необходимо и достаточно, чтобы их результант был равен нулю.
 
     Необходимость условия. Если некоторый корень ?i многочлена f(x) является также корнем многочлена g(x), то g(?i) = 0. Тогда в результанте 

    один  из множителей равен нулю, и потому = 0.
     Достаточность условия. Если = 0, т.е. , то хотя бы один из множителей в левой части этого равенства равен нулю. Поскольку 0, то равен нулю хотя бы один из остальных множителей, например. Но это и означает, что корень многочлена f(x) одновременно является корнем многочлена g(x), т. е. заданные многочлены имеют общий корень. 

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы существенно использовано неравенство нулю коэффициента. Если бы 0, но bm то теорема оставалась бы верной, но пришлось бы рассматривать результант . 
    Вычисление  в форме определителя Сильвестра:
 
 
    Теорема 1. Для того чтобы многочлены f(x) и g(x) имели общий корень, необходимо и достаточно, чтобы их результант был равен нулю.
    Теорема 2. Если результант многочленов f(x) и g(x) равен нулю, то либо многочлены f(x) и g(x) имеют общий корень, либо старшие коэффициенты обоих многочленов равны нулю.
    Теорема 3. Если многочлены f(x) и g(x) имеют общий корень, то их результант равен нулю. 

    Пример. Найти результант следующих многочленов:
    , .
Если  обозначить корни через ?1 и ?2, то
==.
Произведя преобразования, получим 

Но по формулам  Виета =, ; поэтому
. 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИСКЛЮЧЕНИЯ
    Пусть дана система двух алгебраических уравнений  с двумя неизвестными. Левые части  этих уравнений f(x, у) и g(x, у) являются многочленами от х и у над полем Р, расположим их члены по степеням одного из неизвестных, например х: 

    Предположим, что пара (?,?) есть решение системы (6), т. е. f(?,?)=0, g(?,?)=0
    Понятно, что из системы (1) можно образовать целый ряд выводных уравнений, для которых (?,?) также будет решением. Естественно поставить вопрос о построении такой системы выводных уравнений, которую можно было бы сравнительно легко решить и тем самым найти решения и исходной системы. Конечно, желательно, чтобы выводные уравнения не имели бы кроме нужных нам решений системы (1) других, лишних решений. В частности, целесообразно построить для системы (1) такое выводное уравнение, которое содержало бы лишь одно неизвестное (т. е., как говорят, исключить другое неизвестное) и корни которого вполне определили бы решения заданной системы.
    Подставляя в уравнения системы (1), имеющей решение (?,?), значение у=?, получим два уравнения с одним неизвестным: 

причем х=? является общим корнем этих уравнений. Поскольку два наугад взятые уравнения с одним неизвестным, вообще говоря, общих корней не имеют, то уравнения системы (2), имеющие общий корень, не могут быть независимыми, между их коэффициентами должна быть некоторая связь. Если мы найдем эту зависимость между коэффициентами i(?), i(), т. е. некоторое соотношение
    R[]=0,
то тем  самым получим и соответствующее  уравнение
    R[]=0,
    которое должно удовлетворяться при у=?, чтобы пара (?,?) могла быть решением системы.
    Таким образом, прежде всего необходимо решить следующую задачу.
    Пусть дана система двух уравнений с одним неизвестным:  

    Требуется найти, при каких условиях эти уравнения могут иметь общие корни.
    Заметим, что между системами (3) и (2) имеется  некоторое различие. При рассмотрении системы (3) естественно считать, что , , тогда как в системе (2), полученной из (1) при у=?, некоторые из коэффициентов и, в частности, старшие коэффициенты и могут оказаться равными нулю, хотя соответствующие многочлены и отличны от нулевого.
    Замечания. Изучение свойств многочленов f(x) от одной переменной непосредственно связано с решением алгебраических уравнений вида f(x)=0, поскольку корни этого уравнения и корни многочлена f(x) - это одно и то же.
    В случае многочлена f(x1, х2, ..., хn) от нескольких переменных можно также рассматривать соответствующее уравнение
    f(x1, х2, ..., хn) = 0        (4)
с неизвестными x1, х2, ..., хn. Вместо термина корень многочлена f(x1, х2, ..., хn) или уравнения (4) употребляют термин решение. А именно, если f(x1, х2, ..., хn) Р[x1, х2, ..., хn], а - любое расширение поля Р, то решением уравнения (1) или многочлена f(x1, х2, ..., хn) называют упорядоченную систему а1, а2, …, an  элементов поля такую, что при x11, х2 = а2, ..., хnn соответствующее значение f(а1, а2, …, an) данного многочлена равно нулю.
    Если  Р - поле характеристики 0, то легко установить существование решения любого уравнения вида (4) (при degf) в поле Р или некотором его расширении. Для этого достаточно упорядочить члены f(x1, х2, ..., хn) по степеням одной из переменных (относительно которой степень многочлена окажется ненулевой), например хn,
                            f(x1, х2, ..., хn-1, хn)=am(x1, х2, ..., хn-1)+…
    …+ a1(x1, х2, ..., хn-1)+ a0(x1, х2, ..., хn-1),        (5)
выбрать в P произвольные значения x11, х2 = а2, ..., хn-1n-1, при которых am(a1, a2, ..., an-1)(такие значения обязательно найдутся, т. к. многочлен am(x1, х2, ..., хn-1) отличен от нуль-многочлена), подставить их в коэффициенты многочлена (5) и получить многочлен:
    am(a1, a2, ..., an-1)+…+ a1(a1, a2, ..., aхn-1)+ a0(a1, a2, ..., an-1)
от одной  переменной хn степени mнад полем Р. По теореме Кронекера этот многочлен имеет корень an в поле Р или в некотором его расширении. Но тогда a1, a2, ..., an-1, an - решение уравнения (4).
    Будем считать, что все рассматриваемые  многочлены заданы над полем характеристики 0.
    Приведенные рассуждения показывают, что любой  многочлен ненулевой степени  от n переменных имеет решения. Но из этих рассуждений понятно, что при n?2 имеется бесконечное множество таких решений: ведь выбрать a1, a2, ..., an-1Р так, чтобы am(a1, a2, ..., an-1)?0 можно бесконечным числом способов (напомним, что поле Р имеет характеристику 0 и потому бесконечно). Таким образом, задача решения уравнения (1) при n?2 (в отличие от случая n=1) является по существу неопределенной.
    Более естественной, распространенной и практически  применимой является задача решения системы алгебраических уравнений вида 

