Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Шпаргалка Система линейных уравнений. Матричное решение системы уравнений. Геометрический смысл операций с комплексными числами. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Классификация функций. Основные элементарные функции. Раскрытие неопределенностей.

Информация:

Тип работы: Шпаргалка. Предмет: Математика. Добавлен: 12.01.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Содержание:
1. Система линейных уравнений. Определитель решения системы. Исследование линейной системы 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными.
2. Определитель квадратной матрицы второго порядка. Формулы Крамера.
3. Определитель третьего порядка. Алгебраические дополнения, теорема о разложении определителя третьего порядка.
4. Матричное решение системы уравнений.
5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
6. Комплексные числа (определение). Мнимая единица. Форма записи.
7. Операции с комплексными числами (определение, свойства).
8. Геометрический смысл операций с комплексными числами.
9. Извлечение корня из комплексного числа.
10. Геометрическое изображение комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Муавра.
11. Основная теорема алгебры.
12. Прямоугольные координаты на плоскости. Расстояние между двумя точками плоскости.
13. Прямоугольные координаты на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.
14. Прямоугольные координаты на плоскости. Уравнение окружности, уравнение эллипса.
15. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве. Уравнение плоскости.
16. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Уравнение плоскости.
17. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Уравнение прямой.
18. Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.
19. Полярные координаты. Связь между прямоугольными и полярными координатами.
20. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Свойства.
21. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
22. Линейная зависимость векторов.
23. Базис на плоскости и в пространстве. Аффинные координаты.
24. Направляющие косинусы
25.Скалярное произведение векторов.
26. Векторное произведение векторов.
27.Смешанное произведение векторов.
28. Функция одной переменной, график, способы задания.
29. Параметрический способ задания функции. Параметрическое уравнение окружности, эллипса.
30. Понятие сложной и обратной функции.
31. Четные, нечетные, периодические функции.
32. Классификация функций. Основные элементарные функции.
33. Числовые последовательности и пределы.
34. Бесконечно малая и бесконечно большая величина.
35. Предел функции на бесконечности.
36. Предел функции в точке.
37. Основные теоремы о пределах.
38. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и их связь с бесконечно большими.
39. Вычисление некоторых пределов. Раскрытие неопределенностей
40. Первый замечательный предел.
41. Второй замечательный предел.
1. Система линейных уравнений. Определение решения линейной системы. Исследование линейной системы 2-х уравн. С 2-мя неизв.

Рассмотрим сист. 2-х уравн. С 2-мя неизв.
a11x1+a12x2=b1
a21x1+a22x2=b2
Введем обозначение:
=a11 a12
a21 a22
x1=b1 a12
b2 a22
x2=a11 b1
a21 b2
-это определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед неизв.
Определители x1 и x2 составл.из опред. заменой столбца коэффициентов при соотв. перем. На столбец своб. Членов b1 и b2. Для нахождения неизв. x1 и x2 необх. Воспольз. Формулой:
x1=x1/; x2=x2/.
Итак, если отличен от нуля, то система имеет единственное решение, опред. По данным фомулам, если =0, то сист. Может иметь множ. Реш. Или их совсем не иметь.
Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
где aij - коэффициенты, а bi - постоянные.
Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество
система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
2. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка. Формулы Крамера.

Любые 4 числа, расположенные в виде квадратной таблицы, называются квадратной матрицей второго порядка. Каждой квадратной матрице 2-ого порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем и обозначаемое D=|A|.
Определитель матр. 2-го порядка равен числу
a11 a22-a21a12
Св-ва опред. 2-го порядка:
1. опред. Не измен. Если его строки поменять местами с соотв. столбцами
2. при перестановки 2-х строк(или столбцов) опред. Изменит знак на противоп.
3. опред. С двумя одинак. Строками или столб. Равен нулю
4. общий множит. Всех элем. Строки или столбца можно выносить за знак опред.
5. если все элем. Какой-л. строки(ст.) равны нулю, то опред. Равен нулю
6. если к элем. К-л. строки или столб. Опред. Приб. В соотв. элем. Др. строки или ст., умножен. На одно и то же число, то опред не изм.
7. опред. Равен алгебр. Сумме произв. Элем. К.-л. строки (ст) на их алгебр. Доп.
Теорема Крамера
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
Система из n уравнений с n неизвестнымив случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:xi = i/, где = опред. Матр., а i - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.При = 0 система имеет бесконечное множество решений.
3. Определитель 3-го порядка. Алгебраические дополнения, теорема о разложении определителя третьего порядка.

