На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


дипломная работа Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

Информация:

Тип работы: дипломная работа. Добавлен: 23.08.2012. Сдан: 2012. Страниц: 20. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Волгоградский Государственный Педагогический Университет 

Математический  факультет
Кафедра Методики Преподавания Математики 

ВКР
Обучение  доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики  5-6 классов 
 
 
 

                                       Исполнитель: Завгородняя Валерия Александровна
                                             Студентка группы М-42
                                             Руководитель: доцент кафедры методики
                                             преподавания математики Дюмина  Т. Ю. 
 
 

                                        Волгоград, 2009
Содержание:
Введение…………………………………………………………………………..3
Глава 1. Теоретические основы обучения доказательству………………….....7
    1.1. Доказательства в школьном курсе математики……………………….7
        1.2. Особенности обучения доказательствам школьников 5-6 классов…20
Выводы по главе 1……………………………………………………………….29
Глава 2. Организация деятельности учащихся 5-6 классов по обучению доказательствам………………………………………………………………….30
            2.1. Основные виды задач на доказательство, используемые в 5-6 классах……………………………………………………………………………30
     2.2. Структура и этапы организации деятельности учащихся по         обучению доказательствам……………………………………………………...40
Выводы по главе 2……………………………………………………………….56
Заключение……………………………………………………………………….57Литература……………………………………………………………………….59 
 
 
 
 

 
 
Введение
      Процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствует обучение построению дедуктивных умозаключений.
      Обучение построению доказательства - одна из целей математического образования и является составляющей основы конструирования содержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широких позиций.
      С переходом в среднее звено  школы учащиеся знакомятся с таким предметом как геометрия, где весь курс построен на различного рода доказательствах, проводимых  дедуктивным путем. И если перед 7 классом мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией, то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как многие из них не смогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод.
      Дети  оказываются неподготовленными  по следующим причинам:
      - одновременно осваиваются новые умения и новый материал;
      - недостаточно разработан пропедевтический материал.
      Чтобы учащиеся в 7 классе были готовы к осуществлению  геометрического доказательства, необходима пропедевтика математических доказательств уже в 5-6 классах.
      В разное время исследователи уделяли  внимание вопросу обучения доказательствам. Например, Колягин Ю.М говоря о пропедевтике обучения доказательствам, имеет в виду следующие: школьника нужно научить понимать отличительные черты и структуру математического доказательства, выделять условие и заключение, не допускать различные ошибки. Он выделил типы ошибок при доказательстве, о происхождении которых учителю знать необходимо: незнание основных определений, непонимание дедуктивного построения курса математики. [10]
      Столяр  А. А. делает основной акцент  на обучение процессам поиска и построения доказательства. [21]
      Бреслер Г. Р. в своей диссертации пишет  о воспитании потребности у учащихся в доказательстве. Она выделила  линии, по которым должна вестись  подготовительная работа, способствующая сознательному усвоению доказательства: воспитание потребности в доказательстве; ознакомление с некоторыми вопросами структуры и сущности доказательства; подготовка к восприятию взаимно обратных теорем.[3]
      Кириллова С. В. строит свою методическую систему  пропедевтико-геометрической подготовки учащихся на основе теории о структуре геометрической деятельности. Эта методическая система включает в себя цели, содержание, технологию обучения и психолого-педагогические особенности учащихся.[9]
      Однако  при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного пропедевтического материала, позволяющего строить обучение школьников доказательствам в 5-6 классе, нет. Поэтому мы получаем противоречия:
    между необходимостью включения в учебные пособия по математике 5-6 классов задач на доказательство и практическим отсутствием таковых;
    между необходимостью пропедевтики математических доказательств в 5-6 классах и недостаточностью разработок соответствующих методик.
      Эти противоречия и явились мотивом для проведения настоящего исследования, определив его актуальность.
      Проблема исследования состоит в разработке методических основ пропедевтического обучения математическим доказательствам в 5-6 классах.
      Объектом исследования является обучение доказательству в курсе средней школы.
      Предмет исследования – процесс пропедевтического обучения математическим доказательствам в 5-6 классах.
      Целью работы является научное обоснование пропедевтики математических доказательств в 5-6 классах.
      Гипотеза исследования: пропедевтика обучения математическим доказательствам в 5-6 классах будет более эффективной, если:
    проводить обучение доказательствам в соответствии с психологическими особенностями школьников 5-6 классов;
    давать задачи  разного вида: задачи, требующие ответа да/нет; задачи построения выводов; задачи построения умозаключений; задачи, требующие открытия нового факта;
    работать в соответствии с этапами пропедевтики: подготовительный этап, этап построения выводов, этап построения умозаключений, творческий этап.
      В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи исследования:
      1. Выявить особенности обучения доказательствам школьников 5-6 классов.
      2. Выделить основные виды задач на доказательство, которые могут быть использованы при обучении доказательству в 5-6 классах.
      3. Разработать методические основы пропедевтики обучения математическим доказательствам в 5-6 классах.
      Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
      - системный анализ;
      - деятельностный подход;
      - анализ психолого-педагогической, учебно-методической литературы по проблеме исследования, анализ школьных учебников, программ и учебных пособий;
      - изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики.
      Теоретическая значимость работы заключается в:
      - уточнении содержания понятия  доказательство;
      - выделении совокупности действий, составляющих его основу;
      - разработке основ организации пропедевтического обучения.
      Практическая  значимость исследования состоит в подборке тренировочных упражнений пропедевтики доказательств в 5-6 классах. Разработанная методика пропедевтики математических доказательств в курсе математики 5-6 классов может быть использована учителями, а также авторами учебных пособий, предназначенных для учителей, студентов и учащихся.
      На  защиту выносятся  следующие положения:
      1.Пропедевтика математических доказательств в 5-6 классах является необходимым условием успешного обучения геометрическим задачам на доказательство в 7 классе. Важно еще до изучения систематического курса геометрии осуществлять формирование у школьников некоторых навыков дедуктивных умозаключений и добиваться понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения.
      2. Задачи, тренирующие навыки доказательства должны быть разного вида:
      1) Задачи, требующие ответа да/нет
      2) Задачи, тренирующие навык построения выводов
      3) Задачи построения умозаключений
      4) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность (творческие)
      3. Организуя деятельность учащихся по обучению доказательству поэтапно, мы обеспечим их навыком построения доказательству. Только в результате целенаправленной длительной работы в этом направлении учащиеся изучат структуру доказательства. 
 

