На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Понятие f-субнормальных подгрупп, их основополагающие характеристики. Построение теории f-субнормальных подгрупп и теории субнормальных подгрупп Виландта. Локальные наследственные формации, обладающие решеточным свойством для f-субнормальных подгрупп.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 22.09.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Курсовая работа
"Решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп"

Введение

В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления - теории формаций.
В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.
В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства

Определение. Пусть - подгруппа группы . Цепь подгрупп
в которой для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число - длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .
Определение. Пусть - подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .
Лемма. Если субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .
субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь
субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь
Таким образом, мы получили субнормальную -цепь
то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.
Теорема. Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что
Доказательство. Пусть - дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :
Из того, что не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что - дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем
Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.
Определение. Пусть - субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь
называется канонической, если для любой субнормальной -цепи
имеет место , , ,…, .
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема. Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.
Доказательство. Пусть - дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .
все субнормальные -цепи длины ( - второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…, мы имеем
Таким образом, цепь
является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.
Теорема. Если субнормальна в и - подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .
Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :
Положим . Получаем цепь
Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .
Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.
Следствие. Пусть и - подгруппы группы . Если субнормальна в и - подгруппа , то субнормальна в .
Доказательство. Пусть и цепь
является субнормальной -цепью.
Положив , получим субнормальную -цепь
что и требовалось.
Теорема. Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение есть субнормальная подгруппа в.
Доказательство. Пусть - наибольший из дефектов подгрупп и в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи
Положим , , ,…, . Из , следует, что нормальна в . Следовательно, цепь
является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.
Лемма. Если субнормальна в , а - нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство. субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно, так как и , то . Лемма доказана.
Лемма. Если подгруппы и субнормальны в и , топроизведение есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство. Если нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.
Предположим, что не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .
Пусть - каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь
будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,…, (по определеделению).
Следовательно, содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.
Теорема. Если и - субнормальный подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .
Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме 1.10 субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .
Итак, нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме 1.10 и субнормальны в . Так как и , то ввиду выбора получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки .
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема. Пусть - некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:
1) если и , то ;
2) если , , , , то .
Тогда для любой подгруппы .
Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где - некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.
Следствие. Если - непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .
Доказательство. Пусть - множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.
Следствие. Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:
1) если - -группа, то ;
2) если нильпотентна, то ;
3) если -нильпотентна, то ;
4) если разрешима, то .
2. Минимальные не -группы
Лемма [3]. Пусть , где - локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа монолитична с монолитом
2) - -группа для некоторого простого ;
3) - -эксцентральный главный фактор ;
4) ;
5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;
6) если абелева, то она элементарна;
7) если , то - экспонента ; при экспонента не превышает 4;
8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место
9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;
10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;
11) если - -абнормальная максимальная подгруппа группы и - некоторый полный локальный экран , то - минимальная не -группа и либо , либо .
Доказательство. 1) Пусть - минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, - минимальная нормальная подгруппа . Так как - формация, то, нетрудно заметить, что - единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что
Отсюда следует, что
2) Выше мы показали, что - главный -фактор. Покажем, что - -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где - содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда
Отсюда и из насыщенности получим . Но тогда , что невозможно.
Пусть - главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .
Обозначим через коммутант группы . Так как - -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что . Так как
то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) - 6), 9) доказаны.
Докажем 7). Предположим, что неабелева. Пусть - произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,
для всех элементов , из . Это означает, что имеет экспоненту . Учитывая это и то, что содержится в , получаем для любых , из при :
Значит, отображение является -эндоморфизмом группы . Так как
то -гиперцентральна в . Вспоминая, что - -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.
Пусть . Тогда
где . Рассматривая отображение как и выше получаем, что . Значит имеет экспоненту не больше 4.
Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем для любой -абнормальной максимальной подгруппы группы . Нетрудно показать, что .
По теореме 7.11 из [5],
Так как , то
Ввиду того, что и - главный фактор , имеем . Итак, . Пусть - любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что
Не ограничивая общности, положим . Тогда - единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что и . Но - -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место
то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы принадлежит . Допустим, что . Тогда
и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е. - минимальная не -группа.
Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то - дополнение к в . Если для всех различных и , то
и поэтому . Противоречие. Значит для некоторых различных и . Из последнего вытекает
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.
Лемма [4]. Пусть - наследственная локальная формация, - такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда равносильно .
Доказательство. Пусть . Тогда , и если - произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .
Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть - произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть - произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть - максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть - локальная наследственная формация, - некоторый ее полный экран. Группа принадлежит тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1) ;
2) , где - главный -фактор группы , - минимальная не -группа.
Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть и - произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию
Следовательно, и по лемме 2.1 - -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть - локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) для любого из ;
2) тогда и только тогда, когда для любого из , - главный фактор , .
Доказательство. 1) Пусть - произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть - подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как - постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] для любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие. Итак, - собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.
2) Пусть . Покажем, что . Так как
то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть - произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что - -группа. Так как и - постоянный экран, то . Пусть - произвольная собственная подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,
Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что
есть главный -фактор группы .
Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть - собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда
Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда - собственная подгруппа группы . Тогда
Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.
Лемма. Пусть - непустая наследственная формация. Тогда:
1) если - подгруппа груп и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.