9 элементов aij, где i-номер строка, а j-номер столбца, располагаются в квадратную таблицу, называемую квадратной матрицей третьего порядка. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем 3-го порядка.
Опред. Равен алгебр. Сумме произв. Элем. К.-л. строки (ст.) на их алгебр. Доп.
Алгебраическое дополнение Aij для элемента aij - число равное
(-1) i+jMij, где Mij минор элемента aij.
Минор Mij элемента Aij матрицы А наз-ся определитель, полученный из исходного определителя А вычеркиванием итой строки и житого столбца.
4. Матричное решение системы уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Рассмотрим 3 матрицы, связанный одной системой
Матрица А составленная из коэф. При неизв.
a11 a12 … a1n
A = a21 a22 … a2n
an1 an2 … ann


Заметим, что левую часть системы можно
Получить как произведение матриц
Используя понятия равенства
матриц, систему моно
А x = запис. В виде А*х=В (1)
Уравнение (1) называют
Матричным уравнением, если
Определитель матрицы А отл.
От нуля, то сущ. Матр. А-1
Обратная от матрицы А.
Умножим обе части уравн.(1)
Слева на А-1 получим:
А-1 *А*х= А-1 *В; А-1 *А*х=Е.
Е*х= А-1 *В; Е*х=х
Х= А-1
Если матричное уравнение имеет вид х*А=В, то его решение можно легко найти по форм. Х= А-1
6. Комплексные числа. Мнимая единица. Форма записи

Комплексным числом z называется выражение , где a и b - действительные числа, i - мнимая единица, которая определяется соотношением:При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Числа и называются комплексно - сопряженными.
Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. A(a,b)
B
a
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY - чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
5 Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений, в к-й число уравн. Неравно числу содерж. Перем.
,
где aij - коэффициенты, а bi - постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.
Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Отметим преобразования, к-е переводят систему уравнений в равносильную ей:
1. перемена местами 2-х любых уравнений
2. умножение обеих частей любого уравнения на произв. Число отличное от нуля
3.прибавление к одному Ур. Др., умнож. На любое число отличное от нуля
В рузультате таких преобр., называемы елемент. Получ. Сист, имеющ.такое же реш., что и первонач.
Для исслед. Сист. Общ вида удобно исп. Метод Гаусса
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1-го уравнения на a11 0, затем:1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д.Получим:, где d1j = 1j/a11, j = 2, 3, …, n+1 dij = aij - ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом - для третьего и т.д.Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.* = Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.Пример. Решить систему методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.Для самостоятельного решения: Ответ: {1, 2, 3, 4}.
7. Операции с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.1) Сложение и вычитание.
;;2) Умножение.
В тригонометрической форме:,
С случае комплексно - сопряженных чисел:
3) Деление.В тригонометрической форме:4) Возведение в степень.Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:,где n - целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.(Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик)Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.Пример. Найти формулы sin2 и cos2.Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны .По формуле Муавра:
Приравнивая, получим Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:
Отсюда:
Таким образом, корень n - ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
20. Вектор. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий опред длину.
К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Единичный-длина к-го равна 1. напр. Может быть какое угодно.
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число. Суммой векторов является вектор - Произведение -, при этом коллинеарен .Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.Вектор противоположно направлен с вектором (), если < 0.Линейные операции над векторами в координатах.Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда
25 Скалярное произведение векторов, его св-ва и вычисления.
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. = cos
Свойства скалярного произведения: = 2; = 0, если или = 0 или = 0. = ;(+) = + ;(m) = (m) = m();Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то = xa xb + ya yb + za zb;Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:;Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если 10- 5+ 6- 3 = 10, т.к..
40. Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства
В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке Из рисунка видно, что площадь кругового сектора
, так как х>0, то ,
2. следовательно, что
Покажем, что
Докажем, что
Последнее утверждение:
26.Векторное произведение векторов. Свойства.

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:1) , где - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.Обозначается: или.
Свойства векторного произведения векторов:1) ;2) , если или = 0 или = 0;3) (m)= (m) = m();4) (+ ) = + ;5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то=6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .Пример. Найти векторное произведение векторов и . = (2, 5, 1); = (1, 2, -3).
37. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.
Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4. при
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.
Теорема 6. Если g(x) f(x) u(x) вблизи точки х = а и , то и .
Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)<M вблизи точки х = а.
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а.
Доказательство. Пусть , т.е. , тогда
или, .е.где М = + АТеорема доказана.
41. Второй замечательный предел

Это форма второго замечательного предела, справедлива и для действ. аргумента
lim(n)(1+1/n)n=e
27. Смешенное произведение векторов его св-ва и вычисления.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю;б)два из векторов коллинеарны;в)векторы компланарны.
2)3)
4)5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен6)Если , , тоПример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов:,Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).Найдем координаты векторов: Объем пирамиды
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания CD.
Sосн = (ед2)Т.к. V = ; (ед)
22. Линейной зависимость векторов

Вектор а1,а2,…аn наз-ся линейнозависимым, если сущ. Числа 1, 2,… n не все равные нулю, для к-х справедливо равенство:
1а1+а2+…nаn=0.
Если векторы линейнозависимы, то один из них можно представить виде линейной комбинации остальных.
Справедливо и обратное утверждение.
Векторы а1,а2,…аn наз-ся линейнонезавис., если 1а1+а2+…nаn=0.
Имеет место только при условии 1=2=…=n=0.
Теорема:Всякие 3 вектора а,b и с на пл. ленейнозависимы
Следствие: если число векторов на пл. больше 3-х, то они всегда линейнозависимы
Теорема: 2 вектора на пл. линейноз. когда они неколлинеарны.
Теорема: всякие 4 вектора а,b,с и d в простр. линейнозависимы.
Следствие:
1. если число данных веторов в простр. больше 4-х, то они линейноз.
2. для того, чтобы 3 вектора в простр. были компланарны, необх. И дост., чтобы они были линейноз. и наоборот.
3. для того, чтобы 3 вектора были линейно независимы необх. и дост., чтобы они были компланарны
23. Базис на пл. и в простр. Аффинные координаты

