На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


контрольная работа Теория хаоса: понятие, принципы

Информация:

Тип работы: контрольная работа. Добавлен: 12.08.2012. Сдан: 2011. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Содержание:
   Введение…………………………………………………………………………….2
    Теория хаоса: понятие, принципы……………………………………………...3
    История вопроса…………………………………………………………………4
    Инструменты теории хаоса……………………………………………………..6
    Броуновское движение……………………………………………….………..13
    Движение бильярдного шарика…………………………………………….…14
    Интеграция детерминированных фракталов и хаос…………...……………..15
    Области применения теории хаоса ………………………………………..….17
    Заключение…………………………………………………………...…………….21
    Список  использованной литературы…………………………………………..…22 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Введение 

    Теория  хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к  исследованию рынка. К сожалению, точного  математического определения понятия  хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость  постоянного нелинейного и нерегулярного  сложного движения, возникающую в  динамической системе. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном  движении цены, то вы должны иметь ввиду  не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она  не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема. Непредсказуемость хаоса объясняется  в основном существенной зависимостью от начальных условий. Применительно  к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость  от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности  того, что взмах крыла бабочки  в Бразилии приведет к появлению  торнадо в Техасе. Один из главных  выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. То же самое по-простому - малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Теория хаоса:  понятие, принципы 

    Теория  хаоса - раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система - это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности. Вплоть до 1960-х годов многим казалось естественным полагать, что динамическая система, описываемая простыми детерминистическими уравнениями, должна вести себя относительно просто, хотя уже более столетия было известно, что это верно лишь в некоторых весьма специальных случаях, таких, как Солнечная система. Однако к 1980 математики и естествоиспытатели обнаружили, что хаос вездесущ. Пример хаотического поведения из повседневной жизни - движение жидкости в миксере. Это устройство подчиняется простым механическим законам: его нож-смеситель вращается с постоянной скоростью, и взаимодействие жидкости с ножом внутри миксера можно описать простыми детерминистическими уравнениями. Однако возникающее при этом движение жидкости весьма сложно. Ее соседние области рассекаются ножом и разделяются, а отдаленные области могут сближаться. Короче говоря, жидкость перемешивается - для этого миксеры и предназначены. Выражение "теория хаоса" используется преимущественно в популярной литературе. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.
    Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, пусть правилом будет "разделить на два". Начав с исходного состояния, задаваемого числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,..., образующие очевидную закономерную последовательность. Правило "возвести в квадрат и вычесть единицу", примененное к 0, дает последовательность -1, 0, -1, 0,..., которая циклически и неограниченно скачет между числами 0 и -1. Однако правило "возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу", если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел -0,98, 0,92, 0,69, -0,03,..., в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности. Основным понятием теории хаоса является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. Аттракторами для трех описанных выше систем являются: единственное число 0; пара чисел (0, -1); весь интервал чисел между -1 и 1. Динамика в этих трех случаях соответственно стационарная, периодическая и хаотическая. Хаотический аттрактор обладает скрытой структурой, которая часто становится явной после графического представления итераций. Состояние динамической системы - это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется. Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений. В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; этот термин был введен в 1970 Б.Мандельбротом. Его работы впоследствии стимулировали огромное количество исследований по фрактальной геометрии. Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Представим себе две частички порошка, находящиеся рядом друг с другом в жидкости внутри миксера. После включения миксера эти две частички недолго останутся рядом; они быстро разойдутся в разные стороны и вскоре начнут двигаться независимо. Подобным же образом, если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы. Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно1. 