      Глава 1. Теоретические  основы обучения доказательству
      1.1. Доказательства в  школьном курсе  математики
          В наше время трудно указать область математики, не нашедшую применения в огромном разнообразии практики, а также область человеческого знания, которая не пользовалась бы математическими методами. Смысл математизации знаний, как отмечает академик Б. В. Гнеденко, состоит не в том, чтобы все познание свести к чисто вычислительным или логическим операциям и не оставить места ни эксперименту, ни наблюдению. Цели математизации реальны и плодотворны. Их смысл можно высказать, пожалуй, таким образом: из точно сформулированных предпосылок выводить логические следствия, в том числе и такие, которые могут быть непосредственно наблюдаемы; сделать доступными логическому и количественному анализу сложные и запутанные процессы; не только описывать уже установленные факты, но и предсказывать новые закономерности. Математизация наших знаний состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том, чтобы создавать тот специфический математический подход, а вместе с ним и формальный аппарат, который позволил бы наиболее полно и точно описывать интересующий нас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результаты для практической деятельности.
           Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так и от опытных наук вообще, является, как правило, дедуктивный характер ее доказательств. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.                                            
           Обучение доказательству способствует формированию нравственности. Обучение доказательству должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математике в средней школе. В обучении доказательству важная роль отводится обучению поиска способов доказательства, их сравнения, выбора наиболее простого из них.
           Анализ многочисленной литературы, в которой рассматривается проблема обучения доказательству, показывает, что в ее решении преобладает логический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается на исследовании логических аспектов доказательства: сущности доказательства, его видов, правил вывода, обучения логическим действиям, входящим в процесс доказательства. В ряде работ находит отражение обучение эвристикам, овладение которыми облегчает поиск доказательства. (Наиболее ярко это направление представлено известными работами д. Пойа.)
         В литературе существуют разные точки зрения на сущность понятия «обучение доказательству».
          Одна из них сформулирована А. А. Столяром: «Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств» .[21] Таким образом, А. А. Столяр основной акцент в обучении доказательству делает на обучение процессам поиска и построения доказательства, специально противопоставляя его обучению работать с готовыми доказательствами. Эта концепция явилась, по-видимому, протестом против традиционно сложившейся в прошлом методики, в основном ориентированной на разучивание теорем и их доказательств и мало внимания уделявшей обучению самостоятельному открытию теорем и способов их доказательств.
      Есть  и иная точка зрения на обучение доказательству, сформулированная З. И. Слепкань: «под обучением доказательствам мы понимаем обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем или учебником, и обучение самостоятельному поиску доказательств».[5] З. И. Слепкань выделяет в проблеме обучения доказательству ряд последовательно решаемых задач:
      1) изучение готовых доказательств,  умение воспроизводить их;
      2) самостоятельное построение доказательств  по аналогии с изученными;        
      3) поиск и изложение доказательств  указанным учителем способом;
      4) самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложений.
      Отметим также исследования, в которых  предпринята попытка выделения  уровней обучения доказательству. Так, К. Попером  и И. Лакатосом выделены такие уровни:
      1) понимание аргументации и ее повторение;
      2) самостоятельный разбор доказательства теоремы и его воспроизведение;
      3) самостоятельное доказательство  теоремы; 
          4) опровержение готовых доказательств.
            Существующие точки зрения на  обучение доказательству определяют соответствующие им направления в исследовании этой проблемы». Авторы одной из них ставят акцент на обучении школьников поиску способа доказательства и самостоятельному его осуществлению, авторы другой - на обучении умению разбираться в готовых доказательствах. Анализ литературы показывает, что эти точки зрения не противоречат друг другу, они лишь отражают две стороны проблемы обучения доказательству: логическую и эвристическую. Между тем реальный процесс доказательства опирается на единство логического и эвристического, в нем логика и эвристика (логические и эвристические приемы мышления, составляющие доказательство) взаимосвязаны и взаимообусловлены. Отсюда следует, что концепция обучения доказательству должна включать обучение как умению разбираться в готовых доказательствах, так и умению самостоятельно осуществлять их поиск и конструирование.
          Поэтому, подводя итог изложенному, под обучением доказательству будем понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опровержению предложенных доказательств.
      Имеется большое число работ, в которых  обсуждаются отдельные аспекты проблемы обучения доказательству. Прежде всего отметим работы психологов, результаты которых служат обоснованием принятой концепции обучения доказательству (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский и др.). Среди таких положений выделим следующие:
      - развитие «доказательного» мышления  проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам;
      - доказательство — специфическая  деятельность, овладение которой  требует специального, целенаправленного  формирования составляющих ее действий.
      Действия, адекватные доказательству, имеют логический и эвристический характер. Их выделению и разработке методики формирования посвящены работы многих исследователей. Отметим наиболее важные результаты исследований логических аспектов доказательства.
    Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схем дедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, является необходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения, метода получения новых знаний (А. А. Столяр).[21]
    Процесс доказательства — сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным 
    структурам. Этому должны соответствовать и постепенное усложнение структуры доказательства, постепенное повышение 
    его уровня строгости (А. А. Столяр).[21]

