На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Соотношения между операторами дифференцирования и конечных разностей. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Интерполяционные рекуррентные формулы, метод Эйлера. Интерполяция конечными разностями назад. Рекуррентные формулы Адамса.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 26.09.2014. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


13
Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"
Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування"
Реферат з курсу “Численные методы"
Тема: “Решение уравнений в конечных разностях”
Виконав:
студент групи
Перевірив:

Харків
Содержание
    1. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений
      2. Решение линейных разностных уравнений
      3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений
      4. Интерполяционные рекуррентные формулы
      4.1 Интерполяция конечными разностями “назад”
      4.2 Рекуррентные формулы Адамса
      Литература

1. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений

Используя описанные выше соотношения между операторами дифференцирования и операторами конечных разностей несложно в заданном интервале изменения независимой переменной получить конечно-разностную аппроксимации дифференциальных уравнений системой алгебраических рекуррентных формул или уравнений. Основная идея аппроксимации схематически представляется так: В заданном в общем виде дифференциальном уравнении или системе

производится замена независимой переменной t ее представлением в заданном интервале путем преобразования , а искомая функция и ее производные выражаются посредством конечно-разностных соотношений через некоторое число равномерно расположенных с шагом ординат , начиная с : , , ,..., : .

Разрешив неявную форму разностного выражения относительно старшей ординаты , получим рекуррентную формулу, из которой по известным k начальным ординатам можно последовательно найти ординаты всего искомого процесса. Вопрос лишь в том, где взять нужное количество начальных ординат. Благополучно разрешима задача лишь в случае, когда производная аппроксимируется разностью первого порядка:

.

После приведения исходной системы к системе уравнений первого порядка каждая искомая переменная получает значение при , равное своему начальному условию. В результате рекуррентный вычислительный процесс оказывается определенным и позволяет вычислить на очередном шаге значения всех переменных:

или

где - вектор переменных,

- вектор производных.

Такой вычислительный процесс в литературе получил название численного интегрирования систем дифференциальных уравнений по явному методу Эйлера. Основная трудность здесь заключается в выборе шага интегрирования для нецелочисленной независимой переменной t.

2. Решение линейных разностных уравнений

Система линейных разностных уравнений может быть в ряде случаев решена и аналитически. Решение представляется в виде алгебраического выражения от целочисленной переменной. Методика решения аналогична той, что применяется и при решении линейных дифференциальных уравнений.

Используется тот факт, что общее решение неоднородного линейного уравнения представляется взвешенной суммой системы фундаментальных решений однородного уравнения и одного частного решения уравнения неоднородного. Воздействие неоднородности на характер общего решения не связано с конкретными значениями начальных условий. Именно это позволяет находить лишь одно частное решение уравнения с правой частью. Число фундаментальных решений однородного уравнения определяется порядком последнего.

В качестве частных решений для линейных уравнений обычно используют функции, инвариантные по отношению к операции сдвига, т.е. функции, не изменяющие своей структуры при переносе начала координат. В конечно-разностных уравнениях это показательные функции:

Где p - некоторый параметр-константа. Количество частных решений определится числом параметров , для которых будет обращать разностное уравнение в тождество. Общее решение составляется в виде суммы частных решений, умноженных на коэффициенты, определяемые конкретными начальными условиями. Рассмотрим пример решения линейного неоднородного уравнения третьего порядка.

Пусть требуется заменить рекуррентный вычислительный процесс с псевдокодом следующего вида:

на формульное выражение для , как функции от n, позволяющее выборочно вычислять значение любого члена последовательности. Для этого в рекуррентном операторе цикла заменим оператор ': =' на символ равенства '=' и запишем полученное уравнение в форме неоднородного разностного уравнения относительно :

.

В качестве фундаментальной системы функций возьмем тогда характеристическое уравнение примет следующий вид:

.

Решив уравнение, найдем корни: , следовательно, частными решениями однородного уравнения будут:

Частное решение неоднородного уравнения (с правой частью) попробуем найти в виде функции, которая будет пропорциональна квадратуре от правой части с неизвестными коэффициентами:

Для нахождения коэффициентов a и b подставим в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях полученного равенства. Последовательно выполняя сказанное, имеем:

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n, получим

откуда и частное решение примет вид

.

Общее решение для конкретных начальных условий ищем в виде суммы частных решений:

.

Константы находим из уравнений, получаемых после подстановки в общее решение значений для при :

В результате, общее решение неоднородного уравнения будет:

Для примера выпишем несколько первых членов ряда, полученных вычислением этого выражения: [0, - 1, 1, 2, 2, 5, 11, 16, 20, 27, 37, 46, 54, 65, 79, 92, 104, 119, 137, 154, 170,...]

3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений

Интегрирование системы нелинейных разностных уравнений первого порядка по Эйлеру аналитически выполнить, как правило, не удается. Поэтому решение задачи получают в численном виде путем вычисления очередных значений процессов по рекуррентным формулам, начиная с известных начальных условий:

,

Где - очередное значение вектора решений,

- вектор начальных значений.

Основной проблемой процесса численного интегрирования является выбор величины шага h. Формула Эйлера вносит в процесс численного решения погрешность, пропорциональную h. Это несложно увидеть, если сравнить вычисляемое при интегрировании уравнения выражение с первыми слагаемыми ряда Тейлора для точки :

.

По Эйлеру

,

или иначе:

,

а и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.