    2. История вопроса 

    Истоки  теории хаоса можно проследить начиная  с XIX века, когда появилась работа математика Жюля Анри Пуанкаре о движении тел в Солнечной системе. Эта  работа была удостоена Нобелевской  премии. Пуанкаре показал, что в отличие  от системы из двух тел, взаимное притяжение и движение которых описывается  достаточно просто в соответствии с  ньютоновским законом всемирного тяготения, для трех и более тел простого движения не находится. Пуанкаре показал, что даже в ограниченной задаче трех тел, масса одного из которых достаточно мала, возможно очень сложное движение, которое невозможно описать математической формулой.
    Множество примеров подобных явлений было разработано  американской и российской школами  в теории динамических систем. Очень  важными считаются вклады Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда.
    Сам термин «хаос» был предложен Джеймсом Йорке (James A. Yorke) и Тьен Йен Ли (Tien-Yien Li) в краткой статье, посвященной  обсуждению некоторых результатов  исследований российской школы.
    Наиболее  известным прикладным исследованием  в области теории хаоса является работа метеоролога Эдварда Лоренца (Edward Lorenz). Она получила развитие, и  теперь известно, что полные уравнения  поведения атмосферы ведут себя хаотически. Так что долгосрочные прогнозы погоды, основанные на данных о ее прошлом и текущем состоянии, подвержены «эффекту бабочки». Поэтому  погода не может быть предсказана  на более чем четыре или пять дней вперед, независимо от мощности используемых компьютеров.
    Теория  хаоса применима в биологии и  экологии. В конце XIX века Было установлено, что популяции животных развиваются  нестабильно. Периоды быстрого роста  и почти полного вымирания  нерегулярно чередуются. Однако эти  флуктуации могут быть описаны математически  без введения случайных внешних  воздействий. Теория хаоса также  объясняет и динамику развития эпидемий.
    С помощью теории хаоса описываются  «законы» фондовой биржи. А в начале 1990?х Жак Ласкар (Jacques Laskar) опубликовал  статью «Планетная система объята хаосом», где описал поведение Солнечной  системы, изменения орбит и наклона  осей планет. Его расчеты показывают, что в будущем Меркурий может  столкнуться с Венерой или  даже покинуть Солнечную систему. Может показаться, что теория хаоса не может найти применения в науке или повседневной жизни. Однако это не так. К числу наиболее перспективных применений теории относится «хаотическое управление». Неустойчивость системы может быть использована: ведь желаемый эффект по изменению таких систем может быть достигнут очень малым возмущением.
    Может показаться, что теория хаоса не может найти применения в науке  или повседневной жизни. Однако это  не так. К числу наиболее перспективных  применений теории относится «хаотическое управление». Неустойчивость системы  может быть использована: ведь желаемый эффект по изменению таких систем может быть достигнут очень малым  возмущением. Например, в 1985 году NASA отправило  космический зонд на встречу с  кометой Джакобини—Циннера. Он пять раз облетел Луну, используя хаотичность  взаимодействия трех тел, позволяющую  совершать большие изменения  траектории с малыми затратами топлива.
    Схема использования неустойчивости для  управления хаотическими системами  применялась во многих областях. Например, для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создания «интеллектуального» стимулятора  сердечного ритма. Тот же метод был  применен для синхронизации батареи  лазеров, управления биотоками мозга  и сглаживания турбулентного  течения жидкости (способен уменьшить  расход топлива самолетами).2 

    3. Инструменты теории  хаоса 

    Какими  же инструментами располагает теория хаоса? В первую очередь это аттракторы и фракталы.
    Аттрактор (от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства.
    Итак, фазовое пространство - это абстрактное  пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две  степени свободы. Это движение полностью  определено начальной скоростью  маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет  замкнутая кривая.
    По  простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Самым простым  типом аттрактора является точка. Такой  аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в  состояние покоя, т.е. в точку. Следующим  типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой  кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться  и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей  замкнутой кривой. Третий тип аттрактора - тор.
    Несмотря  на сложность поведения хаотических  аттракторов, иногда называемых странными  аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение  системы в геометрической форме  и соответственно предсказывать  его. И хотя нахождение системы в  конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически  невозможно, область нахождения объекта  и его стремление к аттрактору предсказуемы. Первым хаотическим аттрактором  стал аттрактор Лоренца (рис. 3.1).
      
    Рис. 3.1. Аттрактор Лоренца. 

    Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего  трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы  и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система  Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.
    Смоделировав  свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному  накоплению ошибок и соответственно их расхождению. Вместе с тем, любой  аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может  продолжаться бесконечно.
    Рано  или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее  очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения  простых предсказуемых аттракторов. Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой.
    При схождении траектории сближаются и  начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется  эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной  информации.
    В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности  делать точные прогнозы. То, чем так  гордится наука - способностью устанавливать  связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно.
    Причинно-следственной связи между прошлым и будущем  в хаосе нет. Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения  является мерой хаоса, т.е. численным  выражением того, насколько система  хаотична. Другой статистической мерой  хаоса служит размерность аттрактора.
    Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов  является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются. Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал - это противоположность хаоса.
    Главное различие между хаосом и фракталом  заключается в том, что первый является динамическим явлением, а  фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение  траекторий.
    Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.
    Другое  свойство фрактала - дробность. Дробность  фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала. Фактически все, что кажется случайным и  неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.
      Одним из примеров фрактала является «ковер Серпинского» (рис. 3.2)3. Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация - повторное применение какой-либо математической операции (рис. 3.3). 
 
 

Рис.3.2. Ковер Серпинского.
    
    Рис. 3.3. Построение (итерации) ковра Серпинского.4 

    Рецепт  его создания состоит в следующем. Вначале берется квадрат с  длиной стороны, равной единице. Затем  каждая из сторон квадрата делится  на три равные  части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной 1/3. Из полученной фигуры вырезается центральный  квадрат. Затем такой же процедуре  подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков  и т. д.
    Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия. Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал – геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм. Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.
    Логика  существования нецелых измерений  очень простая. Так, в природе  вряд ли найдется идеальный шар или  куб, следовательно, 3-мерное измерение  этого реального шара или куба невозможно и для описания таких  объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения  таких неправильных, фрактальных  фигур и было введено понятие  фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С  точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие  шара. Отсюда можно предположить, что  новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5. Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского (рис. 3.2), и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой.

    Сложным фракталам присуща бесконечная  сложность, хотя и генерируются просто формулой.
      Классическим примером сложного  фрактала является множество  Мандельброта (рис. 3.3), получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C – комплексные числа и а – положительное число. На рисунке 3.3 мы видим фрактал    Рис. 3.3. Множество Мандельброта.                                    2-й степени, где а = 2.5 

    К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних  выделяют бифуркации, которые изучает  теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2). Результатом расчетов являются следующие выводы: - при С < 1 популяция с ростом n вымирает; - в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; - при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса. Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке (рис. 3.4). 

    Динамические  переменные Xn принимают значения, которые  сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных  значений С итоговые значения могут  резко отличаться. Более того, расчеты  становятся некорректными, так как  начинают зависеть от случайных процессов  в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).  

    Рис. 3.4. Зависимость численности популяции от параметра С. 

    Таким образом, состояние системы в  момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие  может привести к выбору дальнейшего  пути движения, а это, как мы уже  знаем, является главным признаком  хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий). Фейгенбаум установил универсальные  закономерности перехода к динамическому  хаосу при удвоении периода, которые  были экспериментально подтверждены для  широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало «дерево Фейгенбаума» (рис. 3.5).
Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой  стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные  природные явления. Так, поднимающийся  вверх дым сначала выглядит как  упорядоченный столб. Однако через  некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся  упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к  некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в  первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция  турбулентности дыма приближается к  хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                          Рис. 3.5. Дерево Фейгенбаума.6 
 

4. Броуновское движение 

    Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму (рис. 4.1), которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения. 

          
                          Рис. 4.1. Частотная диаграмма. 

    Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел  так же можно преобразовать в  музыку. Конечно этот тип фрактальной  музыки совсем не музыкален и может  действительно утомить слушателя. Занося на график случайно Броуновские  числа, можно получить Пылевой Фрактал  наподобие того, что приведен здесь  в качестве примера.
      Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для  создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как например Star Trek техника  Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато (рис. 4.2). 
 
 
 
 
 

Рис. 4.2. Ландшафт. 

    Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Мандельброт  использовал Броуновские линии  для создания фрактальных линий  побережья и карт островов (которые  на самом деле были просто в случайном  порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета. 