    Деятельность по доказательству включает следующие действия:
      - подведение объекта под понятие; выбор системы признаков, необходимых и достаточных для подведения под понятие, соответствующей конкретным условиям теоремы или задачи на доказательство; развертывание условия — выведение системы следствий; выделение в условии «поисковых» областей (Г. А. Буткин, М. Б. Волович);[4]
      - вычленение из формулировки теорем  их объектов, условия, заключения; запись теоремы в краткой символической  форме, построение для данной  теоремы ей обратной и установление  ее справедливости; перевод формулировки  теоремы на язык необходимых и достаточных условий (Л. М. Фридман);
      - выполнение логического анализа  формулировки теоремы, разработка  логических схем доказательства  отношений необходимости, достаточности, необходимости и достаточности между двумя событиями (Н. В. Миничкина);
      - построение умозаключений таким  образом, чтобы заключение любого  из умозаключений использовалось  в качестве посылки в одном  или нескольких последующих (Р.  Хашимов);
      - выделение условия и заключения  утверждения, заданного в словесно-символической форме; пользование правилами отделения, импликации, дедукции, противоречия, контрапозиции; распознавание понятия (отношения) с помощью подведения под теорему-признак; отыскание следствий с помощью выведения следствий из определения или с помощью подведения под теорему-свойство; расчленение теоремы с заключением вида «В и В2» на две подтеоремы с заключениями «В » и «В2» (Э. И. Айвазян).
      При поиске доказательства математических утверждений необходимо:
      1) Вспомнить  и применить теорему  (или другое истинное утверждение),  которая непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.
      2) Сделать попытку расчленить данное  утверждение на ряд более простых  утверждений, последовательное доказательство которых может привести к доказательству.
      3) Вспомнить утверждение, аналогичное  данному. Воспользоваться способом его доказательства.
      4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величии, то одну из них или обе заменить равносильными им величинами и доказывать равенство последних.
      5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному .
        Исходным моментом в обучении  учащихся доказательству является формирование потребности в логических доказательствах. На это указывается во многих исследованиях, авторы которых предлагают и различные средства осуществления этой цели.
      Потребность служит источником активности, проявлением  которой являются мотивы. Следовательно, формирование потребностей учащихся в логических обоснованиях обусловливает развитие мотивов к соответствующей деятельности. Средства формирования потребностей выступают в качестве мотивации введения доказательств. Вообще говоря, изучение любой теоремы предполагает мотивацию ее введения.
      Доказательства  трудны для учащихся. Сознательное усвоение доказательств обусловлено  пониманием их целей и назначения, возбуждением и укреплением у  учащихся потребности в доказательстве. Выделим основные положения воспитания потребности в доказательстве:
      1. Возбуждение и последующее развитие  потребности в доказательстве должно опираться: с одной стороны - на постепенное осознание учащимися ограниченности, неточности и недостаточности знаний, основанных на изучении отдельных частных случаев, на данных опыта, наблюдения и измерения; с другой - на понимание общности, точности и объективности доказательства как тех его ценных качеств, благодаря которым оно становится средством более точного, более глубокого познания действительности, средством, помогающим  приобрести уверенность в общности и истинности знаний.
      2. Первоначально перед, учащимися  должны  быть поставлены две  цели доказательств: задача убеждения  в справедливости теоремы и  задача ее обоснования (объяснения). В старших классах эти цели становятся неразличимыми.
      Концепция обучения доказательству определяется не только содержанием понятия «доказательство», но и целями, которые выдвигаются  в связи с рассмотрением доказательств. Несомненно и то, что ее формирование должно учитывать возрастные особенности школьников. Очевидна зависимость обучения доказательству от содержания обучения математике, от принятой структуры курса, ступеней обучения. Формирование концепции обучения доказательству должно осуществляться с учетом методов обучения, средств и форм обучения математике. Таким образом, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими.      
         Вопрос о сущности математического доказательства изучался  в работах И.И. Баврина, B.Г. Болтянского, Ф.Н. Гоноболнна, И.С. Градштейна. В.А. Далингера, Я.С. Ду6нова, И.В. Игошина, С.к. Клини, Ю.м. Колягина, Л. И. Креера, И. Лакатоса, В.Л. Матросова, А.И. Мостовой, В.А. Оганесяна, М.И.Орленко, Ф.Ф. Притуло, А Л Савина, А.А. Столяра, А.И. Фетисова, Г. Фройденталя и др.
