На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Применение теории вероятности в вычислениях надежности

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 17.08.2012. Сдан: 2012. Страниц: 10. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Министерство  сельского хозяйства РФ
ФБГОУ ВПО
«Тюменская  государственная сельскохозяйственная академия»
Институт  экономики и финансов
Кафедра математики 
 
 
 

РЕФЕРАТ
по теме:
ПРИМЕНЕНИЕ  ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ  НАДЕЖНОСТИ 
 
 
 
 
 

Руководитель                       Л. И. Якобюк
Исполнитель М.Н. Дмитриева, 422 группа  
 
 
 
 
 
 
 

Тюмень 2011
Содержание  

Введение……………………………………………………………………………...3
1.Дискретные распределения случайных величин в теории надежности………..4
1.1 Распределение Пуассона………………………………………………………...5
1.2 Биномиальное распределение (распределение Бернулли)……………………6
1.3 Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)……8
1.4 Геометрическое и гипергеометрическое распределения……………………...8
2. Непрерывные распределения случайных величин в теории надежности……10
2.1 Экспоненциальное (показательное) распределение………………………….10
2.2 Распределение Вейбулла………………………………………………………11
2.3 Нормальное распределение (закон Гаусса)…………………………………...12
2.4 Логарифмически нормальное распределение………………………………...15
2.5 Распределение по закону равной вероятности……………………………….17
2.6 Распределение Рэлея…………………………………………………………...18
2.7 Распределение Стьюдента (t-распределение)………………………………...19
2.8 Распределение Фишера- Снедекора…………………………………………..20
Заключение…………………………………………………………………………22
Список  литературы…………………………………………………………………23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     В теории надежности приходится иметь дело с двумя классами случайных величин - дискретными и непрерывными. Примеры дискретных случайных величин: число отказов или число восстановлений объекта за заданное время. Примеры непрерывных случайных величин: наработка объекта до отказа, наработка объекта между двумя отказами, время восстановления, ресурс. В соответствие с этим в реферате рассмотрим два класса распределений: дискретные и непрерывные.
     Центральным понятием теории  надежности является понятие  «отказов», заключающийся в нарушении  работоспособного состояния объекта.  Хотя сам факт отказа объекта - явление детерминированное, но неполнота сведений об объекте и протекающих в нем и окружающей среде процессов приводят к вероятному характеру отказов, то есть отказ объекта может быть вызван разными причинами и иметь различный характер и природу. Так как появление отказа – величина случайная, вероятность этого события может быть вычислена с применением разнообразных подходов. Наиболее обоснованным из них является применение в теории надежности методов теории вероятностей.
     Цель реферата состоит в изучение применения теории вероятностей в вычислениях надежности.
     Исходя из этого, выстраивается  ряд задач, а именно:
    1.Ознакомиться основными характеристиками случайных величин, используемых в теории надежности;
    2. Изучить дискретные, непрерывные модели надежности технических систем;
   3. Выражать одно значение показателей из другого;
   4. Проанализировать применение в вычислениях надежности методов теории вероятности. 

1. Дискретные распределения случайных величин в теории надежности 

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение из дискретного или непрерывного ряда, причём неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть либо дискретной (число отказов за время t, число отказавших изделий при испытании заданного объёма и т. д.), либо непрерывной (время работы изделия до отказа, время восстановления работоспособности).
     Закон распределения случайной величины – соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.
      Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность p того, что случайная величина Х меньше некоторой текущей переменной х.
     Функция распределения случайной величины Х (интегральный закон распределения) – функция вида F(x) = p(X < x).
     Плотность распределения непрерывной случайной величины Х (дифференциальный закон распределения) – производная от функции распределения
                                                             (1.1)
     В теории надёжности за случайную  величину обычно принимается  время работы объекта (время  до возникновения отказа). В этом  случае:
– функция  распределения
  ;
– плотность  распределения
  ;
– вероятность  безотказности изделия за время  t
   ;
– интенсивность  отказов (условная плотность вероятности  отказов):
   .
     Случайное событие – событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы.
    Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений изделие(техническое устройство) может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное).
     Случайный процесс – переход объекта (элемента, системы) из
одного  состояния в другое под влиянием ряда случайных факторов.
     Дискретные модели надёжности – это дискретные распределения, которые описывают случайные величины, принимающие конечное или счётное множество значений (число отказов, число исправных или отказавших элементов и др.).  