                   
5. Движение бильярдного  шарика 

    Любой, кто, когда-либо брал в руки кий для  бильярда, знает, что ключ к игре - точность. Малейшая ошибка в угле начального удара может быстро привести к огромной ошибке в положении шарика всего после нескольких столкновений. Эта чувствительность к начальным условиям называемая хаосом возникает непреодолимым барьером для любого, кто надеется предсказать или управлять траекторией движения шарика больше чем после шести или семи столкновений. И не стоит думать, что проблема заключается в пыли на столе или в нетвердой руке. Фактически, если используеть компьютер для построения модели, содержащей бильярдный стол, не обладающий ни каким трением, нечеловеческим контролем точности позиционирования кия, все равно не удастся предсказывать траекторию шарика достаточно долго.

Насколько долго? Это зависит частич-но от точности компьютера, но в боль-шей степени от формы стола. Для совершенно круглого стола, можно просчитать приблизительно до 500 по-ложений столкновений с ошибкой око-ло 0.1 процента. Но стоит изменить форму стола так, чтобы она стала хотя бы немножко неправильной (оваль-ной), и непредсказуемость траектории может превышать 90 градусов уже после 10 столкновений!  
 

Рис. 5.1. Фазово-пространственная картина бильярдного стола. 

Единственный путь получить картинку общего поведения бильярдного шарика, отскакивающего от чистого стола  - это изобразить угол отскока или длину дуги соответствующую каждому удару. Здесь приведены два последовательных увеличения такой фазово-пространственной картины (рис. 5.1 и рис. 5.2).  

             
 
 
 

Рис. 5.2. Фазово-пространственная картина бильярдного стола. 

    Каждая  отдельная петля или область  разброса точек представляет поведение  шарика, происходящее от одного набора начальных условий. Область картинки, на которой отображаются результаты какого-то одного конкретного эксперимента, называется аттракторной областью для данного набора начальных условий.
    Как можно видеть форма стола, использованного  для этих экспериментов является основной частью аттракторных областей, которые повторяются последовательно  в уменьшающемся масштабе. Теоретически, такое самоподобие должно продолжаться вечно и если мы будем увеличивать  рисунок все больше и больше, мы бы получали все те же формы. Это  называется очень популярным сегодня словом фрактал. 

6. Интеграция детерминированных  фракталов и хаос 

    Из  рассмотренных примеров детерминистских  фракталов можно увидеть, что  они не проявляют никакого хаотического поведения и что они на самом  деле очень даже предсказуемы. Как  известно, теория хаоса использует фрактал для того, чтобы воссоздать или найти закономерности с целью  предсказания поведения многих систем в природе, таких как, например, проблема миграции птиц.
    Теперь  давайте посмотрим, как это в  действительности происходит, используя фрактал, называемый Деревом Пифагора и Броуновского движения (которое хаотично). Упорядочение листьев и веток на дереве довольно сложно и случайно и, вероятно не является чем-то достаточно простым, что может эмулировать короткая программа из 12 строк.
    Для начала нужно сгенерировать Дерево Пифагора (рис. 6.1). 


Рис. 6.1.
    Результат напоминает те старые детсадовские рисунки. Так что сделаем ствол толще (рис. 6.2). На этой стадии Броуновское движение не используется. Вместо этого, каждый отрезок линии теперь стал линией симметрии прямоугольника, который становится стволом, и веток снаружи.
    

        Рис. 6.2.
    Но  результат все еще выглядит слишком  формальным и упорядоченным. Дерево еще не смотрится как живое. Применим знания из области детерминированных фракталов (рис. 6.3).
    

      Рис. 6.3.  

    Теперь  использовано Броуновское движение для создания некоторой случайной беспорядочности, которая изменяет числа, округляя их до двух разрядов. В оригинале использовано 39 разрядные десятичные числа. Результат (рис. 6.3) не выглядит как дерево. Вместо этого, он выглядит как хитроумный рыболовный крючок.
    Может быть, округление до 2 разрядов было слишком  уж много? Снова применимо Броуновское движение, округленное на этот раз до 7 разрядов. Результат по-прежнему выглядит как рыболовный крючок, но на этот раз в форме логарифмической спирали (рис. 6.4).
    

Рис. 6.4.
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.