      В этих работах доказательство рассматривается 
      - как мыслительный процесс обоснования какого-либо суждения (Ф.Ф. Притуло), [17]
           - как логическая форма мышления (А.И. Мостовой)
           - как цепь логических суждений (М.И. Орленко),
           - как конечная последовательность предложений математической теории (А.А. Столяр),[21]
           - как система умозаключений, при помощи которой устанавливается истинность какого-нибудь предложения ( А. И. Фетисов)
               Доказательства представляют собой цепочки умозаключений (правильных), ведущих от истинных посылок (исходных для данного доказательства суждений) к доказываемым (заключительным) тезисам. Истинность посылок не должна обосновываться в самом доказательстве, а должна каким-либо образом устанавливаться заранее. В этом заключается логический смысл доказательства. Доказательство выступает не только борением разных логик, но и борением эвристик, что обусловливает широкий поиск различных способов доказательства, их оценку. Посредством доказательства устанавливается истинность данного суждения.    
            Доказательство включает в себя три основных элемента:
                 1) Тезис, установить истинность которого - главная цель доказательства. Форма выражения тезиса - суждение.
                 2) Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам.
                3) Демонстрация - логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису. [18]
              Способ связи аргументов от условия к заключению суждения называют методом доказательства. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, делят на прямые и косвенные (по тому, как строится обоснование тезиса). Методы доказательства делят и в зависимости от математического аппарата, используемого в доказательстве.
           Различают следующие приемы прямого доказательства:
      1) прием преобразования условия  суждения (синтетический);
      2) прием преобразования заключения  суждения: отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ);
      3) прием последовательного преобразования  то условия, то заключения суждения.
          К приемам косвенного доказательства относят:
      1) метод «от противного» (истинность  доказываемого тезиса устанавливается  посредством опровержения противоречащего  ему суждения);
      2) разделительный (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предложений, когда отвергаются все предположения, кроме одного).
            Процесс доказательства расчленяется  на две части:
      Отыскание доказательства
      Изложение доказательства
           После формирования у учащихся  всех компонентов, входящих в умение доказывать можно дать им общее правило доказательства. Оно состоит из следующих пунктов:
           1. Отделите условие от заключения.
    Укажите, что требуется доказать.
    Назовите все признаки, по которым можно доказать то, что требуется.
    Укажите, как эти признаки могут быть заданы (скрыты) в условии.
    Сравните по порядку каждый из признаков с условием и выберите тот из них, который будет использован при доказательстве.
    Назовите признак, который будете использовать при доказательстве.
    Укажите в условии то, что говорит о наличии в нем данного признака.
            Умение доказывать включает различного рода действия (логические, познавательные, учебные и т. д.). Методика обучения учащихся доказательству должна ответить на вопросы:
          1) Зачем надо доказывать?
          2) Что надо доказывать?
          3) Как надо доказывать?
          Ответ на первый вопрос обусловлен мотивационным компонентом деятельности, который обеспечивается действиями целеполагания и мотивации.
         Второй вопрос актуализирует действия анализа теоремы - выделение условия, заключения теоремы, объектов, отношений между ними, построение графической модели ситуации, отраженной в теореме. С данным вопросом соотносится и открытие доказываемых фактов, что обеспечивается владением и различными эвристиками. Ответ на третий вопрос предполагает поиск метода доказательства, его соотнесение с доказываемым утверждением, прогнозирование результатов использования метода, нахождение других методов доказательства, выбор наиболее оптимального из них и т. д.
          Ответ на вопрос: «Зачем доказывать?» - в его широком понимании обусловлен целями обучения доказательству, которые, в свою очередь, обусловлены целями обучения математике.