1.1 Распределение Пуассона 

      Если случайная величина принимает  только целые неотрицательные  значения с вероятностями
                                                                                (1.2)
то такая  величина распределена по закону Пуассона, (здесь ?– параметр распределения, e– основание натурального логарифма).Функция распределения представляет собой лестницу с бесконечным множеством ступеней, начинающихся в неотрицательных целочисленных абсциссах.
     Распределение Пуассона нашло широкое применение при расчёте количественного состава запасных частей и определении вероятности восстановления сложных систем.
Распределение Пуассона представляет также распределение  чисел случайного события за время ?. Вероятность возникновения случайного события за время ?
        ,                                                                                     (1.3)
где ? – интенсивность случайного события.
     Свойства распределения следующие:
     1) математическое ожидание числа событий за время ? равно ??;
     2) среднеквадратичное отклонение числа событий ? = v??
     Характерный признак распределения Пуассона – равенство математического ожидания и дисперсии. Это свойство используется для проверки степени соответствия исследуемого (опытного) распределения с распределением Пуассона.
      Распределение Пуассона может являться аппроксимацией гипергеометрического и биномиального распределений при pN , n > , p> , и при p < 0,1       p > , и при p < 0,1. В последнем случае распределение Пуассона получается, когда n > , а в пределе пр =? = const ( закон малых чисел).С ростом величины ? распределение становится колоколообразным асимметричным. Для ? > 9 распределение Пуассона приближённо можно заменить нормальным с параметрами a = ? и = ?.
     Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в изделии за заданное время произойдёт, два, три и т. д. отказов. 

1.2 Биномиальное распределение
(распределение Бернулли) 

Определяется  вероятность k успешных испытаний из общего числа испытаний n, если известно, что вероятность одного успешного испытания равна р, или число k исправных элементов системы, состоящей из n элементов, если вероятность безотказной работы каждого элемента равна р:
          ,                   (1.4)
где – число сочетаний из n по k.
     Свойства распределения следующие:
     1) число событий n – целое положение число;
     2) математическое ожидание числа событий равно np;
     3) среднеквадратичное отклонение числа событий ? = vпр(1- p) .
     Биномиальное распределение устойчиво,  то есть воспроизводится вновь,  если случайная величина x является  суммой независимых случайных  величин. Математически это можно  записать таким образом:
                                             (2.5)
     Биномиальный закон распределения широко применяется в технике при оценке надёжности по результатам испытаний или эксплуатации систем, работающих в циклическом режиме.
     При достаточно большом числе n и малых значениях р биномиальное распределение хорошо аппроксимируется распределением Пуассона с параметром ? = и ошибкой аппроксимации порядка
                                                                                              (1.6)         
или нормальным распределением: 
     ,                                               (1.7)
где Ф(z) – нормированная функция Лапласа.
     Биномиальное распределение характерно для вероятности появления в объекте k дефектов за время или наработку t, если известно, что вероятность появления дефекта в одном из n интервалов t/n равна p. При n можно использовать распределение Пуассона (2.5) в виде:
                 (1.8)
     При k = 0 это распределение можно рассматривать как вероятность безотказной работы за время t:
     P(k = 0) = ,
причём  в этом случае параметр ? представляет собой интенсивность отказов. 

1.3 Отрицательное биномиальное распределение
(распределение  Паскаля) 

     В этом случае вероятность безотказной работы определяется выражением:
                                                                               (1.9)
которое используется, например, для определения вероятности числа неисправных изделий n, предшествующих k-му исправному состоянию, или для планирования выпуска изделий с заданным числом исправных при известной вероятности брака p.
     При k = l отрицательное биномиальное распределение приобретает вид геометрического распределения. 

1.4 Геометрическое и гипергеометрическое распределения 

     Геометрическое распределение можно применять, когда опыты проводят до тех пор, пока желаемое событие не произойдёт. Вероятность того, что для получения интересующего результата потребуется x испытаний, содержится в геометрическом распределении
                                                                         (1.10)
     Для этого распределения среднее a 1/p, дисперсия   = (1 – p)/
     Гипергеометрическое распределение используется для определения надёжности продукции при выбранном контроле качества и определяет вероятность числа дефектных изделий k в выборке объёма n из партии объёмом N, содержащей M дефектных изделий:
     . (1.11)
     Для гипергеометрического распределения среднее и дисперсия соответственно равны
  .
     Данное распределение сходится к биномиальному при N , когда n и M/N – постоянные. Приближение приемлемо для 10n < N. Таким образом, для биномиального приближения при N и M/N ~p имеем
                                              (1.12)
     Этот закон применяется для определения бракованности или годности партии деталей по некоторой выборке.
     Гипергеометрическое распределение хорошо согласуется с практикой в том случае, когда M значительно меньше N, и n мало по сравнению с N. Очевидно, что в этом важном для теории надёжности случае k может принимать значения: 0, 1, 2, ..., min(M, n). При массовом производстве это распределение используют для определения вероятности того, что в выборке n деталей окажется k бракованных, по которым принимают решение о принятии или непринятии всей партии деталей. 
 