Базис - совокупн. линейнонезавис. векторов
Базис на плоскости - два любые неколлинеарные вектора, взятые в определенном порядке.
Базис в пространстве - три любые некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Пусть произв. Вектора a,b и c на пл. образуют базис
a= 1b+2c (1) Это выражение называют разложением вектора а по базису b и c, а числа 1,2 наз-ся аффинными координатами вектора а и запис-ся: а=1,2=(1,2) и такое разложение явл-ся единтсвенным. Аналогично, любой вектор а в пространстве однозначно разлагается по векторам b,c и d. а= 1b+2c + 3d, а= (1,2,3).
Прямоугольный декартов Базис
Т.к. они не компланарны, то они образуют базис, к-й называется декартовым.
Если известны декартовы координаты векторов, то линейные операции над векторами можно заменить арифм. действ. над их проекциями.
Если даны координаты точек А(х1,y1,z1) и B(x2,y2,z2, то проекции вектора
АВ на оси будут равны
прox AB=x2-x1; прoy AB=y2-y1; прoz AB=z2-z1,т.е. разложение вектора АВ по Базису:
АВ=( x2-x1)i +( y2-y1)j + (z2-z1)k
AB=( x2-x1)2 +( y2-y1)2 + (z2-z1)2
24. Направляющие косинусы вектора а - косинусы углов между вектором и осями координат и равны отношению прилегающего катета к гипотенузе, т.е. отношению координат вектора к его модулю.
Пусть вектор а разложен по Базису след обр.:
а= axi+ayj+azk
ax =a*cos; ay =a*cos; az =a*cos cos= ax /a
cos= ay /a
cos= az /a, т.к
a=ax2+ay2+az2 имеем cos= ax/ax2+ay2+az2 и т.д.
19.Полярные координаты.

Пусть на плоскости дана точка О - полюс и луч ОР - полярная ось. Тогда положение точки М на плоскости определяет полярный угол = МОР и радиус-вектор r = ОМ. Пару (r,)-называют полярными координатами ,где r-полярный радиус точки, -полярный угол.
Таким образом на плоск. Можно задать еще одну корд. Сист.-полярную. Прямоугольную декартову сист. Будем наз-ть согласованной с данной полярной
Если полярная ось совпадает с осями координат декарт сист., то
х = r Cos , y = Sin
и обратный переход
r = x2 + y2, tg = y / x.
32. Классификация функций. Основные элементарные функции

Основные элементарные функции:
- постоянная у = с, с = const;
- степенная у = хn, n R;
- показательная у = ах, а > 0, a ? 1;
- логарифмическая у = logax, а > 0, a ? 1;
- тригонометрические у = Sin(x), y = Cos(x), y = tg(x), y = ctg(x);
обратные тригонометрические y = arcSin x, y = arcCos x и др.

11. Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми числовыми коэф., степень к-го не меньше единицы имеет хотя бы один корень в общем случае комплексный.
Рассмотри многочлен (х) с комплексн. коэф., как комплексн. функцию комплексного переменного.
Таким обр. х может принимать любые значения, т.е. переменная х ихменяется на комплексной плоскости.
Значение функции (х) также будут комплексными числами. Можно считать, что эти значения отличаются на второй комплексной плоскости, подобно тому, как в случае действит. Функций действ. Переменного. Значения независимого переменного отмечаются на одн. Числ. Прямой(оси абсцисс), а значение функции на др.(оси ординат).
Замечание: многочлен (х) является непрерывной функцией комлексного переменного х для любого положит. Числа ,можно найти токое положит. Число , что из усл. х-х0 (х) -(х0) .
Лемма: если своб. Член многочлена (х) = a0xn+ a1xn-1 + a2xn-2+…+ an-1x равен нулю т.е. r(o)=0, то для всякого 0 можно подобрать такое 0,что при всех х, для к-х х будет (х)
Действительно, пусть число а имеет макс. значение:
А=max ( a0, a1,a2,…an-1 ). Число нам уже дано. Покажем, что если число взять равным выражением = /А+, то оно будет удовлетворять требуемым усл.
В самом деле, (х) a0хn+a1хn-1 +…+ an-1х А(хnn-1+х), т.е.
(х) А х- хn+1/1- х, т.к. х и =/А+, получим:
х-хn+1/1- х х/ 1- х, т.е.
(х) А х/1- х А*/1- А* (/А+)/ 1- ( /А+)=.
ЧТД
(12-14).(1) Прямоугольные координаты на плоскости

Две взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy, имеющие общее начало O и одинаковую единицу масштаба, образуют декартову (или прямоугольную) систему координат на плоскости. Ось Ox называется осью абсцисс, ось Oy - осью ординат, точка O

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.