           В реализации общих целей математического образования огромное значение принадлежит доказательствам. Действительно, овладение комплексом математических знаний и умений предполагает овладение доказательством, ибо важное место в системе математических знаний занимают теоремы, изучение которых связано с доказательствами; умения применять знания (теоремы, понятия, аксиомы) предполагают выполнение доказательств. Формирование алгоритмического, эвристического, абстрактного мышления учащихся осуществляется также главным образом в процессе доказательств. Вне этого процесса невозможна реализация и других целей, в частности цели формирования морально-этических качеств личности. Обучение математике предполагает обучение способам деятельности по приобретению знаний, что требует выявления и освоения в процессе обучения математике различных схем используемых в математике рассуждений.
              Проиллюстрируем сказанное. Общие цели обучения доказательствам:
      - формирование и развитие качеств мышления, необходимых образованному человеку для полноценного функционирования в современном обществе, в частности формирование эвристического и алгоритмического мышления;
      - формирование и развитие абстрактного мышления, и прежде всего его дедуктивной составляющей как специфической для математики;
      - реализация возможностей математики в формировании научного мировоззрения учащихся, в освоении ими научной картины мира;
      - формирование и развитие у  учащихся потребности и способности непрерывно и целенаправленно расширять и углублять свои знания;
      - формирование математического языка и математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей.
          Говоря о роли и месте доказательств в обучении математике, мы не можем удержаться от соблазна привести слова, подтверждающие их особую значимость: «Доказательство в математике не все, но без него в ней нет ничего» (А. А. Столяр)[21]
          Проблема обучения доказательству не может быть решена без учета возрастных возможностей учащихся. Структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 14 годам, поэтому систематическое использование доказательств возможно не ранее 7 класса, хотя обучение элементам доказательства должно осуществляться в 5-6 классах. По мнению психологов, в младших классах доказательство должно сводиться к проверке полученного результата перепроверкой или каким-либо другим действием. Однако, как отмечает п. п. Блонский, проверяющее мышление постепенно развивается в доказывающее мышление. Направляющим моментом в этом процессе становится вопрос: «Истинно ли? Соответствует ли действительности?»
         Прежде всего, учащийся должен быть убежден, что доказательства заслуживают того, чтобы их изучали, что они необходимы и интересны.
          Нужно ли в средней ней школе обучать проведению математических доказательств? Ответ вряд ли может вызвать сомнения ... Строгие доказательства - это отличительный признак математики; он представляет собой существенную часть вклада математики как науки в общую культуру. Учащийся, на которого математическое доказательство ни разу не оказало впечатляющего влияния, упустил одно из важнейших интеллектуальных переживаний. Можно только добавить то, что интеллектуальные переживания ученика во многом обусловлены действиями учителя и авторов методических пособий. Эти переживания достигают апогея в случае приобщения школьников к открытию теорем, их формулировок. В этом случае понимание необходимости логического обоснования утверждений возрастает.
          Итак, доказательства в школьном курсе математики играют огромную роль. Они являются источником и условием развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Они представляют сплав логического и эвристического. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Доказательства являются способом систематизации учебного материала, с их помощью и посредством их устанавливается связь между доказываемой теоремой и ранее доказанными теоремами. Они являются средством мотивации и получения обучаемым новых знаний, в процессе доказательств развиваются важнейшие интеллектуальные и учебные умения. Велико и общекультурное значение доказательств.
             Исходным моментом в обучении учащихся доказательству является формирование потребности в логических доказательствах.
      Школьники должны научиться  выполнять цепочки  дедуктивных умозаключений и  применять некоторые эвристики. На этом уровне следует формировать действия преобразования требования задачи (заключения теоремы) в равносильное ему или в такое требование, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий, составления вспомогательных задач и т. д. Эти действия составляют основу применения многих эвристических приемов (элементарных задач, достраивания фигур, представления задачи в пространстве состояний и т. д.) и методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.) в различных ситуациях. К тому же некоторые логические действия, например выведение следствий, имеют эвристический характер и используются в поиске способа доказательства. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска решения задачи. Это, в частности, и является проявлением единства логического и эвристического в доказательствах, осуществляемых учащимися. 

