Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Применение производной

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 09.08.2012. Сдан: 2012. Страниц: 5. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


 
В данной работе я рассмотрю применения производной  в различных науках и отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл  и т. д.) 

1. Понятие производной 

1-1. Исторические сведения 

Дифференциальное  исчисление было создано Ньютоном и  Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании  касательной к произвольной линии
2) о разыскании  скорости при произвольном законе  движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли  Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.  

1-2. Понятие производной 

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу  x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение ?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при ?x > 0, называется производной от функции f(x).
y'(x)=
 

1-3. Правила дифференцирования  и таблица производных 

C' = 0 (xn) = nxn-1 (sin x)' = cos x
x' = 1 (1 / x)' = -1 / x2 (cos x)' = -sin x
(Cu)'=Cu' (vx)' = 1 / 2vx (tg x)' = 1 / cos2 x
(uv)' = u'v + uv' (ax)' = ax ln x (ctg x)' = 1 / sin2 x
(u / v)'=(u'v - uv') / v2 (ex)' = ex (arcsin x)' = 1 / v  (1- x2)
  (logax)' = (logae) / x (arccos x)' = -1 / v  (1- x2)
  (ln x)' = 1 / x (arctg x)' = 1 / v  (1+ x2)
    (arcctg x)' = -1 / v  (1+ x2)
 
 
 

2. Геометрический  смысл производной 

2-1. Касательная к  кривой 

Пусть имеем  кривую и на ней фиксированную  точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. 

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его значению соответствует значение функции  y0 + ?y = f(x0 + ?x). Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). 

Касательная к  пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y. 

2-2. Касательная плоскость  к поверхности 

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания.
Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).
Подставим в  уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

Уравнения касательной  к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:
F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида

Решение:
Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1
Уравнение искомой  плоскости:
Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a 

3. Использование производной  в физике 

3-1. Скорость материальной  точки 

Пусть зависимость  пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t - t0 и вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) - f(t0). Отношение ?s / ?t называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t > 0. 

Среднее ускорение  неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) - это величина <a>=?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

То есть первая производная по времени (v'(t)). 

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2. 

Решение:
v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2;    a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;
1,8 =  0,18t;    t = 10 c 

3-2. Теплоемкость вещества  при данной температуре 

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 - T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q, причем отношение

для данного  вещества не является постоянным. Таким  образом, для данного вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q = f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) - f(T). Отношение

называется средней  теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого выражения при ?T > 0 называется теплоемкостью данного вещества при температуре T. 

3-3. Мощность 

Изменение механического  движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы  количественно характеризовать  процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: . 

4. Дифференциальное исчисление в экономике 

4-1. Исследование функций 

Дифференциальное  исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
По теореме  Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция  f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -, то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция  f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной). 

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:
?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qextr = 4
При q < qextr = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > qextr = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет  оптимальный объем выпуска для  фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей. 

4-2. Эластичность спроса 

Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если ¦ED¦>1, то спрос называется эластичным, если ¦ED¦<1, то неэластичным. В случае ED=0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию. 

4-3. Предельный анализ 

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных)
В экономике  часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление. 

5. Производная в  приближенных вычислениях
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.