 
 

2. Непрерывные распределения случайных величин в теории надежности 

   В теории надёжности непрерывной случайной величиной является время или наработка – наработка до отказа, время безотказной работы, наработка на отказ, время восстановления и др.
      В качестве непрерывных моделей надёжности в этих случаях используются непрерывные законы распределения случайных величин. 

2.1 Экспоненциальное (показательное) распределение 

     Это наиболее простая и одна из самых используемых моделей наработки на отказ, которая получается из выражения основного закона надёжности при постоянном значении интенсивности отказов ? = const:
                     (2.1)
      Математическое ожидание и дисперсия связаны с интенсивностью отказов соотношениями 1/? и 1/ . Из приведенных зависимостей видно, что коэффициент вариации в этом законе – величина постоянная, равная единице.
      Это распределение часто используют в проектных расчётах надёжности на стадии разработки сложных систем. Оно однопараметрическое (имеется один параметр ?). Функция и плотность распределения показаны на рис.2.1, которые при t > 0 выражаются уравнениями, соответственно:
                                                                                                    (2.2)
                                                                                                       (2.3)
    
      Рис. 2.1. Вид функции F(t) и плотности f(t) экспоненциального распределения
     Широкое использование экспоненциальной модели объясняется, в первую очередь, тем, что она описывает период нормальной эксплуатации, когда интенсивность отказов ? примерно постоянна и старение объекта мало сказывается на его надёжности. Экспоненциальное распределение типично для технических систем, состоящих из большого числа элементов с различными распределениями наработки до отказа.
     Для сложной механической системы при независимых отказах элементов, имеющих экспоненциальное распределение, отказы самой системы также имеют показательное распределение, причём общая интенсивность отказов равна сумме интенсивностей выходов из строя элементов.
     Кроме того, экспоненциальное распределение описывает функционирование объекта под действием пуассоновского потока импульсов нагрузки, обусловливающего отказы сложных систем с восстановлением элементов. Экспоненциальное распределение можно также рассматривать как предельное для распределения Пуассона и геометрического распределения.
      При использовании экспоненциальной модели в качестве характеристики наработки объекта на отказ величину можно рассматривать как среднюю наработку и тогда выражение (2.1) запишется в виде
                                                                                                         (2.4)
     Важным свойством экспоненциальной модели надёжности является то, что вероятность безотказной работы и вероятность отказа в интервале времени (t; t + ?t) (то есть P(t; t + ?t) и Q(t; t + ?t) = 1 –P(t; t + ?t)) зависят только от длины этого интервала ?t и не зависят от предшествующего времени t. Это свойство в значительной степени ограничивает возможности использования этой модели – она применяется, если необратимые изменения (старение) объектов несущественны и отказы связаны только со случайными воздействиями. 

2.2 Распределение Вейбулла
    
     Это распределение обобщает при определённых условиях экспоненциальное распределение. Функция надёжности при распределении Вейбулла имеет вид
                                                                                                        (2.5)
     Функция F(t) и плотность f(t) распределения (рис. 3.2) выражаются соотношениями
                                                                                                    (2.6)
                                                                                                (2.7)
     Здесь, k – параметр формы кривой; ? – параметр масштаба кривой распределения.
     При значении параметра k = 1 распределение Вейбулла превращается в показательное, при k = 3,3 – в нормальное.

Рис. 2.2. Графики плотности (а) и функции (б) распределения Вейбулла
     В этом плане распределение Вейбулла является в некотором роде универсальным. В частности, при значении параметра формы k < 1 модель Вейбулла позволяет описывать приработочные отказы, обусловленные скрытыми дефектами, при k = l – внезапные отказы в период нормальной эксплуатации, при 1< k < 2 – отказы быстростареющих объектов, у которых почти нет скрытых дефектов, при k>2– износовые отказы. Кроме того, при k =2 (распределение Релея) модель описывает функционирование объекта, состоящего из нескольких последовательно соединённых дублированных элементов, Обычно значение k лежит в интервале от 1 до 2.
     Параметр ? определяет масштаб кривой распределения по оси t. Это распределение было установлено экспериментально при описании наблюдавшихся разбросов сопротивления усталости (усталостной прочности) стали, пределов её упругости, размеров частиц копоти и др. Распределение Вейбулла может быть использовано при описании сроков службы электромеханического оборудования, подшипников и наработки между отказами сложных систем в процессе эксплуатации. 