      1.2. Особенности обучения доказательствам школьников 5-6 классов
          Особенность дедуктивных рассуждений  в 5-6 классах заключается, прежде  всего, в их тесной взаимосвязи  с индуктивными. Собственно поэтому  и создается впечатление, что  дедуктивные рассуждения как  таковые отсутствуют в курсе  математики 5-6 классов. Здесь дело в том, что для сознательного проведения дедуктивных рассуждений необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением.
           Проанализировав литературу, в которой рассматривается проблема обучения дедуктивным умозаключениям, мы видим, что в ее решении преобладает логический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается на исследование логических аспектов дедуктивных умозаключений: сущности дедуктивного умозаключения, его видов, правил вывода, обучения логическим действиям, входящим в процесс дедуктивного умозаключения.
             Однако, несмотря на обилие работ, и рекомендаций по обучению учащихся дедуктивным умозаключениям, владении ими, соответствующее умение находится на низком уровне. Основной причиной этому является традиционная методика обучения дедуктивным умозаключениям, которые исходят, главным образом из отождествления дедуктивного умозаключения с его логической формой. Работы В. А. Байдака, М. И. Бурды, Г. Р. Бреслер[3], С. Т. Обидныка, А. А. Столяра  [21] и многих других авторов показывают актуальность проблемы, где предметом исследований является формирование и дальнейшее развитие умения строить дедуктивные умозаключения, умение осуществлять цепочки дедуктивных рассуждений, приемы мышления, адекватные исследуемой проблеме, воспитание потребности в дедуктивных умозаключениях. «Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схем дедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, является необходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения, метода получения новых знаний».
          Среди математиков, методистов  и учителей распространены различные  точки зрения на обучение школьников  дедуктивным умозаключениям. Так,  З. И. Слепкань отмечает, что  положительный эффект в обучении  применению логики и математической символики был обнаружен у способных школьников, а средние и слабые учащиеся по-прежнему плохо рассуждали и решали задачи. Попутно заметим, что лучший результат дает обучение элементам логики наряду с обучением общим умственным действиям (анализ, синтез, обобщение, сравнение, сопоставление) и специфическим действиям. [5]
          При изучении данной проблемы  учеными были выявлены трудности,  возникающие у учащихся при построении дедуктивных умозаключений. Выделяются такие причины как: плохое качество знаний, неумение их применять, неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи между логическими шагами. В качестве средств, устраняющих трудности, предлагается использование приемов:
      1.      формулирования общей идеи дедуктивного  умозаключения;
      2.      мотивации дополнительных построений;
      3.      приведения плана дедуктивного  умозаключения;
      4.      проведения его с опорой на  краткую запись;
      5.      использования блок-схемы доказательства, таблиц.
      Концепция обучения дедуктивному рассуждению  заключается не только содержанием понятия «дедуктивное умозаключение», но и целями, которые выдвигаются в связи с их рассмотрением. Несомненно, и то, что ее формирование должно учитывать возрастные особенности школьников. Очевидна зависимость обучения дедукции от содержания обучения математике, от принятой структуры курса, ступеней обучения.
           Формирование концепции обучения дедукции должно осуществляться с учетом методов обучения, средств и форм обучения математике. Таким образом, обучение дедукции представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими. Возможность ознакомления школьников с логическими схемами рассуждений в рамках даже ныне действующих учебников математики возросла. Дело в том, что упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию, выведение следствий из факта принадлежности понятию являются неотъемлемым атрибутом методики формирования математических понятий, а потому «проникли» во все учебники математики. У школьников  свойства их психики обуславливают успешность учебной деятельности, быстроту и легкость в овладении новыми знаниями, широту их переноса, то есть выступают как  общие способности к учению. Для их обозначения в психологии широко используют термин «обучаемость». Чем выше обучаемость, тем быстрей и легче приобретает человек новые знания, тем свободнее оперирует ими в относительно новых условиях, тем выше, следовательно, и темп его умственного развития. Логическое мышление предполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и преодоление барьера прошлого опыта, отхода от привычных ходов мысли, разрешение противоречий между актуализированными знаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, их своеобразие.  
           Использование дедукции и дедуктивных умозаключений в процесс поиска нового закономерно. Однако чтобы найденные таким образом знания могли быть переданы другим, использованы для решения широкого круга задач, должны быть хорошо осознаны как их существенные признаки, так и способы оперирования этими знаниями. Вот почему одним из основных качеств ума, входящих в обучаемость, мы считаем осознанность своей мыслительной деятельности, возможность сделать ее предметом мысли самого решающего проблему субъекта. Это качество ума проявляется в возможности выразить в слове или в других символах (в графиках, схемах, моделях) цель и продукт, результат мыслительной деятельности (существенные признаки вновь сформированных понятий, закономерностей), а также те способы, с помощью которых этот результат был найден, выявить ошибочные ходы мысли и их причины, способы их исправления.   