т. е. отыскание общих решений многочленов (k=1,2,3…, m).
  В случае многочленов любых степеней построить общую теорию достаточно сложно. В основе существующих методов решения системы (6) лежит идея исключения неизвестных, целью которого является сведение задачи к решению одного алгебраического уравнения с одним неизвестным. Именно потому этот раздел алгебры называют теорией исключения. 

    Эту идею объясню на простом примере  из школьного курса математики.
Пример.
    Нужно решить систему двух уравнений с  двумя неизвестными:
       (4)
Чтобы найти решения системы (4), исключим каким-нибудь способом из двух данных уравнений одно из неизвестных и  построим выводное уравнение с одним  неизвестным. Например, найдем х из второго уравнения и подставим найденное выражение в первое уравнение. Получим х = ; - а = 0, или
y4-ay2+b2 = 0 (5)
    Итак, решение системы двух уравнений  с двумя неизвестными свелось  к решению одного уравнения (5) с  одним неизвестным. В данном случае выводное уравнение биквадратное, и его можно решить элементарно. Корнями уравнения (5) являются числа:
    ?1,2=        ?3,4=
       
Подставляя  вместо у каждое из значений ?i(i=1,2, 3, 4) в одно из уравнений системы (4), получим соответствующее значение неизвестного х:
a1,2=;   a3,4=.
Процесс решения системы (4) можно описать  так. Назовем левую часть, уравнения (5), полученного в результате исключения одного неизвестного из уравнений системы (4), результантом и обозначим его  символом R(f, g), т. е.
R(f, g)
Решение системы (4) сводится к следующему. Для  заданных многочленов f(x,у) и g(x, у) строят результант R(f, g), являющийся многочленом от одной переменной. Далее находят корни результанта. Наконец, зная эти корни, вычисляют решения заданной системы.
    В случае произвольной системы из двух уравнений с двумя неизвестными:
      (6)
ход рассуждений  остается таким же. Решение сводится к построению результанта многочленов и и отысканию его корней.  

    Алгоритм  решения системы двух уравнений  с двумя неизвестными:
      Представить систему (6) в форме (1), т.е. упорядочить левые части уравнений по степеням одного неизвестного.
      Составить результант и найти его корни ?к (k=).
      Корень результанта ?к подставить в многочлены системы, получим многочлены от одного неизвестного.
      Подставить найденное значение ?к в систему и найти соответственные значения ?к
      Составить пары (?k1, ?к), (?k2, ?к),…, (?ke, ?к). Эти пары являются решениями заданной системы уравнений, соответствующими корню результанта.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
§ 5.   ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ  СИСТЕМ
    Вопрос  о решении систем уравнений высших степеней в общем виде трактуется в курсе высшей алгебры в теории исключения. Однако применение общих правил исключения неизвестных (при помощи результантов) па практике оказывается чрезвычайно громоздким. Поэтому в практике решения систем уравнений высших степеней стараются избежать этих общих правил, а применять различные частные приемы, позволяющие в ряде конкретных случаев упростить процесс решения системы. В задачу курса элементарной алгебры входит лишь установление некоторых частных приемов решения систем алгебраических уравнений высших степеней, наиболее часто встречающихся на практике. 

5.1. Системы, содержащие линейное уравнение.
      Рассмотрим систему 

уравнений с неизвестными х, у в которой уравнение (L) является линейным, прочие же уравнения (F) — алгебраическими степени выше 1.
    Рассмотрим  отдельно линейное уравнение (L).
    Если  уравнение (L) не имеет решений, то и система (L, F) противоречива.
    Если  уравнение (L) имеет единственное решение, то достаточно найденные из (L) численные значения неизвестных подставить в уравнения (F). Если все уравнения (F) удовлетворяются, то решение (L) является единственным решением системы (L, F); если же хотя бы одно из уравнений (F) не удовлетворяется, то система (L, F) не имеет решений.
    Если  уравнение (L) имеет бесконечное множество решений, то формулы общего решения выражает некоторая неизвестная в виде линейной функций от другой неизвестной, последней можно придавать произвольные значения. Пусть, например, из системы (L)
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.