2.3 Нормальное распределение (закон Гаусса) 

     Это распределение является одной из самых популярных моделей в теории надёжности, плотность и функция распределения, которого (рис. 3.3) имеют вид, соответственно:
                                                                                              (2.8)
                                                                                      (2.9)
Здесь приняты обозначения:
? – параметр распределения, представляющий собой среднее значение случайной величины, ? – среднее квадратическое отклонение случайной величины от среднего значения.
     Функция надёжности имеет вид
                                                                      (2.10)

Рис. 2.3. Графики плотности (а) и функции (б) нормального распределения
      Значения нормально распределённой случайной величины с вероятностью 68 % отклоняются от её математического ожидания не более, чем на одно среднее квадратическое отклонение; с вероятностью 95 % – не более чем на два средних квадратических отклонения; с вероятностью 99,7 % – не более, чем на три средних квадратических отклонения.
     Последнее носит условное название "правило трех сигм": если случайная величина распределена по нормальному закону, то её абсолютное отклонение от математического ожидания практически не превышает трёх сигм (t – M{t}) ?3?. Это правило широко используется в технике и технологии машиностроения, в частности, при определении режимов подналадки обрабатывающего оборудования, точностных характеристик операций механической обработки и др.
     В практических расчётах в теории надёжности нормальное распределение допускается применять, если коэффициент вариации v <0,35.
     Обратим внимание на другую форму записи плотности вероятности нормального распределения
    ,                                                                                (2.11)
где z –  нормированное отклонение частоты m от наиболее вероятной частоты np, то есть
  ;
vnpq - среднее квадратическое отклонение случайной переменной m.
     Максимальная ордината колоколообразной кривой ?(z) соответствует точке m = np, то есть математическому ожиданию m, а само значение ординаты равно 1/v2?npq.
     Для построения кривой нормального  распределения часто используют  формулу
                                                                                            (2.12)
где N –  число наблюдений, равное ?m, то есть сумме частот эмпирического распределения; k – интервал деления эмпирического ряда; – нормированное отклонение.
     Фундаментальное значение нормального распределения связано с центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой распределение суммы любых случайных величин в пределе (при бесконечном росте числа слагаемых) стремится к нормальному. Нормальное распределение чаще всего используется для описания постепенных износовых отказов. Оно образуется, когда на случайную величину действует большое число равноправных случайных факторов.
     Нормальный закон распределения обладает важным для теории и практики свойством, которое заключается в том, что если случайные величины, подчинённые нормальному закону, подвергать линейному преобразованию, то вновь получаемые случайные величины также будут распределены нормально.
      Закону нормального распределения в числе других параметров подчиняются отклонение размеров при изготовлении деталей, ошибка измерения некоторой контролируемой величины, распределение ресурса устройства определенного типа и др.
      В теории надёжности нормальное распределение используют для описания постепенных отказов, когда время безотказной работы вначале имеет низкую плотность, затем – максимальную и далее –падающую.
     В теории надёжности, как и во многих других случаях, часто используют функцию Лапласа, которая представляет собой нормированную нормальную функцию распределения с параметрами ? = 0,? = 1 и записывается в виде
                                                (2.13)
    Эта функция табулирована для различных значений Х, и обычно её представляют в виде таблицы. Для этого распределения функция плотности имеет одну переменную Х. 

2.4 Логарифмически нормальное распределение 

     В этом случае логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Этот закон успешно применяется при описании наработки на отказ сложных технических и технологических систем в машиностроении, а также при построении имитационных моделей Кобба- Дугласа. Плотность распределения (рис. 3.4) имеет вид
     
Рис. 2.4. Плотности распределения вероятностей для логарифмически нормального закона
                                                                                              (2.14)
где и S – параметры, оцениваемые по результатам испытаний. Так, при испытании N изделий до отказа их определяют по формулам
     ;                                                                                                   (2.15)
    .                                                                                    (2.16)
    Функция надёжности определяется следующим образом:
                                                                      (2.17)
     Её можно найти по таблицам для нормального распределения в зависимости от значения квантиля .
     Логарифмически нормальное распределение может также использоваться для описания долговечности металлов, износовых отказов материалов, старения электронной аппаратуры, процессов восстановления некоторых объектов, надёжности технологического обеспечения параметров качества и ряда эксплуатационных свойств поверхностного слоя деталей машин и т. д. 

2.5 Распределение по закону равной вероятности 

     Модель надёжности, построенную на основе закона распределения равной вероятности можно применять для описания вероятности появления отказов в некотором заданном временном интервале, когда процесс приработки объекта закончен, а процесс старения элементной базы ещё не наступил.
     При распределении случайной величины по закону равной вероятности плотность вероятности имеет постоянное значение в некотором интервале изменения случайной величины и равна нулю вне этого интервала. Такое распределение называют равномерным распределением вероятностей (рис. 2.5).
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.