            Неосознанность мыслительной деятельности проявляется в том, что человек не может дать отчета о решении задачи (даже если оно верное), не замечает своих ошибок, не может указать те признаки, на которые он опирался, давая тот или иной ответ. Внешне хорошо выраженная особенность логического мышления — самостоятельность при приобретении и оперировании новыми знаниями. Это качество ума проявляется в постановке целей, проблем, выдвижении гипотез и самостоятельном решении этих задач.
        Итак, дедуктивные умозаключения  с психолого-педагогической точки  зрения играют огромную роль  и являются источником и условием  развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. К моменту поступления ребенка в школу, он может, при правильной методике преподавания, развивать у себя умение строить дедуктивные умозаключения. Именно дедукция является способом систематизации учебного материала. С ее помощью и посредством ее устанавливаются различные связи. Она является средством мотивации и получения обучаемыми новых знаний, развивает важнейшие интеллектуальные и учебные умения.  Но для более продуктивной работы, необходимо правильно организовать работу на уроке, используя, по возможности, различные формы работы с математическим материалом.
          В настоящее время актуальность умения строить доказательства возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствует обучение построению дедуктивных умозаключений. Другими словами, обучение построению доказательства должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широких позиций. С переходом в среднее звено школы учащиеся знакомятся с таким предметом как геометрия, где весь курс построен на различного рода доказательствах, проводимых  дедуктивным путем. И если перед 7 классом мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией, то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как не смогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод. Однако при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного фактического материала, позволяющего строить обучение школьников с учетом особенностей логического мышления, нет.   
            Существует множество методических пособий, но нет ни одного, в котором были бы собраны и обобщены данные, позволяющие развивать в системе логическое мышление школьников на уроках математики, не выходя за рамки курса. Поэтому мы получаем противоречие: с одной стороны мы имеем огромное количество методических пособий и сборников интересных заданий, а с другой – неумение или нежелание учителей обучать детей строить дедуктивные умозаключения при решении задач, проводить аналитико-синтетическую работу на уроке. Обычно все сводится к записи решения задачи или нахождению значения того или иного выражения.
              Умение строить дедуктивные рассуждения (умозаключения) является основным методом математической науки и одним из особых средств усвоения курса математики в средней школе. Очень важно осуществление преемственности. Уже в 5-6 классах надо проводить определенную работу по формированию умения строить правильные дедуктивные умозаключения. В процессе обучения дедуктивным умозаключениям, обращаясь к наблюдению, сравнению, то есть доступным для них операциям, которые активизируют деятельность и на основе которых они могут самостоятельно сделать вывод. И если мы будем строить дедуктивные умозаключения при решении математических задач, то с одной стороны учащиеся будут учиться правильно мыслить, а с другой – совершенствовать умение решать поставленные перед ними задачи, аргументировано и доказательно.
        Нет исследований, в которых методическая  концепция построения пропедевтического  курса геометрии была бы построена  с учетом структуры целостной  геометрической деятельности, в  процессе которой учащиеся в  органичном единстве овладели  бы на доступном им уровне всеми ее компонентами: логическим, пространственным, интуитивным, метрическим, конструктивным, символическим. В большинстве случаев в 7 классе учащиеся не готовы применить даже тот небольшой объем геометрических знаний, полученных на уроках математики, при решении прикладных задач, задач с межпредметным содержанием, при выполнении практических работ. Недостатки подготовки к задачам на доказательства в 5-6 классах предопределены несовершенством пропедевтического курса геометрии.
        Итак, в 5-6 классах нет геометрии, теорем и задач на доказательство нет. Возникает проблема пропедевтики  доказательств в этих классах.
        Для того, чтобы воспитать у  учащихся потребность в математических  доказательствах, нужно, чтобы  они понимали, что в математике  оперируют с утверждениями такого вида: « если что-то является тем-то, то что-то другое следует из этого».[10]
          Очевидно, что формирование сознания  необходимости логических доказательств, возможности из одних утверждений получать другие осуществляется в единстве с обучением умению выполнять дедуктивные выводы. Применительно к пропедевтическому курсу математики (5—6 классы) эти вопросы специально рассматривались в исследовании Г. Р. Бреслер.[3] Однако они решались в рамках курса, насыщенного элементами теории множеств, математической логики и геометрическими сведениями. Поэтому многие рекомендации не могут быть востребованы содержанием действующего курса математики.
        Проанализировав учебники математики 5-6 классов, можно сделать вывод  о специфике упражнений, формирующих у учащихся потребности в доказательстве. Учителя не уделяют достаточного внимания учащихся на логическую структуру доказательства, на высказывания, используемые при доказательстве теорем, на средства вывода и т.п. Не проводится целенаправленной систематической работы по формированию у учащихся умений и навыков самостоятельно доказывать теоремы.
          Выделим умения, необходимые учащимся для проведения доказательств.    Ученики должны уметь:
    Определять истинность высказывания (непосредственным сопоставлением с действительностью, измерением, построением, приведением примера, логическим доказательством);
    Задавать условие в словесно-символической форме;
    Вычленять из формулировки задач условие и заключение;
    Выполнять логический анализ;
    Выбирать систему признаков, необходимых и достаточных для проведения доказательства;
    Строить умозаключения.
            В соответствии с выделенными  умениями все задачи на доказательство  в 5-6 классах можно разбить  на 4 типа. О них мы подробно  напишем во второй главе.
      Обучение  выполнению умозаключений рекомендуется осуществлять посредством упражнений следующих видов:
      - на отработку понятий «множество», «элемент множества»;
      - на определение принадлежности элемента множеству;
      - на умение по двум данным посылкам сделать заключение;
      - на построение доказательств, состоящих из одного умозаключения;
      - на построение доказательств, состоящих более чем из одного умозаключения.
      Выделим следующие направления в решении  проблемы пропедевтики математических доказательств в 5-6 классах:
      - воспитание потребности в доказательстве;
      - ознакомление с некоторыми дедуктивными  выводами и с идеей доказательства  от «противного»;
      - подготовка к восприятию взаимно  обратных теорем.
      Отметим, что на необходимость специального формирования потребности в логическом доказательстве утверждений указывается Н. М. Бескиным, в. М. Брадисом, В. И. Зыковой, Ф. Ф. Притуло [17], А.Д. Семушиным.
      Общие принципы разработки пропедевтики доказательств  легли в основу организации учебной  деятельности направленной на овладение разработанным содержанием.
      Реализация функциональной направленности потребовала выделения нескольких принципов обучения доказательству в 5-6 классах. Принципы реализуются через определенную последовательность действий и организуются через соответствующие этим действиям типы задач и заданий.
      Основу  пропедевтики доказательств составляют принципы развивающего обучения:
      - Личностно-ориентированные принципы (Простые и занимательные сюжеты задач повышают интерес к предмету)
          - Культурно ориентированные принципы обусловливают построение такой системы обучения, в результате которой у школьников складывается целостная картина мира и себя в мире.
          - Деятельностно ориентированные принципы (Принцип обучения деятельности, организации учебной деятельности в соответствии с этапами творческого мышления.) Одновременно такая организация учебного процесса позволяет реализовать и принцип перехода от совместной познавательной деятельности к самостоятельной деятельности ученика, ибо ключевой интуитивный этап решения творческой задачи, который является сугубо индивидуальным, должен быть тщательно подготовлен совместной деятельностью, связанной с применением различных эвристических приёмов.
      - Креативные принципы (У учащихся необходимо формировать потребность и способность самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее задач, то есть «учить творчеству»)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Выводы  по главе 1
           В первой главе «Теоретические основы обучения доказательству» мы рассмотрели различные трактовки понятий «обучение доказательству» и «доказательство».
        Кроме того, в первом параграфе «Доказательства в школьном курсе математики» рассмотрена структура доказательства. Доказательство включает в себя:
      Тезис;
      Аргументы (основания) доказательства;
      Демонстрация.
      Проанализировав литературу, в которой рассматривается проблема обучения доказательствам, выяснили, что потребность в логических обоснованиях должна формироваться еще при изучении пропедевтического курса геометрии, т. е. в 5—6 классах. В младшем подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. Поэтому важно еще до изучения систематического курса геометрии осуществлять формирование у школьников некоторых навыков дедуктивных умозаключений и добиваться понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения.
      Мы  выделили умения, необходимые учащимся для проведения доказательств. Итак, учащиеся должны уметь:
    Определять истинность высказывания;
    Задавать условие в словесно-символической форме;
    Выделять условие и заключение;
    Выполнять логический анализ;
    Выбирать систему признаков, необходимых и достаточных для проведения доказательства;
    Строить умозаключения.
 
      Глава 2. Организация деятельности учащихся 5-6 классов по обучению доказательствам
      2.1. Основные виды задач на доказательство, используемые в 5-6 классах
         В возрасте 10–11 лет аппарат мышления еще недостаточно развит для дедуктивных доказательств, дети больше опираются на восприятие, но уже осмысливают связи и закономерности. В 5–6 классе учащиеся могут познакомиться с тем, как доказывать. Необходимо вовлечь учащихся в учебную деятельность. Содержание должно быть таким, что теоретические факты могли быть получены эмпирическим путем.
          Принцип систематичности и последовательности обучения при отнесении его к отбору содержания обучения предполагает усвоение знаний учащимися в определенной последовательности, системе. Он требует логического построения как процесса обучения, так и содержания. Изучаемый материал необходимо разделить на логические разделы – темы; в каждой теме необходимо выделить главные понятия, идеи, структурировать материал.
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.